El espejo esférico y el espejo parabólico (I)

Consideremos la superficie de un espejo descrita por la curva y(x) que es simétrica y(x)=y(-x) siendo el eje Y el eje de simetría. Trazamos un rayo de luz paralelo al eje Y, que corta a la superficie del espejo en el punto P de coordenadas (x,y). El ángulo de incidencia, formado por el rayo de luz incidente y la normal a la superficie es θ. De acuerdo con la ley de la reflexión, el ángulo formado por el rayo reflejado y la normal es también θ. El rayo reflejado corta al eje Y en el punto F(0,f).

El ángulo θ es el ángulo de la recta tangente a la curva y(x) en el punto P de abscisa x.

tanθ= dy dx

En el triángulo FPQ, el ángulo QFP es 2θ, por lo que el lado FQ vale x/tan(2θ), así pues la posición f es

f=y+ x tan(2θ) tan(2θ)= 2tanθ 1 tan 2 θ f=y+ x( 1 tan 2 θ ) 2tanθ =y+ x( 1 ( dy / dx ) 2 ) 2( dy / dx )

Espejo esférico

En un espejo esférico C es el centro del arco de circunferencia de radio R. Este centro es fijo de modo que OC es igual a CP igual al radio R de la circunferencia. Por otra parte, el triángulo CFP es isósceles y la longitud FP es igual a FC, denominamos p a esta longitud.

R 2 = p 2 + p 2 2ppcos( 1802θ ) R 2 =2 p 2 +2 p 2 cos( 2θ )=4 p 2 cos 2 θ p= R 2cosθ

Como f+p=R es el radio de la circunferencia.

f=R( 1 1 2cosθ )

Para un espejo esférico cóncavo el foco no es único, depende del ángulo θ. Si el ángulo θ es pequeño, se puede hacer la aproximación

cosθ1 f 1 2 Rθ1

Se puede obtener el mismo resultado a partir de la ecuación del arco de circunferencia de centro C(0,R)

x 2 + ( yR ) 2 = R 2 y 2 2Ry+ x 2 =0 y=R R 2 x 2 tanθ= dy dx = x R 2 x 2 f=y+ x( 1 tan 2 θ ) 2tanθ =R( 1 R 2 R 2 x 2 )

En la figura, vemos que en el triángulo rectángulo CPQ,

CQ= R 2 x 2 CQ=Rcosθ

Llegamos al mismo resultado para el cálculo de f

R=1; %radio del espejo esférico cóncavo
angMax=40; %ángulo de apertura
ang=-angMax:angMax;
x=R*sind(ang);
y=R-R*cosd(ang);
hold on

%espejo esférico
plot(x,y,'k')
xx=[x(1),x,x(end)];
yy=[-0.2,y,-0.2];
fill(xx,yy,'k')
axis equal
ylim([-0.2,R+0.2])

%rayos
xc=fix(x(1)*10)/10:0.1:-fix(x(1)*10)/10;
angulo=asin(xc/R);
yc=R-R*cos(angulo);
f=R*(1-0.5./cos(angulo));
for i=1:length(xc)
    line([xc(i),xc(i)],[R+0.2,yc(i)]) %incidentes
    hl=line([xc(i),0],[yc(i),f(i)]); %reflejados
    set(hl,'color','r')
end

hold off
title('Espejo esférico')
xlabel('x')
ylabel('y')

En la figura, vemos que los rayos reflejados (en color rojo) no convergen en un punto.

Ecuación de la envolvente

Vamos a determinar la ecuación de la envolvente de los rayos reflejados en el espejo esférico

La ecuación del rayo reflejado que pasa por el punto P (cosθ, sinθ) y tiene pendiente 2θ es

y=tan(2θx+sinθ-tan(2θ)·cosθ

(y-sinθ)·cos(2θ)=(x-cosθ)·sin(2θ)

Simplificando

ycos(2θ)+sinθ=xsin(2θ)

La ecuación de la envolvente de los rayos reflejados se obtiene derivando la ecuación de la recta, f(x,y,θ)=0 con respecto a θ e igualando a cero.

f θ =0

-cosθ·cos(2θ)-(y-sinθ)2·sin(2θ)=sinθ·sin(2θ)+(y-cosθ)2·cos(2θ)

Simplificando

-2ysin(2θ)+cosθ=2xcos(2θ)

Resolvemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, despejando x e y, obteniendo la ecuación de la envolvente en forma paramétrica

x= 3 2 cosθ cos 3 θ y= sin 3 θ

hold on
%espejo esférico
th=linspace(-pi/2,pi/2, 200);
plot(cos(th),sin(th), 'k', 'lineWidth',2)
%rayos incidentes y reflejados
for th=-pi/2+pi/6:pi/36:pi/2-pi/6
    line([0,cos(th)],[sin(th),sin(th)])
    line([cos(th),0.5/cos(th)],[sin(th),0])
end
%envolvente   
th=linspace(-pi/2,pi/2, 200);
x=3*cos(th)/2-cos(th).^3;
y=sin(th).^3;
plot(x,y,'r', 'lineWidth',1.5)
hold off
axis equal
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Caústica')

Espejo parabólico

Consideremos la parábola descrita por la ecuación y=ax2, la pendiente

dy dx =2ax f=y+ x( 1 ( dy / dx ) 2 ) 2( dy / dx ) =a x 2 + x( 14 a 2 x 2 ) 4ax = 1 4a

El foco f es independiente de x. Todos los rayos paralelos al eje Y pasan por el foco F después de reflejarse en el espejo.

La ecuación de una parábola de foco f es

y= x 2 4f

f=0.7; %posición del foco (cambiar)
a=1.0; %apertura es 2a (mantener fijo)
x=-a-.05:0.05:a+0.05;
y=x.^2/(4*f);
hold on

%espejo parabólico
plot(x,y,'k')
xx=[x(1),x,x(end)];
yy=[-0.3,y,-0.3];
fill(xx,yy,'k')
axis equal
xlim([-a-0.1,a+0.1])

%rayos
xc=fix(x(1)*10)/10:0.1:-fix(x(1)*10)/10;
yc=xc.^2/(4*f);
for i=1:length(xc)
    line([xc(i),xc(i)],[a+0.3,yc(i)]) %incidentes
    hl=line([xc(i),0],[yc(i),f]);  %reflejados
    set(hl,'color','r')
end

hold off
title('Espejo parabólico')
xlabel('x')
ylabel('y')

Demostramos ahora, que la parábola es la única la curva y=y(x) que tiene la propiedad de que todos los rayos paralelos al eje Y pasan por el foco F. Si f no depende de x, df/dx=0. Derivamos la expresión de f dada al principio de esta página y válida para cualquier superficie y(x)

dy dx + { 1 ( dy / dx ) 2 2x( dy / dx )( d 2 y / d x 2 ) }( dy / dx ) 2 ( dy / dx ) 2 x( 1 ( dy / dx ) 2 )( d 2 y / d x 2 ) 2 ( dy / dx ) 2 =0 dy dx x ( dy dx ) 2 d 2 y d x 2 x d 2 y d x 2 + ( dy dx ) 3 =0 ( 1+ ( dy dx ) 2 )( dy dx x d 2 y d x 2 )=0 dy dx x d 2 y d x 2 =0 y=A x 2 +B

Resolvemos la ecuación diferencial utilizando Math Symbolic. Llamamos t a x y x a y.

>> dsolve('t*D2x-Dx=0')
ans =C3*t^2 + C2