Medida del índice de refracción de un líquido

Recipiente en forma de paralepípedo recto

Sea un líquido de índice de refracción desconocido nl contenido en una cubeta de vidrio o plástico transparente de índice de refracción nv. El índice de refracción del aire es na=1.

Un rayo de luz LASER incide sobre una de las caras con ángulo θi y sale por la otra cara formando un ángulo θe con la normal. Aplicamos la ley de Snell de la refracción (véase la parte derecha de la figura)

n a sin θ i = n v sinα n v sinα= n l sinβ n l sin( π 2 β )= n v sinσ n v sinσ= n a sin θ e

Se reduce al sistema de ecuaciones

{ n a sin θ i = n l sinβ n a sin θ e = n l cosβ n l 2 = n a 2 ( sin 2 θ i + sin 2 θ e )

El índice de refracción del líquido nl no depende del índice de refracción nv del recipiente, solamente de los ángulos de incidencia θi y refractado θe.

La dificultad estriba en la medida precisa de estos dos ángulos. En el primer artículo mencionado en las referencias se describe el dispositivo experimental

Recipiente de forma esférica

Un recipiente de forma esférica de radio R contiene el líquido de índice de refracción n desconocido.

Un haz de luz incide en A paralelamente al eje X a una distancia d=Rsinθ, formando un ángulo θ con la dirección radial. Aplicamos la ley de Snell de la refracción, sinθ=n·sinφ. El ángulo del haz refractado es φ<θ.

El haz refractado incide en B en la superficie esférica de separación y se cumple que n·sinφ=sinθ, el haz que sale del recipiente forma un ángulo θ con la dirección radial. Corta al eje X en un punto cuya abscisa f es la distancia focal. La desviación de este haz (ángulo δ que forma con la horizontal) es δ=2(θ-φ)

El código para dibujar una parte de la figura es

R=1; %radio
n=1.5; %índice de refracción
hold on
x=(0:360)*pi/180;
fill(R*cos(x),R*sin(x),'c')
plot(R*cos(x),R*sin(x), 'k')
th=pi/6; %ángulo incidente
line([-R-0.1,-R*cos(th)],[R*sin(th),R*sin(th)],'color','k')
phi=asin(sin(th)/n); %refractado
x2=R*cos(th-2*phi);
y2=R*sin(2*phi-th);
line([-R*cos(th),x2],[R*sin(th),y2],'color','k')
f=R*cos(th-2*phi)+R*sin(2*phi-th)/tan(2*(th-phi));
line([x2,f],[y2,0], 'color','k')
line([-R*cos(th),0],[R*sin(th),0],'lineStyle','--', 'color','k')
line([x2,0],[y2,0],'lineStyle','--', 'color','k')
line([-R,R],[0,0],'color','k')
hold off
axis equal
axis off
grid on

Aproximación paraxial

Cuando el ángulo α es pequeño, sinαα.

La ley de la refracción, sinθ=n·sinφ, se aproxima a θn·φ

fR θ 2( θφ ) =R θ 2( θ θ n ) =R n 2(n1)

Supongamos un recipiente esférico de radio R=3.08 cm que contiene agua cuyo índice de refracción n=1.3304 para la luz de color rojo (λ=635 nm). Trazamos los rayos de luz que distan d=iR/10, i=1,2,3...9 del eje X. Representamos mediante un punto la posición del foco f en la aproximación paraxial

R=3.08; %radio
n=1.3304; %índice de refracción del agua
hold on
x=(0:360)*pi/180;
fill(R*cos(x),R*sin(x),'c')
plot(R*cos(x),R*sin(x), 'k')
for i=1:9
    th=asin(i/10);
    line([-R-1,-R*cos(th)],[R*sin(th),R*sin(th)],'color','r')
    line([-R-1,-R*cos(th)],[-R*sin(th),-R*sin(th)],'color','r')
    phi=asin(sin(th)/n); %refractado
    x2=R*cos(th-2*phi);
    y2=R*sin(2*phi-th);
    line([-R*cos(th),x2],[R*sin(th),y2],'color','r')
    line([-R*cos(th),x2],[-R*sin(th),-y2],'color','r')
    f=R*sin(th)/sin(2*(th-phi));
    line([x2,f],[y2,0], 'color','r')
    line([x2,f],[-y2,0], 'color','r')
end
plot(R*n/(2*(n-1)),0, 'o','markersize',3,'markeredgecolor','b',
'markerfacecolor','b')
line([-R-1,2.1*R],[0,0],'color','k')
hold off
axis equal
axis off
grid on

