Imágenes virtuales de un objeto situado entre dos espejos planos

Reflexión en espejos planos

Un espejo plano

El caso más sencillo, es la determinación de la posición de la imagen virtual A' de un objeto puntual A situado frente a un espejo plano

line([0,0],[-1,4], 'LineWidth', 1.5, 'color','k')
line([-5,0],[0,0], 'lineStyle','--')
line([5,0],[0,0])
line([-5,0],[0,2],'lineStyle','--')
line([0,5],[2,4])
line([0,5],[2,0])
hold on
plot(5,0,'ro','markersize',3,'markerfacecolor','r')
plot(-5,0,'bo','markersize',3,'markerfacecolor','b')
xlim([-5.1,5.1])
hold off
grid on

En el caso de que el objeto AB sea extenso. Determinamos las posiciones de las imágenes virtuales de los objetos puntuales A y B

line([0,0],[-1,4], 'LineWidth', 1.5, 'color','k')
line([2,5],[0,1],'lineWidth',1.5,'color','r')
line([-2,-5],[0,1],'lineWidth',1.5,'color','b')
line([-2,0],[0,0],'lineStyle','--')
line([2,0],[0,0])
line([-5,0],[1,1],'lineStyle','--')
line([5,0],[1,1])
line([2,0],[0,1])
line([0,5],[1,3.5])
line([0,-2],[1,0],'lineStyle','--')
line([5,0],[1,2])
line([0,5],[2,3])
line([0,-5],[2,1],'lineStyle','--')

hold on
plot(5,1,'ro','markersize',4,'markerfacecolor','r')
plot(-5,1,'bo','markersize',4,'markerfacecolor','b')
xlim([-5.1,5.1])
hold off
grid on

Dos espejos planos paralelos

Consideremos dos espejos planos. El primero, contenido en el plano YZ, x=0 y el segundo, paralelo al primero, situado a una distancia x=d

Un objeto puntual A se sitúa entre los dos planos a una distancia x₁ del primero y a una distancia x₂=d-x₁ del segundo

Aplicamos la ley de la reflexión para determinar la posición de las infinitas imágenes virtuales de dicho objeto, situadas a lo largo del eje X

hold on
line([0,0],[-1,3], 'LineWidth', 1.5, 'color','k')
line([5,5],[-1,3], 'LineWidth', 1.5, 'color','k')
plot(1,0,'ro','markersize',4,'markerfacecolor','r')
plot(-1,0,'bo','markersize',4,'markerfacecolor','b')
line([1,0],[0,0.5])
line([0,5],[0.5,3])
line([0,-1],[0.5,0],'lineStyle','--')
line([1,0],[0,0])
line([-1,0],[0,0],'lineStyle','--')

 plot(9,0,'bo','markersize',4,'markerfacecolor','b')
 line([1,5],[0,1])
 line([5,0],[1,9/4])
 line([5,9],[1,0],'lineStyle','--')
 line([1,5],[0,0])
 line([5,9],[0,0],'lineStyle','--')

  plot(11,0,'bo','markersize',4,'markerfacecolor','b')
  line([-1,5],[0,1.5])
  line([5,0],[1.5,1.5+7.5/6])
  line([5,11],[1.5,0],'lineStyle','--')
  line([9,11],[0,0],'lineStyle','--')

  plot(-9,0,'bo','markersize',4,'markerfacecolor','b')
  line([9,0],[0,1])
  line([0,5],[1,1+5/9])
  line([0,-9],[1,0],'lineStyle','--')

  hold off
 grid on

P₁ es la imagen de A producida por el espejo izquierdo, dista x₁ de dicho espejo
Q₁ es la imagen de A producida por el espejo derecho, dista x₂ de dicho espejo
Q₂ es la imagen de P₁ producida por el espejo derecho, dista x₁+d de dicho espejo
P₂ es la imagen de Q₁ producida por el espejo izquierdo, dista x₂+d de dicho espejo
Q₃ es la imagen de P₂ producida por el espejo derecho, que dista x₂+2d de dicho espejo
P₃ es la imagen de Q₂ producida por el espejo izquierdo, que dista x₁+2d de dicho espejo

