Reflexiones en una cavidad circular

En la figura, se muestra un rayo de luz que entra por un orificio situada en la posición P₀, (-R,0) haciendo un ángulo θ₀ con el eje X. Se releja en la posición P₁, el ángulo que forma el rayo incidente con la dirección radial es igual al ángulo que forma el rayo reflejado con la dirección radial e igual ángulo θ₀. Después de relejarse en P₁ el rayo se refleja en P₂ y así, sucesivamente.

La distancia de la recta que pasa por P₀ y P₁ al origen es r=Rsinθ₀. Un círculo de radio r es la región oscura, donde no penetra la luz, ya que los rayos son tangentes a esta circunferencia concéntrica.

Los puntos P₀, P₁, P₂, P₃... pueden representarse en notación compleja z=Rexp(iθ)

Recordamos que el producto de los números complejos

z₁=R·exp(iθ₁) y z₂=exp(iθ₂)
z=z₁·z₂=R·exp(i(θ₁+ θ₂))

equivale a la rotación de z₁ un ángulo θ₂.

Partimos del punto P₀, z₀=-R. El punto P₁ se obtiene haciendo una rotación -(π-2θ₀) (negativo, en el sentido de las agujas del reloj)

El punto P₂ se obtiene a partir de P₁ haciendo una rotación -(π-2θ₀) y así, sucesivamente

$\begin{array}{l} z_{0} = - R \\ z_{1} = z_{0} \exp (- i (π - 2 θ_{0})) = - R (\cos (π - 2 θ_{0}) - i \sin (π - 2 θ_{0})) = - R (- \cos (2 θ_{0}) - i \sin (2 θ_{0})) = R \exp (i 2 θ_{0}) \\ z_{2} = z_{1} \exp (- i (π - 2 θ_{0})) = z_{1} (\cos (π - 2 θ_{0}) - i \sin (π - 2 θ_{0})) = R \exp (i 2 θ_{0}) (- \cos (2 θ_{0}) - i \sin (2 θ_{0})) = - R \exp (i 4 θ_{0}) \\ z_{3} = z_{2} \exp (- i (π - 2 θ_{0})) = R \exp (i 6 θ_{0}) \\ .... \\ z_{k} = {(- 1)}^{k + 1} R \exp (i 2 k θ_{0}) \end{array}$

Para que la trayectoria sea cerrada los puntos coinciden, P_n=P₀

$\begin{array}{l} z_{n} = z_{0} \\ {(- 1)}^{n + 1} R \exp (i 2 n θ_{0}) = - R \\ \exp (i (n + 1) π) \exp (i 2 n θ_{0}) = \exp (i (2 k + 1) π) \\ (n + 1) π + 2 n θ_{0} = (2 k + 1) π \\ θ_{0} = (\frac{k}{n} - \frac{1}{2}) π \\ {\begin{cases} θ_{0} > 0, k > \frac{n}{2} \\ θ_{0} < \frac{π}{2}, k < n \end{cases} \end{array}$

Ejemplos

Trayectoria cerrada

R=1; %radio
n=7;
th_0=(4/n-1/2)*pi;
hold on
fplot(@(t) R*cos(t), @(t) R*sin(t),[0,2*pi],'color','k','lineWidth',1.5)
r=R*sin(th_0);
fplot(@(t) r*cos(t), @(t) r*sin(t),[0,2*pi],'color','b')
plot(0,0,'ro','markersize',3,'markerfacecolor','r')
x1=-R;
y1=0;
for k=1:n+1
    z=(-1)^(k+1)*R*exp(2*1i*k*th_0);
    line([x1,real(z)],[y1, imag(z)])
    x1=real(z);
    y1=imag(z);
end
axis equal
axis off

Otros ejemplos

Se representan 100 reflexiones, para tres ángulos $θ_{0} = \frac{π}{6 \sqrt{2}}, \frac{π}{8 \sqrt{2}}, \frac{π}{10 \sqrt{2}}$

R=1; %radio
th_0=pi/(6*sqrt(2));
hold on
fplot(@(t) R*cos(t), @(t) R*sin(t),[0,2*pi],'color','k','lineWidth',1.5)
r=R*sin(th_0);
fplot(@(t) r*cos(t), @(t) r*sin(t),[0,2*pi],'color','b')
plot(0,0,'ro','markersize',3,'markerfacecolor','r')
x1=-R;
y1=0;
for k=1:100
    z=(-1)^(k+1)*R*exp(2*1i*k*th_0);
    line([x1,real(z)],[y1, imag(z)])
    x1=real(z);
    y1=imag(z);
end
axis equal
axis off

Lente cilíndrica

Sea una lente de vidrio transparente de índice de refracción n de forma de semicilíndica de radio R.

Un rayo incide en la posición x₀ con un ángulo α respecto a la normal a la superficie horizontal, el rayo se refracta en la superficie horizontal formando un ángulo β con dicha dirección. Suponiendo que el aire tiene índice de refracción 1, la ley de Snell para la refracción en la superficie horizontal, se escribe

sinα=n·sinβ

Rayo incidente a la derecha del origen, x₀>0

El rayo refractado, llega a la superficie cilíndrica formando un ángulo φ-β con la dirección radial (normal a la superficie cilíndrica), la ley de Snell se escribe

n·sin(φ-β)=sinθ

siendo θ>φ-β el ángulo que forma el rayo refractado con dicha dirección.

El ángulo φ se calcula a partir de consideraciones geométricas. El punto P de coordenadas (x₁, y₁) es la intersección de la recta que pasa por el punto (x₀,0) que forma un ángulo 90+β con el eje X, y la circunferencia de centro en el origen y radio R.

