Coordenadas esféricas

Las ecuaciones de Navier-Stokes en coordenadas esféricas, para un fluido incompresible de densidad ρ_f, son

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2{u}_r\right)+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }\left(u_{\theta }\sin \theta \right)+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \phi }\left(u_{\phi }\right)=0\\ \{\begin{array}{l}{\rho }_f\left(\frac{D{u}_r}{Dt}-\frac{u_{\theta }^2+u_{\phi }^2}{r}\right)=-\frac{\partial p}{\partial r}+{\rho }_f{g}_r+\eta \left({\nabla }^2{u}_r-\frac{2u_r}{r^2}-\frac{2}{r^2}\frac{\partial u_{\theta }}{\partial \theta }-\frac{2u_{\theta }\cot \theta }{r^2}-\frac{2}{r^2\sin \theta }\frac{\partial u_{\phi }}{\partial \phi }\right)\\ {\rho }_f\left(\frac{D{u}_{\theta }}{Dt}+\frac{u_{\theta }{u}_r}{r}-\frac{u_{\phi }^2\cot \theta }{r}\right)=-\frac{1}{r}\frac{\partial p}{\partial \theta }+{\rho }_f{g}_{\theta }+\eta \left({\nabla }^2{u}_{\theta }+\frac{2}{r^2}\frac{\partial u_r}{\partial \theta }-\frac{u_{\theta }}{r^2{\sin }^2\theta }-\frac{2\cot \theta }{r^2\sin \theta }\frac{\partial u_{\phi }}{\partial \phi }\right)\\ {\rho }_f\left(\frac{D{u}_{\phi }}{Dt}+\frac{u_{\phi }{u}_r}{r}+\frac{u_{\theta }{u}_{\phi }\cot \theta }{r}\right)=-\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial p}{\partial \phi }+{\rho }_f{g}_{\phi }+\eta \left({\nabla }^2{u}_{\phi }+\frac{2}{r^2\sin \theta }\frac{\partial u_r}{\partial \phi }-\frac{u_{\phi }}{r^2{\sin }^2\theta }+\frac{2\cot \theta }{r^2\sin \theta }\frac{\partial u_{\phi }}{\partial \phi }\right)\end{array}\\ \frac{D}{Dt}=\frac{\partial }{\partial t}+u_r\frac{\partial }{\partial r}+\frac{u_{\theta }}{r}\frac{\partial }{\partial \theta }+\frac{u_{\phi }}{r\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \phi }\\ {\nabla }^2=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial }{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }\left(\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta }\right)+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^2}{\partial {\phi }^2}\end{array}}$

El tensor de esfuerzo viscoso (matriz simétrica)

${\displaystyle \begin{array}{l}{\tau }_{rr}=-p+2\eta \frac{\partial u_r}{\partial r},{\tau }_{\theta \theta }=-p+2\eta \left(\frac{1}{r}\frac{\partial u_{\theta }}{\partial \theta }+\frac{u_r}{r}\right)\\ {\tau }_{r\theta }=\eta \left(r\frac{\partial }{\partial r}\left(\frac{u_{\theta }}{r}\right)+\frac{1}{r}\frac{\partial u_r}{\partial \theta }\right),{\tau }_{r\phi }=\eta \left(\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial u_r}{\partial \phi }+r\frac{\partial }{\partial r}\left(\frac{u_{\phi }}{r}\right)\right)\\ {\tau }_{\theta \phi }=\eta \left(\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial u_{\theta }}{\partial \phi }+\frac{\sin \theta }{r}\frac{\partial }{\partial \theta }\left(\frac{u_{\phi }}{\sin \theta }\right)\right),{\tau }_{\phi \phi }=-p+2\eta \left(\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial u_{\phi }}{\partial \phi }+\frac{u_r}{r}+\frac{u_{\theta }\cot \theta }{r}\right)\end{array}}$

Viscosímetro de Weissenberg

La muestra de líquido se mantiene entre una placa circular de radio R que gira con velocidad angular constante ω y un cono que hace un ángulo β con el eje vertical

El líquido se mueve en la dirección $\widehat{\phi }$ en círculos concéntricos con velocidad variable u_φ

