Descarga de un depósito de líquido a través de un tubo capilar

Supongamos un depósito cilíndrico de sección S, lleno de líquido de densidad ρ hasta una altura h0 que se vacía a través de un tubo horizontal de diámetro D y longitud L, tal como se muestra en la figura.

En el instante t, la altura del líquido en el depósito es h, aplicamos la ecuación de Bernoulli a los puntos 0 y 1 en el depósito.

p 0 +ρg y 0 + 1 2 ρ v 0 2 = p 1 +ρg y 1 + 1 2 ρ v 1 2

La diferencia de alturas y0-y1=h, la presión p0 en la superficie del líquido en el depósito es la presión atmosférica pat, y la velocidad v0 es pequeña ya que la sección del recipiente S es mucho mayor que la sección del orificio de salida πD2/4.

p at +ρgh= p 1 + 1 2 ρ v 1 2     (1)

El volumen de líquido que sale en la unidad del tiempo del depósito es πD2v1/4, es igual a razón de la variación del volumen S·h del depósito con el tiempo t cambiada de signo, ya que cuando sale líquido, su altura h en el depósito disminuye

S dh dt =π D 2 4 v 1

Consideremos ahora los extremos 1 y 2 del tubo capilar. Para un tubo horizontal de sección uniforme la ecuación de continuidad implica que v1=v2=v. Los puntos 1 y 2 están a la misma altura y1=y2, y la presión a la salida del tubo es la atmosférica p2=pat.

p1-pat=ρ(HL+Hl)     (2)

Siendo H=HL+Hl las pérdidas totales de carga.

Combinando las ecuaciones (1) y (2), llegamos a

ρgh=ρ( H L + H l )+ 1 2 ρ v 2

Llegamos a las ecuaciones

ρgh=ρ k+1 2 v 2 + 32ηL D 2 v S dh dt =π D 2 4 v

Solución de la ecuación diferencial

Resolvemos la ecuación diferencial en h

h= 1 γ dh dt +α ( dh dt ) 2 γ= π D 4 ρg 128ηLS α= 8(k+1) S 2 g π 2 D 4

con las condiciones iniciales en el instante t=0, h=h0.

dh dt = 1 1+4α γ 2 h 2αγ

como dh/dt<0, se toma la raíz negativa

Hacemos el cambio de variable

z= 1+4α γ 2 h dz dt = 4α γ 2 2 1+4α γ 2 h dh dt = 2α γ 2 z dh dt

Obtenemos la ecuación diferencial en z

z z1 dz dt =γ

que se integra fácilmente

z 0 z ( 1+ 1 z1 ) dz=γ 0 t dt ln( z1 )+lnzln( z 0 1 )+ln z 0 =γt ( z1 ) e z1 =( z 0 1 ) e z 0 1γt

Expresamos la solución en términos de la función W de Lambert

z(t)=W(( z 0 1) e z 0 1γt )+1

con

z 0 = 1+4α γ 2 h 0

La altura h del líquido en el recipiente es

h(t)= 1 4α γ 2 { ( 1+W( β e βγt ) ) 2 1 } β= z 0 1

Como β>0 la solución se encuentra en la rama W0(x)

Teniendo en cuenta que W(βeβ)=β, verificamos que se satisfacen las condiciones iniciales en el instante t=0, h=h0

Aproximaciones

El desarrollo en serie de W0(x) es útil cuando precisamos valores de la función W de Lambert cerca de x=0

W(x)= n=1 (n) n1 n! x n

syms x;
>> taylor(lambertw(0, x))
ans =(125*x^5)/24 - (8*x^4)/3 + (3*x^3)/2 - x^2 + x
taylor(sqrt(1+x))
ans =(7*x^5)/256 - (5*x^4)/128 + x^3/16 - x^2/8 + x/2 + 1

Cuando x es pequeño W0(x)≈x y 1+x 1+ 1 2 x

h(t) 1 4α γ 2 { ( 1+β e βγt ) 2 1 } 2β e γt 4α γ 2 h 0 e γt

La altura h del fluido en el recipiente decrece exponencialmente con el tiempo

Ejemplo

Un depósito de 4 cm de diámetro, contiene agua (densidad ρ=1000 kg/m3 viscosidad η=0.922·10-3 Pa·s) hasta una altura h0=40 cm, se vacía a través de un tubo capilar D=1 mm de diámetro y L=19.8 cm de longitud. Tomamos un valor de k=1.78.

%Datos
S=pi*0.02^2; %sección del depósito
h0=0.4; %altura inicial de agua
L=0.2; %longitud del capilar
D=0.001; %diámetro del capilar
eta=0.922e-3; %viscosidad del agua
k=1.78; %coeficiente de pérdidas

alfa=8*(k+1)*S^2/(9.8*pi^2*D^4);
gamma=pi*D^4*1000*9.8/(128*eta*L*S);
beta=sqrt(1+4*alfa*gamma^2*h0)-1;

h=@(t) ((1+lambertw(0,beta*exp(beta-gamma*t))).^2-1)*100/(4*alfa*gamma^2);
hh=@(t) h0*exp(-gamma*t)*100;
hold on
fplot(h,[0,1000])
fplot(hh,[0,1000])
hold off
grid on
legend('W Lambert','exponencial')
xlabel('t(s)')
ylabel('h (cm)')
title('Descarga de un depósito')

Número de Reynolds

La máxima velocidad del líquido en el tubo-capilar se produce en el instante t=0, cuando h=h0

( dh dt ) t=0 = 1 1+4α γ 2 h 0 2αγ v máx = 4S π D 2 ( dh dt ) t=0

El número de Reynolds es Re= ρDv η

>> dh=(1-sqrt(1+4*alfa*gamma^2*h0))/(2*alfa*gamma);
>> v=-4*S*dh/(pi*D^2)
v =    0.5840
>> Re=1000*D*v/eta
Re =  633.3862

Un número de Reynolds Re=633 es indicativo de un fluido en régimen laminar

Referencias

Rafael M. Digilov. Gravity discharge vessel revisited: An explicit Lambert W function solution. Am. J. Phys. 85 (7) July 2017, pp. 510-514