${\begin{cases} y = \frac{x_{0} - x}{\tan β} \\ x^{2} + y^{2} = R^{2} \end{cases}$

Resolvemos el sistema de dos ecuaciones para calcular el punto de intersección (x₁, y₁)

$\begin{array}{l} \frac{x^{2}}{\sin^{2} β} - 2 \frac{x_{0}}{\tan^{2} β} x + \frac{x_{0}^{2}}{\tan^{2} β} - R^{2} = 0 \\ x_{1} = x_{0} \cos^{2} β + \sin β \sqrt{R^{2} - x_{0}^{2} \cos^{2} β} \\ y_{1} = \frac{x_{0} - x_{1}}{\tan β} \end{array}$

El ángulo φ es

$\tan φ = \frac{x_{1}}{- y_{1}} = \frac{x_{1} \tan β}{x_{1} - x_{0}} = \frac{x_{0} \cos β + \tan β \sqrt{R^{2} - x_{0}^{2} \cos^{2} β}}{- x_{0} \sin β + \sqrt{R^{2} - x_{0}^{2} \cos^{2} β}}$

Reflexión total

Calcularemos la posición x₀ para el cual el ángulo θ=90°, el rayo refractado que sale de la lente cilíndrica es tangente a la superficie cilíndrica, se produce la reflexión total.

n·sin(φ-β)=1

Dado el ángulo φ=arcsin(1/n)+β, obtenemos x₁=Rsin(φ), y₁=-Rcos(φ). A partir de la relación

$y_{1} = \frac{x_{0} - x_{1}}{\tan β}$

calculamos, x₀=Rsin(φ)-Rcos(φ)tan(β)

Rayo incidente en el origen, x₀=0

Consideramos el rayo que pasa por el origen, x₀=0

x₁=Rsin(β), y₁=-Rcos(β), tanφ=tanβ. El ángulo de incidencia del rayo refractado sobre la superficie cilíndrica φ-β=0, el rayo tiene la dirección radial y no se desvía.

Este es el caso que estudiaremos en el siguiente apartado titulado 'Práctica de laboratorio'

Rayo incidente a la izquierda del origen, x₀<0

El rayo refractado, llega a la superficie cilíndrica formando un ángulo φ+β con la dirección radial (normal a la superficie cilíndrica), la ley de Snell para la refracción en la superficie cilíndrica, se escribe

n·sin(φ+β)=sinθ

siendo θ>φ+β el ángulo que forma el rayo refractado con dicha dirección.

Reflexión total

Consideramos la posición x₀ para el cual el ángulo θ=90°, el rayo refractado que sale de la lente cilíndrica es tangente a la superficie cilíndrica, se produce la reflexión total.

n·sin(φ+β)=1

Dado el ángulo φ=arcsin(1/n)-β, calculamos x₁=-Rsin(φ), y₁=-Rcos(φ). A partir de la relación

$y_{1} = \frac{x_{0} - x_{1}}{\tan β}$

calculamos x₀=-Rsin(φ)-Rcos(φ)tan(β)

Ejemplo

Radio de la lente semicircular, R=1
Indice de refracción del vidrio, $n = \sqrt{2}$
Angulo de incidencia medido desde la normal a la superficie plana, α=45°

Calculamos los ángulos φ para los que se produce la reflexión total

Refracción en la superficie plana, sinα=n·sinβ, β=30°

para x₀>0

Refracción en la superficie cilíndrica, el ángulo φ=arcsin(1/n)+β=45°+30°=75°

La posición x₀=Rsin(75)-Rcos(75)tan(30)= $R \sqrt{6} / 3$

para x₀<0

Refracción en la superficie cilíndrica, el ángulo φ=arcsin(1/n)-β=45°-30°=15°

La posición x₀=-Rsin(15)-Rcos(15)tan(30)= $- R \sqrt{6} / 3$

Para representar las figuras de este apartado, se ha creado el siguiente script de MATLAB

n=sqrt(2); %índice de refracción
alfa=pi/4; %ángulo incidente
R=1; %radio
beta=asin(sin(alfa)/n);
phi_m=asin(sin(alfa)/n)+asin(1/n); %ángulo límite
t=linspace(pi, 2*pi, 100);
x=R*cos(t);
y=R*sin(t);
x=[x,x(1)];
y=[y,y(1)];
fill(x,y,'c')

xm=R*sin(phi_m)-R*cos(phi_m)*tan(beta); %reflexión total
x0=0.5; %posición
line([x0-0.3, x0],[0.3/tan(alfa),0],'color','r')
x1=x0*cos(beta)^2+sin(beta)*sqrt(R^2-(x0*cos(beta))^2);
y1=(x0-x1)/tan(beta);
line([x0,x1],[0,y1],'color','r')
line([x0,x0],[0.3,-1],'color','k','lineStyle','--')
phi=atan(x1/(-y1));
if abs(x0)<=xm %refracción
    th=asin(n*sin(phi-beta));
    x2=x1-0.3*sin(th-phi);
    y2=y1-0.3*cos(th-phi);
    line([x1,x2],[y1,y2],'color','r')
    line([0,(R+0.3)*sin(phi)],[0,-(R+.3)*cos(phi)],'color','k','lineStyle','--')
else %reflexión
    x2=x1-0.3*sin(2*phi-beta);
    y2=y1+0.3*cos(2*phi-beta);
    line([x1,x2],[y1,y2],'color','r')
    line([0,(R+0.3)*sin(phi)],[0,-(R+.3)*cos(phi)],'color','k','lineStyle','--')
end
axis off
axis equal

Referencias

R De Luca. The path of a light ray in a semicircular cavity. Phys. Educ. 58 (2023) 065018

Problema propuesto en la 2° Olimpiada Internacional de Física, Budapest, Hungría, 1968