Cálculo del índice de refracción

Un haz de luz LASER de color rojo (λ=635 nm) se divide en dos haces paralelos al eje X equidistantes que inciden sobre la superficie esférica de un recipiente de radio R=3.08 cm que contiene agua, cuyo índice de refracción n vamos a determinar

Se mide la posición del foco, la abscisa de la intersección de los haces paralelos con el eje X, f=6.18 cm

Representamos el recipiente y los dos haces de luz roja, inicialmente paralelos, hasta que llegan al foco F

R=3.08; %radio
n=1.3304; %índice de refracción del agua

hold on
x=(0:360)*pi/180;
fill(R*cos(x),R*sin(x),'c')
plot(R*cos(x),R*sin(x), 'k')
th=10*pi/180; %ángulo incidente
line([-R-1,-R*cos(th)],[R*sin(th),R*sin(th)],'color','r')
line([-R-1,-R*cos(th)],[-R*sin(th),-R*sin(th)],'color','r')
phi=asin(sin(th)/n); %refractado
x2=R*cos(th-2*phi);
y2=R*sin(2*phi-th);
line([-R*cos(th),x2],[R*sin(th),y2],'color','r')
line([-R*cos(th),x2],[-R*sin(th),-y2],'color','r')
f=R*sin(th)/sin(2*(th-phi));
line([x2,f],[y2,0], 'color','r')
line([x2,f],[-y2,0], 'color','r')
plot(f,0, 'o','markersize',3,'markeredgecolor','r','markerfacecolor','r')
line([-R,2.5*R],[0,0],'color','k')
line([-R*cos(th),0],[R*sin(th),0],'lineStyle','--', 'color','k')
hold off
axis equal
grid on

Se sugiere al lector calcular los índices de refracción del etanol y de un aceite vegetal contenidos en un recipiente esférico de radio R=3.08 cm. Las medidas de la distancia focal son f=5.59 cm para el primero y f=4.79 cm para el segundo, respectivamente

Tubo capilar

En esta sección, se describe la medida del índice de refracción n de un líquido contenido en un tubo capilar de radio interior r y exterior R. El índice de refracción del tubo es n0>n.

Un tubo capilar de radio R=0.5 mm se ilumina con luz de un LASER He-Ne de λ=632.8 nm de longitud de onda. La luz dispersada procede de las reflexiones de la luz con la superficie exterior e interior del capilar, que no tendremos en cuenta. Se tomarán en consideración tres rayos y se medirán sus ángulos de desviación, a partir de estas tres medidas obtendremos:

Rayo 1

El primer rayo ABC es idéntico al estudiado en la sección anterior, cambiando el índice de refracción n por n0.

Un haz de luz incide en A paralelamente al eje X, formando un ángulo θ con la dirección radial. Aplicamos la ley de Snell de la refracción, sinθ=n0·sinφ. El ángulo del haz refractado es φ<θ.

El haz refractado incide en B en la superficie esférica de separación y se cumple que n0·sinφ=sinθ, el haz que sale del recipiente forma un ángulo θ con la dirección radial. El ángulo de desviación δ1=2(θ-φ)

El código para dibujar una parte de la figura es

R=1; %radio exterior
r=0.5; %radio interior
n0=1.5; %índice de refracción del tubo
hold on
x=(0:360)*pi/180;
fill(R*cos(x),R*sin(x),'c')
plot(R*cos(x),R*sin(x), 'k')
fill(r*cos(x),r*sin(x),'y')
plot(r*cos(x),r*sin(x), 'k')

th=asin(0.8/R); %ángulo incidente
line([-R-0.1,-R*cos(th)],[R*sin(th),R*sin(th)],'color','k')
phi=asin(sin(th)/n0); %refractado
x2=R*cos(th-2*phi);
y2=R*sin(2*phi-th);
line([-R*cos(th),x2],[R*sin(th),y2],'color','k')
%transmitido
f=R*sin(th)/sin(2*(th-phi));
line([x2,f],[y2,0], 'color','k')

line([-R*cos(th),0],[R*sin(th),0],'lineStyle','--', 'color','k')
line([x2,0],[y2,0],'lineStyle','--', 'color','k')
line([-1.1*R,1.1*R],[0,0],'color','k')
hold off
axis equal
axis off
grid on

