El índice de refracción varía con y

En la figura, se muestra la variación de la velocidad del sonido c con la profundidad y para el caso en que el mínimo c₀ de velocidad se encuentre a medio camino entre la superficie del océano y el fondo marino. Situamos el origen de coordenadas en dicha posición, de modo que la superficie se encuentra a +y_s y el fondo a –y_s.

La velocidad del sonido para y>0 es c=c₀+by donde b es la pendiente de la recta o gradiente de la velocidad del sonido con la profundidad y.

Como hemos visto en la página anterior, en un medio estratificado verticalmente la ley de Snell se expresa

n₀·sinθ₀= n₁·sinθ₁
n₁·sinθ₁= n₂·sinθ₂
n₂·sinθ₂=n₃·sinθ₃

En general

n₀·sinθ₀=n(y)sinθ

donde n₀ es el índice de refracción para y=0, y n(y) es el índice de refracción a la altura y. θ es el ángulo que forma el rayo incidente con la normal tal como se aprecia en la figura

La ley de Snell se expresa en términos de las velocidades de propagación del sonido

${\displaystyle \frac{1}{c_0}\sin {\theta }_0=\frac{1}{c_0+by}\sin \theta }$

Ecuación de la trayectoria

${\displaystyle \begin{array}{l}\tan \theta =\frac{dx}{dy}=\frac{\sin \theta }{\sqrt{1-{\sin }^2\theta }}\\ \frac{dx}{dy}=\frac{(c_0+by)\sin {\theta }_0}{\sqrt{c_0^2-{\left((c_0+by)\sin {\theta }_0\right)}^2}}\end{array}}$

Integramos

${\displaystyle \begin{array}{l}x={\displaystyle \int \frac{(c_0+by)\sin {\theta }_0}{\sqrt{c_0^2-{\left((c_0+by)\sin {\theta }_0\right)}^2}}dy}+C\\ x=-\frac{1}{b\sin {\theta }_0}\sqrt{c_0^2-{\left((c_0+by)\sin {\theta }_0\right)}^2}+C\end{array}}$

donde C es una constante de integración que se determina a partir de las condiciones iniciales, para x=0, y=0, el rayo parte del origen.

${\displaystyle \begin{array}{l}x=\frac{1}{b\sin {\theta }_0}\left(c_0\cos {\theta }_0-\sqrt{c_0^2-{\left((c_0+by)\sin {\theta }_0\right)}^2}\right)\\ x-\frac{c_0\cos {\theta }_0}{b\sin {\theta }_0}=\sqrt{c_0^2-{\left((c_0+by)\sin {\theta }_0\right)}^2}\end{array}}$

Elevando al cuadrado

${\displaystyle {\left(x-\frac{c_0\cos {\theta }_0}{b\sin {\theta }_0}\right)}^2+{\left(y+\frac{c_0}{b}\right)}^2={\left(\frac{c_0}{b\sin {\theta }_0}\right)}^2}$

Que es la ecuación de una circunferencia centrada en el punto x_c, y_c y de radio R

${\displaystyle x_c=\frac{c_0\cos {\theta }_0}{b\sin {\theta }_0}{y}_c=-\frac{c_0}{b}R=\frac{c_0}{b\sin {\theta }_0}}$

Variando el ángulo inicial θ₀ obtenemos distintas trayectorias.

El arco de circunferencia corta al eje X en el punto y=0, cuya abscisa es

${\displaystyle x_0=2\frac{c_0\cos {\theta }_0}{b\sin {\theta }_0}}$

La altura máxima del rayo se produce para x₀/2

${\displaystyle y_0=\frac{c_0}{b}\left(\frac{1}{\sin {\theta }_0}-1\right)}$

El rayo alcanza la superficie del agua y_s para el ángulo θ₀ tal que y₀=y_s

${\displaystyle {\theta }_0=\arcsin \left(\frac{c_0}{b{y}_s+c_0}\right)}$

Trayectorias

Para que un rayo llegue a la posición (x₀, 0) sobre el eje X hay varias posibilidades

En la figura de la izquierda, se muestra la trayectoria que une el origen y el punto (x₀, 0) mediante un arco de semicircunferencia. Calculamos el ángulo θ₀

${\displaystyle x_0=2\frac{c_0\cos {\theta }_0}{b\sin {\theta }_0}{\theta }_0=\arctan \left(\frac{2c_0}{b{x}_0}\right)}$

El tiempo que tarda el sonido en propagarse desde el origen hasta el punto (x₀, 0), es el doble del tiempo que tarda en ir desde el origen hasta el máximo (x₀/2, y₀). Si c es la velocidad del sonido. El tiempo que tarda en recorrer el arco de circunferencia ds=R·dθ es ds/c, el tiempo total es

${\displaystyle t=2{\displaystyle \underset{{\theta }_0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{Rd\theta }{c}}}$

Como c=c₀+by. En la figura de la derecha, y-y_c=R·sinθ, por lo que y+c₀/b=R·sinθ

${\displaystyle t=2{\displaystyle \underset{{\theta }_0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{Rd\theta }{bR\sin \theta }}=-\frac{2}{b}\ln \tan \frac{{\theta }_0}{2}}$

Para resolver esta integral se hace el cambio de variable x=tan(θ/2)

Ejemplo: x₀=10000 m, c₀=1500 m/s, b=0.02 s^-1. Obtenemos θ₀=86.19°, t=6.662 s

La segunda posibilidad es describir dos arcos de circunferencia, uno por encima y otro por debajo del eje X.