El eje vertical que sujeta al cono, actúa como una barra elástica de torsión. Uno de sus extremos se sujeta rígidamente. La viscosidad del líquido hace que el otro extremo gire cierto ángulo. Se detecta el ángulo girado y se determina el momento M necesario para la barra elástica experimente el movimiento de torsión

A partir de este valor del momento M, se determina la viscosidad η de la pequeña muestra de líquido

Par resolver las ecuaciones de Navier-Stokes, supondremos

• El fluido es incompresible, ρ_f=cte

• Las componentes u_r y u_θ de la velocidad del fluido son nulas. No es nula la componente u_φ de la velocidad del fluido que puede variar con r y θ

• La gravedad actúa hacia abajo, g_φ=0

• No tendremos en cuenta las variaciones de presión, $\frac{\partial p}{\partial \phi }$

La ecuación de continuidad se convierte en

${\displaystyle \frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial u_{\phi }}{\partial \phi }=0}$

Nos indica que la componente de la velocidad u_φ es independiente del ángulo φ

La tercera ecuación de Navier-Stokes se transforma en

${\displaystyle \begin{array}{l}{\rho }_f\left(\frac{D{u}_{\phi }}{Dt}+\frac{u_{\phi }{u}_r}{r}+\frac{u_{\theta }{u}_{\phi }\cot \theta }{r}\right)=-\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial p}{\partial \phi }+{\rho }_f{g}_{\phi }+\eta \left({\nabla }^2{u}_{\phi }+\frac{2}{r^2\sin \theta }\frac{\partial u_r}{\partial \phi }-\frac{u_{\phi }}{r^2{\sin }^2\theta }+\frac{2\cot \theta }{r^2\sin \theta }\frac{\partial u_{\phi }}{\partial \phi }\right)\\ 0=\eta \left(\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u_{\phi }}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }\left(\sin \theta \frac{\partial u_{\phi }}{\partial \theta }\right)-\frac{u_{\phi }}{r^2{\sin }^2\theta }\right)\\ \frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u_{\phi }}{\partial r}\right)+\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }\left(\sin \theta \frac{\partial u_{\phi }}{\partial \theta }\right)-\frac{u_{\phi }}{{\sin }^2\theta }=0\end{array}}$

Buscamos una solución a la ecuación diferencial de la forma

${\displaystyle u_{\phi }=r\omega f(\theta )}$

Ya que la velocidad u_φ será proporcional a r y a la velocidad angular de rotación ω. La función a determinar es f(θ)

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\omega f(\theta )\right)+\frac{1}{\sin \theta }\frac{d}{d\theta }\left(r\omega \sin \theta \frac{df(\theta )}{d\theta }\right)-\frac{r\omega f(\theta )}{{\sin }^2\theta }=0\\ 2r\omega f+r\omega \frac{1}{\sin \theta }\left(\cos \theta \frac{df}{d\theta }+\sin \theta \frac{d^{2}f}{d{\theta }^2}\right)-\frac{r\omega f}{{\sin }^2\theta }=0\\ \frac{d^{2}f}{d{\theta }^2}+\frac{\cos \theta }{\sin \theta }\frac{df}{d\theta }+\left(2-\frac{1}{{\sin }^2\theta }\right)f=0\\ \frac{d^{2}f}{d{\theta }^2}+\frac{\cos \theta }{\sin \theta }\frac{df}{d\theta }+\left(1-\frac{{\cos }^2\theta }{{\sin }^2\theta }\right)f=0\end{array}}$

Esta expresión se transforma en otra más simple

${\displaystyle \frac{1}{{\sin }^2\theta }\frac{d}{d\theta }\left({\sin }^3\theta \frac{d}{d\theta }\left(\frac{f}{\sin \theta }\right)\right)=0}$

El término entre paréntesis es constante

${\displaystyle {\sin }^3\theta \frac{d}{d\theta }\left(\frac{f}{\sin \theta }\right)=-2c_1}$

c₁ es una constante a determinar. Integramos otra vez

${\displaystyle \frac{f}{\sin \theta }=-2c_1{\displaystyle \int \frac{d\theta }{{\sin }^3\theta }}+c_2}$

c₂ es otra constante a determinar.

