Propagación del sonido en el océano

En la figura, se muestra la variación de la velocidad del sonido c con la profundidad y para el caso en que el mínimo c0 de velocidad se encuentre a medio camino entre la superficie del océano y el fondo marino. Situamos el origen de coordenadas en dicha posición, de modo que la superficie se encuentra a +ys y el fondo a –ys.

La velocidad del sonido para y>0 es c=c0+by donde b es la pendiente de la recta o gradiente de la velocidad del sonido con la profundidad y.

Como hemos visto en la página anterior, en un medio estratificado verticalmente la ley de Snell se expresa

n0·sinθ0= n1·sinθ1
n1·sinθ1= n2·sinθ2
n2·sinθ2=n3·sinθ3

En general

n0·sinθ0=n(y)sinθ

donde n0 es el índice de refracción para y=0, y n(y) es el índice de refracción a la altura y. θ es el ángulo que forma el rayo incidente con la normal tal como se aprecia en la figura

La ley de Snell se expresa en términos de las velocidades de propagación del sonido

1 c 0 sin θ 0 = 1 c 0 +by sinθ

Ecuación de la trayectoria

tanθ= dx dy = sinθ 1 sin 2 θ dx dy = ( c 0 +by)sin θ 0 c 0 2 ( ( c 0 +by)sin θ 0 ) 2

Integramos

x= ( c 0 +by)sin θ 0 c 0 2 ( ( c 0 +by)sin θ 0 ) 2 dy +C x= 1 bsin θ 0 c 0 2 ( ( c 0 +by)sin θ 0 ) 2 +C

donde C es una constante de integración que se determina a partir de las condiciones iniciales, para x=0, y=0, el rayo parte del origen.

x= 1 bsin θ 0 ( c 0 cos θ 0 c 0 2 ( ( c 0 +by)sin θ 0 ) 2 ) x c 0 cos θ 0 bsin θ 0 = c 0 2 ( ( c 0 +by)sin θ 0 ) 2

Elevando al cuadrado

( x c 0 cos θ 0 bsin θ 0 ) 2 + ( y+ c 0 b ) 2 = ( c 0 bsin θ 0 ) 2

Que es la ecuación de una circunferencia centrada en el punto xc, yc y de radio R

x c = c 0 cos θ 0 bsin θ 0 y c = c 0 b R= c 0 bsin θ 0

Variando el ángulo inicial θ0 obtenemos distintas trayectorias.

El arco de circunferencia corta al eje X en el punto y=0, cuya abscisa es

x 0 =2 c 0 cos θ 0 bsin θ 0

La altura máxima del rayo se produce para x0/2

y 0 = c 0 b ( 1 sin θ 0 1 )

El rayo alcanza la superficie del agua ys para el ángulo θ0 tal que y0=ys

θ 0 =arcsin( c 0 b y s + c 0 )

Trayectorias

Para que un rayo llegue a la posición (x0, 0) sobre el eje X hay varias posibilidades

Un arco de semicircunferencia

En la figura de la izquierda, se muestra la trayectoria que une el origen y el punto (x0, 0) mediante un arco de semicircunferencia. Calculamos el ángulo θ0

x 0 =2 c 0 cos θ 0 bsin θ 0 θ 0 =arctan( 2 c 0 b x 0 )

El tiempo que tarda el sonido en propagarse desde el origen hasta el punto (x0, 0), es el doble del tiempo que tarda en ir desde el origen hasta el máximo (x0/2, y0). Si c es la velocidad del sonido. El tiempo que tarda en recorrer el arco de circunferencia ds=R·dθ es ds/c, el tiempo total es

t=2 θ 0 π/2 Rdθ c

Como c=c0+by. En la figura de la derecha, y-yc=R·sinθ, por lo que y+c0/b=R·sinθ

t=2 θ 0 π/2 Rdθ bRsinθ = 2 b lntan θ 0 2

Para resolver esta integral se hace el cambio de variable x=tan(θ/2)

Ejemplo: x0=10000 m, c0=1500 m/s, b=0.02 s-1. Obtenemos θ0=86.19°, t=6.662 s

n arcos

La segunda posibilidad es describir dos arcos de circunferencia, uno por encima y otro por debajo del eje X.

En esta ocasión xmáx=x0/2 y el ángulo θ0 es

θ 0 =arctan( 4 c 0 b x 0 )

Tres arcos de semicircunferencia, cuatro, …n arcos

θ 0 =arctan( 2n c 0 b x 0 )n=1,2,3...n

Ejemplo

Sea c0=1500 m/s la velocidad del sonido en la posición del eje X, a medio camino entre la superficie y el fondo del océano

Sea el gradiente de velocidad con la altura b=0.2 s-1, se el ángulo θ0=60º que forma el rayo incidente con el eje Y. El fondo del océano se encuentra a 10000 m de profundidad o bien, 5000 m por debajo del eje X.

La altura máxima del rayo es

y 0 = c 0 b ( 1 sin θ 0 1 ) y 0 =1.16km

La primera intersección con el eje X se produce a la distancia

x 0 =2 c 0 cos θ 0 bsin θ 0 x 0 =8.66km

Las otras son múltiplos de esta cantidad

El mínimo ángulo θ0 por debajo del cual el rayo ya no describe arcos de circunferencia sino que es absorbido por el fondo del océano.

θ 0 =arcsin( c 0 b y s + c 0 ) θ 0 =36.9º

Nota: El rayo no se dirige hacia la superficie del océano para evitar tratar con la refracción de dicho rayo en la superficie de separación entre el aire y el agua. Unos rayos se refractarán y otros experimentarán reflexión total hacia el interior del océano.

Dirigiéndolos hacia abajo, supondremos que el sonido es absorbido al llegar al fondo del océano.

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

La intensidad de color azul señala la magnitud de la velocidad de propagación: mínima en el eje X, aumentando hacia la superficie del océano y hacia el fondo. El índice de refracción, que es inversamente proporcional a la velocidad de propagación, es máximo a lo largo del eje X y disminuye hacia la superficie del océano y hacia el fondo.

Vemos que el efecto de dicho gradiente es que  el sonido se propague a lo largo de arcos de circunferencia a través de una especie de canal.


Referencias

Problema de la XXVI Olimpiada Internacional de Física. Canberra, 1995