El código que representa solamente las imágenes virtuales P_k y Q_k del objeto puntual A situado entre los dos espejos paralelos, es

hold on
d=5; %separación
x1=1; %posición objeto
x2=d-x1;
line([0,0],[-1,3], 'LineWidth', 1.5, 'color','k')
line([d,d],[-1,3], 'LineWidth', 1.5, 'color','k')
plot(x1,0,'ro','markersize',4,'markerfacecolor','r')

%imágnes P
for k=0:2:3
    xP=x1+k*d;
    plot(-xP,0,'bo','markersize',4,'markerfacecolor','b')
    xP=x2+(k+1)*d;
    plot(-xP,0,'bo','markersize',4,'markerfacecolor','b')
end
%imágnes Q
for k=0:2:3
    xQ=x2+k*d;
    plot(xQ+d,0,'bo','markersize',4,'markerfacecolor','b')
    xQ=x1+(k+1)*d;
    plot(xQ+d,0,'bo','markersize',4,'markerfacecolor','b')
end
hold off
grid on

Dos espejos planos y perpendiculares

Vamos a determinar las imágenes virtuales de un objeto puntual A situado en la posición (x, y), producidas por dos espejos planos en ángulo recto

hold on
line([0,5],[0,0], 'LineWidth', 1.5, 'color','k')
line([0,0],[0,5], 'LineWidth', 1.5, 'color','k')
line([0,-5],[0,0], 'lineStyle','--','LineWidth', 1.5, 'color','k')
line([0,0],[0,-5], 'lineStyle','--','LineWidth', 1.5, 'color','k')
plot(3,2,'ro','markersize',4,'markerfacecolor','r')
plot(3,-2,'bo','markersize',4,'markerfacecolor','b')
line([3,3],[0,2])
line([3,3],[0,-2],'lineStyle','--')
line([3,1],[2,0])
line([1,0],[0,1])
line([0,4],[1,5])
line([1,3],[0,-2],'lineStyle','--')
plot(-3,2,'bo','markersize',4,'markerfacecolor','b')
line([3,0],[2,2])
line([-3,0],[2,2],'lineStyle','--')
 line([3,0],[2,0.5])
line([-3,0],[2,0.5],'lineStyle','--')
line([0,1],[0.5,0])
line([1,4],[0,1.5])

plot(-3,-2,'bo','markersize',4,'markerfacecolor','b')
line([0,-3],[1,-2],'lineStyle','--')
line([1,-3],[0,-2],'lineStyle','--')
xlim([-3.2,4])
ylim([-2.2,4])
hold off
grid on

P₁ es la imagen de A producida por el espejo horizontal, dista y de dicho espejo
Q₁ es la imagen de A producida por el espejo vertical, dista x de dicho espejo
Q₂ es la imagen de Q₁ producida por el espejo horizontal
P₂ es la imagen de P₁ producida por el espejo vertical

Q₂ y P₂ coinciden. Este punto es la intersección de la prolongación de los rayos provenientes del objeto A y reflejados por segunda vez en los espejos

Dos espejos planos forman un ángulo θ

Consideremos el caso de dos espejos planos que forman un ángulo θ. Un objeto puntual A distante r=1 del eje, está situado en una posición que forma un ángulo θ₁ con el espejo horizontal y un ángulo θ₂=θ-θ₁ con el espejo inclinado.

