Medida de la viscosidad de un líquido mediante dos vasos comunicantes

En la figura se muestran los dos depósitos iguales, de sección A, unidos por un tubo capilar de radio R y longitud L. El líquido tiene viscosidad η. En el instante t=0, el depósito de la izquierda está lleno hasta una altura z1=z0 y el de la derecha vacío z2=0. Vamos a determinar la altura z1 del líquido en el depósito izquierdo en función del tiempo t.

La ley de Poiseuille afirma que la cantidad de fluido de viscosidad η que atraviesa en la unidad de tiempo (gasto) la sección de un tubo de radio R y longitud L cuando está sometido a una diferencia de presión p1-p2 en sus extremos es

G= π( p 1 p 2 ) R 4 8Lη

Puesto que el movimiento del líquido en los dos recipientes es muy lento, podemos considerar que las presiones p1 y p2 en los extremos del tubo capilar son aproximadamente, las presiones hidrostáticas:

p1=p0+ρgz1
p2=p0+ρgz2

debidas a las alturas de fluido z1 y z2 en los respectivos depósitos. p0 es la presión atmosférica.

Del depósito de la izquierda sale una cantidad G de fluido en la unidad de tiempo, como consecuencia la altura del fluido en el depósito de sección A disminuye

G=A d z 1 dt

Como la cantidad de fluido que sale del depósito de la izquierda es igual al que entra en el depósito de la derecha y ambos tiene la misma sección, la relación de alturas es 

A d z 1 dt = πρg R 4 8Lη (2 z 1 z 0 ) d z 1 dt = πρg R 4 8ALη (2 z 1 z 0 ) d z 1 dt =K(2 z 1 z 0 )

Se integra esta ecuación diferencial con las condiciones iniciales siguientes: en el instante t=0, la altura del líquido es z0

z 0 z 1 d z 1 2 z 1 z 0 = 0 t K·dt 1 2 ln(2 z 1 z 0 ) | z 0 z 1 =Kt z 1 = z 0 2 ( 1+exp(2Kt) )

Después de un tiempo suficientemente grande, t→∞, la altura del líquido en cada depósito es z0/2

Variación de la viscosidad del agua con la temperatura

En la siguiente tabla se proporcionan los datos de la viscosidad del agua en mPa·s a diversas temperaturas.

Temperatura ºC Viscosidad ·10-3 Pa·s
5 1.518
10 1.307
15 1.140
20 1.004
25 0.895
30 0.803
40 0.655
50 0.551
60 0.470
70 0.407
80 0.375
90 0.317

Fuente: Koshkin N. I., Shirkévich M. G.. Manual de Física Elemental. Editorial Mir 1975

La viscosidad η varía con la temperatura absoluta T de la forma

η=b·exp( a T )

siendo a y b constantes características de cada líquido en particular

Estas constantes se puede calcular, mediante el procedimiento de regresión lineal, las abscisas son las inversas de la temperaturas absoluta 1/(t+273) y las ordenadas son los logaritmos neperianos de la viscosidad lnη. La pendiente de la recta de ajuste es el parámetro a y la ordenada en el origen lnb.

lnη=lnb+ a T

>> t=[5,10,15,20,25,30,40,50,60,70,80,90]+273;
>> plot(1./t,log(x),'ro','markersize',4,'markerfacecolor','r')
>> xlabel('1/T')
>> ylabel('log(\eta)')

Aparece la ventana gráfica. En el menú seleccionamos Tools/Basic Fitting, aparece un cuadro de diálogo donde marcamos la casilla linear en Plot fits. A continuación, pulsamos la flecha hacia la derecha --> para mostrar los coeficientes p1 y p2 del polinomio (recta) y=p1*x+p2 de ajuste.

Los valores obtenidos son a=1825.5 y b=exp(-13.119)=2.0067·10-6

Actividades

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Se han fijado en el programa:

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Observamos como desciende la altura del agua en el depósito de la izquierda y aumenta en el de la derecha.

Ejemplo:

Determinar la viscosidad del agua a dicha temperatura

La altura del agua en el depósito de la izquierda z1 en función del tiempo t es

z 1 = z 0 2 ( 1 + exp ( 2 K t ) )

o bien,

ln( 2 z 1 z 0 1 )=2Kt

Se toman los datos del tiempo t en segundos y de la altura z1 en cm

z1(cm) t(s)
50 0
45 3192
40 7268
35 13024
30 22908

Si en el eje X representamos los tiempos t, y en el eje Y ln( 2 z 1 z 0 1 ) obtenemos una recta de pendiente 2K

>> t=[0,3192,7268,13024,22908];
>> z1=50:-5:30;
>> plot(t,-log(2*z1/50-1),'ro','markersize',4,'markerfacecolor','r')
>> xlabel('t(s)')
>> ylabel('-log(2z_1/z_0-1)')
>> title('Viscosidad del agua a 20ยบ C')

Aparece la ventana gráfica. En el menú seleccionamos Tools/Basic Fitting, aparece un cuadro de diálogo donde marcamos la casilla linear en Plot fits. A continuación, pulsamos la flecha hacia la derecha --> para mostrar los coeficientes p1 y p2 del polinomio (recta) y=p1*x+p2 de ajuste.

Conocida la pendiente de la recta 2K=7.032·10-5, calculamos la viscosidad del agua a la temperatura seleccionada

K= πρg R 4 8ALη η= πρg R 4 8ALK η= π1000·9.8 ( 0.9· 10 3 /2 ) 4 8π ( 0.15/2 ) 2 0.25(7.032· 10 5 /2) =1.016· 10 3 Pa=1.016mPa

En este experimento simulado, se supondrá que el fluido está en todo momento en régimen laminar y también, que el movimiento del fluido en los depósitos es lento.


Referencias

Ortega F. M., Pavioni O.D., Domínguez H. L., A communicating-vessel viscosimeter. The Physics Teacher 45, February 2007, pp. 116-118