Cuando el ángulo incidente θ disminuye el refractado AB llega un momento en que se hace tangente a la circunferencia de radio r.

El ángulo del rayo refractado, sinφ=r/R

El ángulo del rayo incidente límite es sinθl=n0sinφ

θ l =arcsin( n 0 r R )

El rayo 1 se produce para los ángulos θ de los rayos incidentes paralelos al eje X tales que θl<θ<π/2

 

Angulo de desviación

Representamos el ángulo de desviación δ1 en función del ángulo incidente θ en el intervalo θl<θ<π/2.

δ 1 =2( θφ )=2( θarcsin( sinθ n 0 ) )

R=1; %radio exterior
r=0.5; %radio interior
n0=1.5; %índice de refracción
n=1.33; %índice de refración del agua
th_lim=asin(n0*r/R); %límite inferior
f=@(x) 2*(x-asin(sin(x)/n0));
fplot(f,[th_lim,pi/2])
set(gca,'XTick',0:pi/12:pi/2)
set(gca,'XTickLabel',{'0','15','30','45','60','75','90'})
set(gca,'YTick', 0:pi/12:pi/2)
set(gca,'YTickLabel',{'0','15','30','45','60','75','90'})
grid on
xlabel('\theta')
ylabel('\delta_1')
title('Angulo de desviación, rayo 1')

Vemos que es una función creciente, designamos α1 el valor menor del ángulo de desviación δ1

α 1 =2( θ l arcsin( sin θ l n 0 ) )=2( arcsin( n 0 r R )arcsin( r R ) )

Rayo 2

El rayo iniciente paralelo al eje X se refracta en A y llega a B, en parte se refracta y en parte se refleja. El rayo 1 es el refractado que hemos estudiado y el rayo 2 es el reflejado en B, que se refracta cuando llega a C. Tal como ocurre al estudiar el arco primario del arco iris

Angulo de desviación

Se muestra el camino que siguen 9 rayos inicialmente paralelos al eje X, equidistantes en el intervalo θl<θ<π/2

R=1; %radio exterior
r=0.5; %radio interior
n0=1.5; %índice de refracción
n=1.33; %índice de refración del agua
hold on
x=(0:360)*pi/180;
fill(R*cos(x),R*sin(x),'c')
plot(R*cos(x),R*sin(x), 'k')
fill(r*cos(x),r*sin(x),'y')
plot(r*cos(x),r*sin(x), 'k')
th_lim=asin(n0*r/R);
d_lim=R*sin(th_lim);
for i=1:9
    d=d_lim+(R-d_lim)*i/10;
    th=asin(d/R);
    line([-R-0.1,-R*cos(th)],[R*sin(th),R*sin(th)],'color','k')
    phi=asin(sin(th)/n0); %refractado
    x2=R*cos(th-2*phi);
    y2=R*sin(2*phi-th);
    line([-R*cos(th),x2],[R*sin(th),y2],'color','k')
    f=R*(sin(th)+sin(2*(th-phi))/2)/sin(2*(th-phi));
    line([x2,f],[y2,-R/2], 'color','k')
%rayo reflejado
    x3=-R*cos(4*phi-th);
    y3=-R*sin(4*phi-th);
    line([x2,x3],[y2,y3],'color','k')
    x4=-R*cos(4*phi-th)-0.3;
    y4=tan(4*phi-2*th)*x4-R*sin(th)/cos(4*phi-2*th);
    line([x3,x4],[y3, y4],'color','k')
end
hold off
axis equal
axis off
grid on

Representamos el ángulo de desviación δ2 en función del ángulo incidente θ en el intervalo θl<θ<π/2.