Todas las imágenes virtuales estarán situadas en una circunferencia de radio r=1

Ejemplo

Sea θ=50°, θ₁=30° y θ₂=20°

hold on
th=50*pi/180;
th_1=pi/6;
th_2=th-th_1;
line([0,1.2],[0,0], 'LineWidth', 1.5, 'color','k')
line([0,-1.2],[0,0], 'lineStyle','--','LineWidth', 1.5, 'color','k')
line([0,1.2*cos(th)],[0,1.2*sin(th)], 'LineWidth', 1.5, 'color','k')
line([0,-1.2*cos(th)],[0,-1.2*sin(th)], 'lineStyle','--',
'LineWidth', 1.5, 'color','k')
fplot(@(t) cos(t), @(t) sin(t),[0,2*pi])
plot(cos(th_1),sin(th_1),'ro','markersize',4,'markerfacecolor','r')
%Q
for k=0:2:10
    ang=th_2+k*th;
    if ang<pi 
%         disp((ang+th)*180/pi)
        plot(cos(ang+th),sin(ang+th),'bo','markersize',4,'markerfacecolor','b')
    else
        break;
    end
    ang=th_1+(k+1)*th;
    if ang<pi 
%         disp((ang+th)*180/pi)
        plot(cos(ang+th),sin(ang+th),'bo','markersize',4,'markerfacecolor','b')
    else
        break;
    end
end
%P
for k=0:2:10
    ang=-th_1-k*th;
    if ang>=-pi 
%        disp(ang*180/pi)
        plot(cos(ang),sin(ang),'bo','markersize',4,'markerfacecolor','b')
    else
        break;
    end
    ang=-th_2-(k+1)*th;
     if ang>=-pi 
%        disp(ang*180/pi)
        plot(cos(ang),sin(ang),'bo','markersize',4,'markerfacecolor','b')
     else
         break;
    end
end

ylim([-1.2,1.2])
xlim([-1.2,1.2])
axis equal
hold off
grid on

Suprimiendo el símbolo % (comentario) delante de disp(...) se muestran las posiciones angulares de los puntos P_k y Q_k en grados en la ventana de comandos

P₁ es la imagen de A producida por el espejo horizontal, dista θ₁ de dicho espejo
Q₁ es la imagen de A producida por el espejo inclinado, dista θ₂ de dicho espejo
Q₂ es la imagen de P₁ producida por el espejo inclinado, dista θ₁+θ de dicho espejo
P₂ es la imagen de Q₁ producida por el espejo horizontal, que dista θ₂+θ de dicho espejo
Q₃ es la imagen de P₂ producida por el espejo inclinado, dista θ₂+2θ de dicho espejo
P₃ es la imagen de Q₂ producida por el espejo horizontal, dista θ₁+2θ de dicho espejo

Caso particular, θ=90°

Los dos espejos formando un ángulo recto ya se ha estudiado anteriormente. En el script anterior cambiamos las líneas de código th=pi/2; th_1=atan(2/3);. Reproducimos la posición de las tres imágenes virtuales del objeto puntual A cuyas coordenadas son (3,2)

Ejemplos

El número total de imágenes virtuales (en color azul) de un objeto puntual A (en color rojo), depende del ángulo θ entre los dos espejos planos y de la posición angular de A (ángulo θ₁) entre dichos espejos

En dos de los artículos que aparecen en las referencias se explica como obtener ese número para distintas situaciones, pero es demasiado prolijo para incluirlo en esta página. A cambio, se muestra una galería de imágenes que el lector puede experimentar cambiando el ángulo de separación θ entre los dos espejos y la posición angular θ₁ del objeto puntual A entre dichos espejos

function reflexion_10     
    subplot(2,2,1)
    imagenes(64*pi/180, 8*pi/180)
    title('\theta=64, \theta_1=8')

    subplot(2,2,2)
    imagenes(64*pi/180, 30*pi/180)
    title('\theta=64, \theta_1=30')

    subplot(2,2,3)
    imagenes(64*pi/180, 56*pi/180)
    title('\theta=64, \theta_1=56')

    subplot(2,2,4)
    imagenes(60*pi/180, 50*pi/180)
    title('\theta=60, \theta_1=50')