En esta ocasión x_máx=x₀/2 y el ángulo θ₀ es

${\displaystyle {\theta }_0=\arctan \left(\frac{4c_0}{b{x}_0}\right)}$

Tres arcos de semicircunferencia, cuatro, …n arcos

${\displaystyle {\theta }_0=\arctan \left(\frac{2n{c}_0}{b{x}_0}\right)n=\mathrm{1,2,3...}n}$

Ejemplo

Sea c₀=1500 m/s la velocidad del sonido en la posición del eje X, a medio camino entre la superficie y el fondo del océano

Sea el gradiente de velocidad con la altura b=0.2 s^-1, se el ángulo θ₀=60º que forma el rayo incidente con el eje Y. El fondo del océano se encuentra a 10000 m de profundidad o bien, 5000 m por debajo del eje X.

La altura máxima del rayo es

${\displaystyle y_0=\frac{c_0}{b}\left(\frac{1}{\sin {\theta }_0}-1\right)y_0=1.16\text{km}}$

La primera intersección con el eje X se produce a la distancia

${\displaystyle x_0=2\frac{c_0\cos {\theta }_0}{b\sin {\theta }_0}{x}_0=8.66\text{km}}$

Las otras son múltiplos de esta cantidad

El mínimo ángulo θ₀ por debajo del cual el rayo ya no describe arcos de circunferencia sino que es absorbido por el fondo del océano.

${\displaystyle {\theta }_0=\arcsin \left(\frac{c_0}{b{y}_s+c_0}\right){\theta }_0=36.9º}$

Nota: El rayo no se dirige hacia la superficie del océano para evitar tratar con la refracción de dicho rayo en la superficie de separación entre el aire y el agua. Unos rayos se refractarán y otros experimentarán reflexión total hacia el interior del océano.

Dirigiéndolos hacia abajo, supondremos que el sonido es absorbido al llegar al fondo del océano.

Actividades

Se introduce

• El gradiente b de incremento de la velocidad del sonido en el agua con la altura y, en el control titulado Gradiente b.
• El ángulo θ₀ que forma el rayo con el eje Y, cuando pasa por el origen, en el control titulado Ángulo
• Se ha fijado la posición del fondo del océano en y_s=-5000 m

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

La intensidad de color azul señala la magnitud de la velocidad de propagación: mínima en el eje X, aumentando hacia la superficie del océano y hacia el fondo. El índice de refracción, que es inversamente proporcional a la velocidad de propagación, es máximo a lo largo del eje X y disminuye hacia la superficie del océano y hacia el fondo.

Vemos que el efecto de dicho gradiente es que  el sonido se propague a lo largo de arcos de circunferencia a través de una especie de canal.

El índice de refracción varía con x

Consideremos una placa plana-paralela transparente de espesor d, cuyo índice de refracción n varía con la abscisa x de la forma

${\displaystyle n=\frac{n_0}{1-\frac{x}{R}}}$

Un haz de luz incide en A, (x_A=0) y emerge en el punto B (x_B) haciendo un ángulo α. Calcular

• el índice de refracción n_B de la placa en la posición x_B
• La posición x_B del rayo emergente
• El espesor d de la placa.

Datos: n₀=1.2, R=13 y α=30°

Medio estratificado

En un medio estratificado se cumple que

n₁sinθ₁=n₂sinθ₂=n₃sinθ₃=n₄sinθ₄

En general, nsinθ=n₀sin90°

n y θ son funciones de la abscisa x. n₀ es el índice de refracción en A, (x=0). En esta posición, el rayo incide perpendicularmente a la placa, θ=90°

Rayo emergente

El rayo emerge en el punto B, en la superficie de separación entre la placa y el aire (indice de refracción 1) se cumple, n_Bsin(90-θ_B)=1·sinα

${\displaystyle \sin \alpha =n_B\cos {\theta }_B=n_B\sqrt{1-{\sin }^2{\theta }_B}=\sqrt{n_B^2-n_B^2{\sin }^2{\theta }_B}=\sqrt{n_B^2-n_0^2}}$

Despejamos n_B

${\displaystyle n_B=\sqrt{n_0^2+{\sin }^2\alpha }}$

Con los datos del problema n_B=1.3

Calculamos x_B a partir de n_B

${\displaystyle n_B=\frac{n_0}{1-\frac{x_B}{R}}{x}_B=R\left(1-\frac{n_0}{n_B}\right)}$

Con los datos del problema x_B=1 cm

Ecuación de la trayectoria

La ley de la refracción se escribe, nsinθ=n₀ en este medio estratificado. Donde n y θ son funciones de x

${\displaystyle \sin \theta =\frac{n_0}{n}=\frac{R-x}{R}}$

La pendiente θ de la trayectoria del rayo de luz en el punto (x,y) es

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\tan \theta }$

Expresamos la pendiente dy/dx en una función de x

${\displaystyle \begin{array}{l}\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\sqrt{1-{\sin }^2\theta }}\\ \frac{dy}{dx}=\frac{R-x}{\sqrt{R^2-{(R-x)}^2}}\end{array}}$

Integramos para obtener la ecuación de la trayectoria y=f(x), sabiendo que el rayo pasa por el origen, x=0, y=0

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\sqrt{R^2-{(R-x)}^2}\\ y=\sqrt{R^2-{(R-x)}^2}\end{array}}$

La ecuación de la trayectoria seguida por el rayo de luz es un arco de circunferencia centrada en x=R, y=0.

El espesor d de la placa es lado del triángulo rectángulo de la figura

${\displaystyle d=\sqrt{R^2-{\left(R-x_B\right)}^2}}$

Con los datos del problema, d=4.8 cm

Referencias

Problema de la VII Olimpiada Internacional de Física. Varsovia, 1974

Problema de la XXVI Olimpiada Internacional de Física. Canberra, 1995