δ 2 =π+2θ4arcsin( sinθ n 0 )

R=1; %radio exterior
r=0.5; %radio interior
n0=1.5; %índice de refracción
n=1.33; %índice de refración del agua
th_lim=asin(n0*r/R);
f=@(x) 2*x-4*asin(sin(x)/n0)+pi;
fplot(f,[th_lim,pi/2])
set(gca,'XTick',0:pi/12:pi/2)
set(gca,'XTickLabel',{'0','15','30','45','60','75','90'})
set(gca,'YTick', pi/2:pi/12:pi)
set(gca,'YTickLabel',{'90','105','120','135','150','165','180'})
grid on
ylim([f(th_lim)-0.1, f(pi/2)])
xlabel('\theta')
ylabel('\delta_2')
title('Angulo de desviación, rayo 2')

La función que tiene un mínimo

d δ 2 dθ =24 cosθ n 0 1 sin 2 θ n 0 2 =0 4 cos 2 θ+ sin 2 θ n 0 2 =1 43 sin 2 θ= n 0 2 sinθ= 4 n 0 2 3

Designamos por α2 el ángulo de desviación, para este ángulo de incidencia

α 2 =π+2arcsin( 4 n 0 2 3 )4arcsin( 1 n 0 4 n 0 2 3 )

La medida del ángulo α2 nos proporciona el índice de refracción del tubo n0. Conocido n0, la medida del ángulo α1 nos proporciona el cociente r/R entre los radios interior r y exterior R del tubo.

Rayo 3

El rayo 3 atraviesa el líquido contenido en el capilar

Angulo de desviación

Se muestra el camino que siguen 9 rayos inicialmente paralelos al eje X, equidistantes en el intervalo 0<θ<arcsin(nr/R)

R=1; %radio exterior
r=0.5; %radio interior
n0=1.5; %índice de refracción vidrio
n=1.33; %índice refracción agua
hold on
x=(0:360)*pi/180;
fill(R*cos(x),R*sin(x),'c')
plot(R*cos(x),R*sin(x), 'k')
fill(r*cos(x),r*sin(x),'y')
plot(r*cos(x),r*sin(x), 'k')
th_lim=asin(n*r/R);
d_lim=R*sin(th_lim);
for i=1:9
    d=d_lim*i/10;
    th=asin(d/R);
    line([-R-0.1,-R*cos(th)],[R*sin(th),R*sin(th)],'color','k')
    phi=asin(sin(th)/n0); %refractado
    x2=R*sin(th-phi)*sin(phi)-R*sqrt((r/R)^2-sin(phi)^2)*cos(th-phi);
    y2=-tan(th-phi)*x2+R*sin(phi)/cos(th-phi);
    line([-R*cos(th),x2],[R*sin(th),y2],'color','k')
    alfa=asin(R*sin(phi)/r);
    beta=asin(n0*sin(alfa)/n);
    delta=th-phi+alfa-beta;
    b=y2+tan(delta)*x2;
    x3=cos(delta)*(b*sin(delta)+sqrt(r^2-(b*cos(delta))^2));
    y3=-tan(delta)*x3+b;
    line([x3,x2],[y3,y2],'color','k')
    delta=th-phi+2*(alfa-beta);
    b=y3+tan(delta)*x3;
    x4=cos(delta)*(b*sin(delta)+sqrt(R^2-(b*cos(delta))^2));
    y4=-tan(delta)*x4+b;
    line([x3,x4],[y3,y4],'color','k')
    delta=2*(th-phi+alfa-beta);
    b=y4+tan(delta)*x4;
    x5=x4+0.2;
    y5=-tan(delta)*x5+b;
    line([x4,x5],[y4,y5],'color','k')
end
hold off
axis equal
axis off
grid on

Representamos el ángulo de desviación δ3=2(θ-φ+β-γ) en función del ángulo incidente θ en el intervalo 0<θ<arcsin(nR/r).