    function imagenes(th, th_1)
        hold on
        th_2=th-th_1;
        line([0,1.2],[0,0], 'LineWidth', 1.5, 'color','k')
        line([0,-1.2],[0,0], 'lineStyle','--','LineWidth', 1.5, 'color','k')
        line([0,1.2*cos(th)],[0,1.2*sin(th)], 'LineWidth', 1.5, 'color','k')
        line([0,-1.2*cos(th)],[0,-1.2*sin(th)], 'lineStyle','--',
'LineWidth', 1.5, 'color','k')
        fplot(@(t) cos(t), @(t) sin(t),[0,2*pi])
        plot(cos(th_1),sin(th_1),'ro','markersize',4,
'markerfacecolor','r')
        %Q
        for k=0:2:10
            ang=th_2+k*th;
            if ang<pi 
        %         disp((ang+th)*180/pi)
                plot(cos(ang+th),sin(ang+th),'bo','markersize',4,
'markerfacecolor','b')
            else
                break;
            end
            ang=th_1+(k+1)*th;
            if ang<pi 
        %         disp((ang+th)*180/pi)
                plot(cos(ang+th),sin(ang+th),'bo','markersize',
4,'markerfacecolor','b')
            else
                break;
            end
        end
        %P
        for k=0:2:10
            ang=-th_1-k*th;
            if ang>=-pi 
        %        disp(ang*180/pi)
                plot(cos(ang),sin(ang),'bo','markersize',4,
'markerfacecolor','b')
            else
                break;
            end
            ang=-th_2-(k+1)*th;
             if ang>=-pi 
        %        disp(ang*180/pi)
                plot(cos(ang),sin(ang),'bo','markersize',4,
'markerfacecolor','b')
             else
                 break;
            end
        end  
        ylim([-1.2,1.2])
        xlim([-1.2,1.2])
        axis equal
        hold off
        grid on
    end
end

En cada una de las 16 figuras, el lector puede contar el número de imágenes virtuales del objeto A (punto de color rojo), representadas por puntos de color azul

Lente cilíndrica

Sea una lente de vidrio transparente de índice de refracción n de forma de semicilíndica de radio R.

Un rayo incide en la posición x₀ con un ángulo α respecto a la normal a la superficie horizontal, el rayo se refracta en la superficie horizontal formando un ángulo β con dicha dirección. Suponiendo que el aire tiene índice de refracción 1, la ley de Snell para la refracción en la superficie horizontal, se escribe

sinα=n·sinβ

Rayo incidente a la derecha del origen, x₀>0

El rayo refractado, llega a la superficie cilíndrica formando un ángulo φ-β con la dirección radial (normal a la superficie cilíndrica), la ley de Snell se escribe

n·sin(φ-β)=sinθ

siendo θ>φ-β el ángulo que forma el rayo refractado con dicha dirección.

El ángulo φ se calcula a partir de consideraciones geométricas. El punto P de coordenadas (x₁, y₁) es la intersección de la recta que pasa por el punto (x₀,0) que forma un ángulo 90+β con el eje X, y la circunferencia de centro en el origen y radio R.

${\begin{cases} y = \frac{x_{0} - x}{\tan β} \\ x^{2} + y^{2} = R^{2} \end{cases}$

Resolvemos el sistema de dos ecuaciones para calcular el punto de intersección (x₁, y₁)

$\begin{array}{l} \frac{x^{2}}{\sin^{2} β} - 2 \frac{x_{0}}{\tan^{2} β} x + \frac{x_{0}^{2}}{\tan^{2} β} - R^{2} = 0 \\ x_{1} = x_{0} \cos^{2} β + \sin β \sqrt{R^{2} - x_{0}^{2} \cos^{2} β} \\ y_{1} = \frac{x_{0} - x_{1}}{\tan β} \end{array}$

El ángulo φ es

$\tan φ = \frac{x_{1}}{- y_{1}} = \frac{x_{1} \tan β}{x_{1} - x_{0}} = \frac{x_{0} \cos β + \tan β \sqrt{R^{2} - x_{0}^{2} \cos^{2} β}}{- x_{0} \sin β + \sqrt{R^{2} - x_{0}^{2} \cos^{2} β}}$

Reflexión total

Calcularemos la posición x₀ para el cual el ángulo θ=90°, el rayo refractado que sale de la lente cilíndrica es tangente a la superficie cilíndrica, se produce la reflexión total.

n·sin(φ-β)=1

Dado el ángulo φ=arcsin(1/n)+β, obtenemos x₁=Rsin(φ), y₁=-Rcos(φ). A partir de la relación

$y_{1} = \frac{x_{0} - x_{1}}{\tan β}$

calculamos, x₀=Rsin(φ)-Rcos(φ)tan(β)

Rayo incidente en el origen, x₀=0

Consideramos el rayo que pasa por el origen, x₀=0

x₁=Rsin(β), y₁=-Rcos(β), tanφ=tanβ. El ángulo de incidencia del rayo refractado sobre la superficie cilíndrica φ-β=0, el rayo tiene la dirección radial y no se desvía.