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{d\theta }{{\sin }^3\theta }}={\displaystyle \int \frac{{\cos }^2\theta }{{\sin }^3\theta }d\theta +}{\displaystyle \int \frac{d\theta }{\sin \theta }}}$

Integramos por partes la primera

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \int \frac{{\cos }^2\theta }{{\sin }^3\theta }d\theta }\{\begin{array}{l}u=\cos \theta ,du=-\sin \theta ·d\theta \\ dv=\frac{\cos \theta }{{\sin }^3\theta }d\theta ,v=-\frac{1}{2{\sin }^2\theta }\end{array}\\ {\displaystyle \int \frac{{\cos }^2\theta }{{\sin }^3\theta }d\theta }=-\frac{1}{2}\frac{\cos \theta }{{\sin }^2\theta }-\frac{1}{2}{\displaystyle \int \frac{1}{\sin \theta }d\theta }\\ {\displaystyle \int \frac{d\theta }{{\sin }^3\theta }}=-\frac{1}{2}\frac{\cos \theta }{{\sin }^2\theta }+\frac{1}{2}{\displaystyle \int \frac{d\theta }{\sin \theta }}\end{array}}$

Calculamos la segunda integral, emplendo relaciones trigonométricas y haciendo un cambio de variable

${\displaystyle \begin{array}{l}\sin \frac{\theta }{2}=\frac{\tan \frac{\theta }{2}}{\sqrt{1+{\tan }^2\frac{\theta }{2}}},\cos \frac{\theta }{2}=\frac{1}{\sqrt{1+{\tan }^2\frac{\theta }{2}}}\\ \frac{1}{\sin \theta }=\frac{1}{2\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}}=\frac{1+{\tan }^2\frac{\theta }{2}}{2\tan \frac{\theta }{2}}\\ t=\tan \frac{\theta }{2},dt=\frac{1}{2}\frac{1}{{\cos }^2\frac{\theta }{2}}d\theta =\frac{1}{2}\left(1+t^2\right)d\theta \\ {\displaystyle \int \frac{d\theta }{\sin \theta }}={\displaystyle \int \frac{d\theta }{2\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}}=\frac{1}{2}}{\displaystyle \int \frac{1+t^2}{t}2\frac{dt}{1+t^2}}={\displaystyle \int \frac{dt}{t}}=\ln t=\ln \left(\tan \frac{\theta }{2}\right)\\ {\displaystyle \int \frac{d\theta }{\sin \theta }}=\frac{1}{2}\ln \left({\tan }^2\frac{\theta }{2}\right)\\ \begin{array}{l}1={\cos }^2\frac{\theta }{2}+{\sin }^2\frac{\theta }{2}\\ \cos \theta ={\cos }^2\frac{\theta }{2}-{\sin }^2\frac{\theta }{2}\end{array}\}{\tan }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1-\cos \theta }{1+\cos \theta }\end{array}}$

El resultado final es

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \int \frac{d\theta }{{\sin }^3\theta }}=-\frac{1}{2}\frac{\cos \theta }{{\sin }^2\theta }+\frac{1}{4}\ln \left(\frac{1-\cos \theta }{1+\cos \theta }\right)\\ \frac{f}{\sin \theta }=-2c_1\left(-\frac{1}{2}\frac{\cos \theta }{{\sin }^2\theta }+\frac{1}{4}\ln \left(\frac{1-\cos \theta }{1+\cos \theta }\right)\right)+c_2\\ f=c_1\left(\frac{\cos \theta }{\sin \theta }+\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1+\cos \theta }{1-\cos \theta }\right)\sin \theta \right)+c_2\sin \theta \end{array}}$

Condiciones de contorno

• En la placa horizontal θ=π/2, f=c₂

la componente de la velocidad u_φ=rω, por lo que c₂=1

• En la superficie del cono, θ=β, u_φ=rωf=0

${\displaystyle \begin{array}{l}f=c_1\left(\frac{\cos \beta }{\sin \beta }+\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1+\cos \beta }{1-\cos \beta }\right)\sin \beta \right)+\sin \beta =0\\ c_1=\frac{-\sin \beta }{\frac{\cos \beta }{\sin \beta }+\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1+\cos \beta }{1-\cos \beta }\right)\sin \beta }\end{array}}$