δ 3 =2( θarcsin( sinθ n 0 )+arcsin( R r sinθ n 0 )arcsin( R r sinθ n ) )

R=1; %radio exterior
r=0.5; %radio interior
n0=1.5; %índice de refracción
n=1.33; %índice de refración del agua
th_lim=asin(n*r/R);
f=@(x) 2*(x-asin(sin(x)/n0))+2*(asin(R*sin(x)/(r*n0))-asin(R*sin(x)/(r*n)));
fplot(f,[0, th_lim])
set(gca,'XTick',0:pi/12:pi/2)
set(gca,'XTickLabel',{'0','15','30','45','60','75','90'})
set(gca,'YTick', -pi/24:pi/24:pi/25)
set(gca,'YTickLabel',{'-7.5','0','7.5'})
grid on
ylim([-0.15,0.15])
xlabel('\theta')
ylabel('\delta')
title('Angulo de desviación, rayo 3')

Vemos que es una función que tiene un máximo que se calcula

d δ 3 dθ =2( 1 cosθ n 0 1 sin 2 θ n 0 2 + R r cosθ n 0 1 R 2 r 2 sin 2 θ n 0 2 R r cosθ n 1 R 2 r 2 sin 2 θ n 2 )=0

Se trata de una ecuación transcendente con dos incógnitas: el ángulo de incidencia θ correspondiente al máximo de δ3 y n (índice de refracción del líquido contenido en el tubo capilar)

Designamos por α3 el ángulo de desviación, para este ángulo de incidencia

α 3 =2( θ m arcsin( sin θ n 0 )+arcsin( R r sin θ n 0 )arcsin( R r sin θ n ) )

Conocida la medida del ángulo α3 despejamos las dos incógnitas: θ y n, en el sistema de dos ecuaciones no lineales que se pueden resolver de forma gráfica o mediante el comando fsolve

Los ángulos de dispersión

Representamos con una línea gruesa de color rojo, el haz incidente sobre un tubo capilar de diámetro 1 mm. Se representan los rayos dispersados mediante líneas de color rojo en las tres direcciones estudiadas, marcándose en color azul los ángulos de desviación α1, α2 y α3, que se miden en el sentido de las agujas del reloj. La pantalla cilíndrica representada por la circunferencia de color negro tiene un radio de 7.5 cm

R=1; %radio exterior
r=0.5; %radio interior
n0=1.5; %índice de refracción
n=1.33; %índice de refración del agua
Rp=75; %radio de la pantalla
fplot(@(x) Rp*cos(x), @(x) Rp*sin(x),[0,2*pi],'color','k')
th_lim=asin(n0*r/R);
d_lim=R*sin(th_lim);
for i=1:9
    d=d_lim+(R-d_lim)*i/10;
    th=asin(d/R);
    delta=2*(th-asin(sin(th)/n0));
    line([0,Rp*cos(delta)],[0,-Rp*sin(delta)],'color','r')
end
alfa=2*(asin(n0*r/R)-asin(r/R));
line([0,Rp*cos(alfa)],[0,-Rp*sin(alfa)],'color','b')

for i=1:9
    d=d_lim+(R-d_lim)*i/10;
    th=asin(d/R);
    delta=pi+2*th-4*asin(sin(th)/n0);
    line([0,Rp*cos(delta)],[0,-Rp*sin(delta)],'color','r')
end
th=asin(sqrt((4-n0^2)/3));
alfa=pi+2*th-4*asin(sin(th)/n0);
line([0,Rp*cos(alfa)],[0,-Rp*sin(alfa)],'color','b')

th_lim=asin(n*r/R);
d_lim=R*sin(th_lim);
for i=1:9
    d=d_lim*i/10;
    th=asin(d/R);
    delta=2*(th-asin(sin(th)/n0)+asin(R*sin(th)/(r*n0))-asin(R*sin(th)/(r*n)));
    line([0,Rp*cos(delta)],[0,-Rp*sin(delta)],'color','r')
end
f=@(x) 1-cos(x)/(n0*sqrt(1-(sin(x)/n0)^2))+R*cos(x)/(r*n0*sqrt(1-(R*sin(x)
/(r*n0))^2))-R*cos(x)/(r*n*sqrt(1-(R*sin(x)/(r*n))^2));
th=fzero(f,delta);
alfa=2*(th-asin(sin(th)/n0)+asin(R*sin(th)/(r*n0))-asin(R*sin(th)/(r*n)));
line([0,Rp*cos(alfa)],[0,-Rp*sin(alfa)],'color','b')

line([-Rp-10,0],[0,0],'color','r','lineWidth',2)
axis equal
axis off

Medida del índice de refracción de un líquido

En el tubo capilar se ha introducido agua, alcohol y simeticona (un medicamento). Los ángulo medidos son