Este es el caso que estudiaremos en el siguiente apartado titulado 'Práctica de laboratorio'

Rayo incidente a la izquierda del origen, x₀<0

El rayo refractado, llega a la superficie cilíndrica formando un ángulo φ+β con la dirección radial (normal a la superficie cilíndrica), la ley de Snell para la refracción en la superficie cilíndrica, se escribe

n·sin(φ+β)=sinθ

siendo θ>φ+β el ángulo que forma el rayo refractado con dicha dirección.

Reflexión total

Consideramos la posición x₀ para el cual el ángulo θ=90°, el rayo refractado que sale de la lente cilíndrica es tangente a la superficie cilíndrica, se produce la reflexión total.

n·sin(φ+β)=1

Dado el ángulo φ=arcsin(1/n)-β, calculamos x₁=-Rsin(φ), y₁=-Rcos(φ). A partir de la relación

$y_{1} = \frac{x_{0} - x_{1}}{\tan β}$

calculamos x₀=-Rsin(φ)-Rcos(φ)tan(β)

Ejemplo

Radio de la lente semicircular, R=1
Indice de refracción del vidrio, $n = \sqrt{2}$
Angulo de incidencia medido desde la normal a la superficie plana, α=45°

Calculamos los ángulos φ para los que se produce la reflexión total

Refracción en la superficie plana, sinα=n·sinβ, β=30°

para x₀>0

Refracción en la superficie cilíndrica, el ángulo φ=arcsin(1/n)+β=45°+30°=75°

La posición x₀=Rsin(75)-Rcos(75)tan(30)= $R \sqrt{6} / 3$

para x₀<0

Refracción en la superficie cilíndrica, el ángulo φ=arcsin(1/n)-β=45°-30°=15°

La posición x₀=-Rsin(15)-Rcos(15)tan(30)= $- R \sqrt{6} / 3$

Para representar las figuras de este apartado, se ha creado el siguiente script de MATLAB

n=sqrt(2); %índice de refracción
alfa=pi/4; %ángulo incidente
R=1; %radio
beta=asin(sin(alfa)/n);
phi_m=asin(sin(alfa)/n)+asin(1/n); %ángulo límite
t=linspace(pi, 2*pi, 100);
x=R*cos(t);
y=R*sin(t);
x=[x,x(1)];
y=[y,y(1)];
fill(x,y,'c')

xm=R*sin(phi_m)-R*cos(phi_m)*tan(beta); %reflexión total
x0=0.5; %posición
line([x0-0.3, x0],[0.3/tan(alfa),0],'color','r')
x1=x0*cos(beta)^2+sin(beta)*sqrt(R^2-(x0*cos(beta))^2);
y1=(x0-x1)/tan(beta);
line([x0,x1],[0,y1],'color','r')
line([x0,x0],[0.3,-1],'color','k','lineStyle','--')
phi=atan(x1/(-y1));
if abs(x0)<=xm %refracción
    th=asin(n*sin(phi-beta));
    x2=x1-0.3*sin(th-phi);
    y2=y1-0.3*cos(th-phi);
    line([x1,x2],[y1,y2],'color','r')
    line([0,(R+0.3)*sin(phi)],[0,-(R+.3)*cos(phi)],'color','k','lineStyle','--')
else %reflexión
    x2=x1-0.3*sin(2*phi-beta);
    y2=y1+0.3*cos(2*phi-beta);
    line([x1,x2],[y1,y2],'color','r')
    line([0,(R+0.3)*sin(phi)],[0,-(R+.3)*cos(phi)],'color','k','lineStyle','--')
end
axis off
axis equal

Referencias

Chung-heng Liu. Number of images produced by multiple reflection. Am. J. Phys. 30 (1962), pp. 380-381

Vivek Lohani, Praveen Pathak. Image formation by two plane mirrors. Phys. Educ. 58 (2023) 035004

Para el apartado 'Lente cilíndrica'

Problema propuesto en la 2° Olimpiada Internacional de Física, Budapest, Hungría, 1968