La expresión de la velocidad u_φ es

${\displaystyle u_{\phi }=r\omega f=r\omega \left\{\sin \theta -\sin \beta \frac{\frac{\cos \theta }{\sin \theta }+\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1+\cos \theta }{1-\cos \theta }\right)\sin \theta }{\frac{\cos \beta }{\sin \beta }+\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1+\cos \beta }{1-\cos \beta }\right)\sin \beta }\right\}=r\omega \left\{\sin \theta -\sin \beta \frac{g\left(\theta \right)}{g\left(\beta \right)}\right\}}$

Comprobamos que, u_φ=rω para θ=π/2 y u_φ=0, para θ=β

Torsión de la barra elástica

Evaluamos la fuerza τ_θφ (por unidad de superficie)

${\displaystyle \begin{array}{l}{\tau }_{\theta \phi }=\eta \left(\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial u_{\theta }}{\partial \phi }+\frac{\sin \theta }{r}\frac{\partial }{\partial \theta }\left(\frac{u_{\phi }}{\sin \theta }\right)\right)=\eta \frac{\sin \theta }{r}\frac{\partial }{\partial \theta }\left(\frac{u_{\phi }}{\sin \theta }\right)=\eta \frac{\sin \theta }{r}r\omega \frac{d}{d\theta }\left(1-\frac{\sin \beta }{\sin \theta }\frac{g\left(\theta \right)}{g\left(\beta \right)}\right)=\\ -\eta \omega \sin \theta \frac{\sin \beta }{g\left(\beta \right)}\frac{d}{d\theta }\left(\frac{g\left(\theta \right)}{\sin \theta }\right)=-\eta \omega \sin \theta \frac{\sin \beta }{g\left(\beta \right)}\frac{d}{d\theta }\left(\frac{\cos \theta }{{\sin }^2\theta }+\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1+\cos \theta }{1-\cos \theta }\right)\right)=\\ -\eta \omega \sin \theta \frac{\sin \beta }{g\left(\beta \right)}\left\{-\frac{{\sin }^2\theta +2{\cos }^2\theta }{{\sin }^3\theta }-\frac{\sin \theta }{1-{\cos }^2\theta }\right\}=\eta \omega \sin \theta \frac{\sin \beta }{g\left(\beta \right)}\left\{\frac{1+{\cos }^2\theta }{{\sin }^3\theta }+\frac{1}{\sin \theta }\right\}=2\eta \omega \frac{\sin \beta }{g\left(\beta \right)}\frac{1}{{\sin }^2\theta }\end{array}}$

El resultado para θ=β

${\displaystyle \begin{array}{l}{{\tau }_{\theta \phi }|}_{\theta =\beta }=2\eta \omega \frac{1}{g\left(\beta \right)}\frac{1}{\sin \beta }\\ dF={{\tau }_{\theta \phi }|}_{\theta =\beta }·2\pi r\sin \beta ·dr=4\pi \eta \omega \frac{rdr}{g\left(\beta \right)}\end{array}}$

Donde dF es la fuerza que actúa sobre el elemento de área del cono señalado en color gris en la figura

El momento de esta fuerza respecto del eje vertical es

${\displaystyle dM=r\sin \beta ·dF=4\pi \eta \omega \frac{\sin \beta }{g\left(\beta \right)}{r}^{2}dr}$

El momento total es

${\displaystyle M=4\pi \eta \omega \frac{\sin \beta }{g\left(\beta \right)}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\frac{R}{\sin \beta }}{\int }}{r}^{2}dr=}\frac{4}{3}\pi \eta \omega \frac{\sin \beta }{g\left(\beta \right)}{\left(\frac{R}{\sin \beta }\right)}^3=\frac{4}{3}\pi \eta \omega \frac{R^3}{{\sin }^2\beta ·g\left(\beta \right)}}$

Medido el momento M despejamos la viscosidad η de la muestra de líquido

${\displaystyle \eta =\frac{3}{4}\frac{M{\sin }^2\beta ·g\left(\beta \right)}{\pi \omega R^3},g\left(\beta \right)=\frac{\cos \beta }{\sin \beta }+\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1+\cos \beta }{1-\cos \beta }\right)\sin \beta }$

Referencias

Chapter 6. SOLUTION OF VISCOUS-FLOW PROBLEMS

Navier-Stokes Equations