Líquidoα1α2α3
Agua154° 47'37° 33'9° 17'
Alcohol154° 25'37° 48'12° 42'
Simeticona154° 55'37° 41'19° 9'
  1. La medida de α2 proporciona el índice de refracción del tubo, n0

  2. α 2 =π+2arcsin( 4 n 0 2 3 )4arcsin( 1 n 0 4 n 0 2 3 )

    alfa_2=(154+47/60)*pi/180;
    f=@(x) pi+2*asin(sqrt((4-x.^2)/3))-4*asin(sqrt((4-x.^2)/3)./x)-alfa_2;
    fplot(f,[1,1.7])
    grid on
    xlabel('f(n_0)')
    xlabel('n_0')
    grid on
    title('Indice de refracción del tubo')

    El resultado es n0=1.477

  3. La medida de α1 nos proporciona el valor del cociente r/R, donde r es el radio interior del tubo y R el exterior
  4. α 1 =2( arcsin( n 0 r R )arcsin( r R ) )

    alfa_1=(37+33/60)*pi/180;
    n0=1.477; %índice de refracción del tubo
    f=@(x) 2*(asin(n0*x)-asin(x))-alfa_1;
    fplot(f,[0,1])
    grid on
    xlabel('f(r/R)')
    xlabel('r/R')
    grid on
    title('Cociente r/R de los radios del tubo')

    El resultado es r/R=0.5227

  5. La medida de α3 nos proporciona el valor del índice de refracción n del líquido contenido en el tubo capilar. Para ello hay que resolver el sistema no lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas: θ y n

  6. { 1 cosθ n 0 2 sin 2 θ + R r cosθ n 0 2 R 2 r 2 sin 2 θ R r cosθ n 2 R 2 r 2 sin 2 θ =0 2( θarcsin( sinθ n 0 )+arcsin( R r sinθ n 0 )arcsin( R r sinθ n ) ) α 3 =0

    Representamos gráficamente las funciones f(θ,n) y g(θ,n) y obtenemos la ordenada n del punto de intersección

    alfa_3=(9+17/60)*pi/180;
    n0=1.477; %índice de refracción del tubo
    r_R=0.5227; %relación radios
    f=@(x,y) 1-cos(x)./sqrt(n0^2-sin(x).^2)+cos(x)./(r_R*sqrt(n0^2-
    (sin(x)/r_R).^2))
    -cos(x)./(r_R.*sqrt(y.^2-(sin(x)/r_R).^2));
    g=@(x,y) 2*(x-asin(sin(x)/n0)+asin(sin(x)/(r_R*n0))-asin(sin(x)./(r_R*y)))-
    alfa_3;
    hold on
    fimplicit(f, [0,pi/4,1,n0])
    fimplicit(g, [0,pi/4,1,n0])
    hold off
    xlabel('\theta')
    ylabel('n')
    grid on
    title('Indice de refracción de un líquido')

    El resultado es n=1.3297

Se sugiere al lector probar con los otros dos líquidos. El índice de refracción del tubo no cambia n0=1.477. El cociente de los dos radios tampoco cambia r/R=0.5227. El índice de refracción del alcohol es n=1.3609 y de la simeticona n=1.4056

Referencias

M. F. Duque D., S. Gómez P., C. C. Pinilla C. Refractómetro de cubeta de sección cuadrada. Revista Mexicana de Física E 52 (2) 177–181. Diciembre 2006

I E Santosa. Measuring refractive index of a liquid with a spherical shape flask and Tracker. Phys. Educ. 56 (2021) 065014

Zhihong You, Daya Jiang, Zhibo Hou, Jinghua Xiao. Analysis of light scattered by a capillary to measure a liquid’s index of refraction. Am. J. Phys. 80 (8), August 2012, pp. 688-693