Consideremos la superficie de un espejo descrita por la curva y(x) que es simétrica y(x)=y(-x) siendo el eje Y el eje de simetría. Trazamos un rayo de luz paralelo al eje Y, que corta a la superficie del espejo en el punto P de coordenadas (x,y). El ángulo de incidencia, formado por el rayo de luz incidente y la normal a la superficie es θ. De acuerdo con la ley de la reflexión, el ángulo formado por el rayo reflejado y la normal es también θ. El rayo reflejado corta al eje Y en el punto F(0,f).

El ángulo θ es el ángulo de la recta tangente a la curva y(x) en el punto P de abscisa x.

${\displaystyle \tan \theta =\frac{dy}{dx}}$

En el triángulo FPQ, el ángulo QFP es 2θ, por lo que el lado FQ vale x/tan(2θ), así pues la posición f es

${\displaystyle \begin{array}{l}f=y+\frac{x}{\tan (2\theta )}\\ \tan (2\theta )=\frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }\\ f=y+\frac{x\left(1-{\tan }^2\theta \right)}{2\tan \theta }=y+\frac{x\left(1-{\left(dy/dx\right)}^2\right)}{2\left(dy/dx\right)}\end{array}}$

Espejo esférico

En un espejo esférico C es el centro del arco de circunferencia de radio R. Este centro es fijo de modo que OC es igual a CP igual al radio R de la circunferencia. Por otra parte, el triángulo CFP es isósceles y la longitud FP es igual a FC, denominamos p a esta longitud.

${\displaystyle \begin{array}{l}{R}^2=p^2+p^2-2pp\cos \left(180-2\theta \right)\\ R^2=2p^2+2p^2\cos \left(2\theta \right)=4p^2{\cos }^2\theta \\ p=\frac{R}{2\cos \theta }\end{array}}$

Como f+p=R es el radio de la circunferencia.

${\displaystyle f=R\left(1-\frac{1}{2\cos \theta }\right)}$

Para un espejo esférico cóncavo el foco no es único, depende del ángulo θ. Si el ángulo θ es pequeño, se puede hacer la aproximación

${\displaystyle \begin{array}{l}\cos \theta \approx 1\\ f\approx \frac{1}{2}R\theta \ll 1\end{array}}$

Se puede obtener el mismo resultado a partir de la ecuación del arco de circunferencia de centro C(0,R)

${\displaystyle \begin{array}{l}{x}^2+{\left(y-R\right)}^2=R^2\\ y^2-2Ry+x^2=0\\ y=R-\sqrt{R^2-x^2}\\ \tan \theta =\frac{dy}{dx}=\frac{x}{\sqrt{R^2-x^2}}\\ f=y+\frac{x\left(1-{\tan }^2\theta \right)}{2\tan \theta }=R\left(1-\frac{R}{2\sqrt{R^2-x^2}}\right)\end{array}}$

En la figura, vemos que en el triángulo rectángulo CPQ,

${\displaystyle CQ=\sqrt{R^2-x^2}CQ=R\cos \theta }$

Llegamos al mismo resultado para el cálculo de f

R=1; %radio del espejo esférico cóncavo
angMax=40; %ángulo de apertura
ang=-angMax:angMax;
x=R*sind(ang);
y=R-R*cosd(ang);
hold on

%espejo esférico
plot(x,y,'k')
xx=[x(1),x,x(end)];
yy=[-0.2,y,-0.2];
fill(xx,yy,'k')
axis equal
ylim([-0.2,R+0.2])

%rayos
xc=fix(x(1)*10)/10:0.1:-fix(x(1)*10)/10;
angulo=asin(xc/R);
yc=R-R*cos(angulo);
f=R*(1-0.5./cos(angulo));
for i=1:length(xc)
    line([xc(i),xc(i)],[R+0.2,yc(i)]) %incidentes
    hl=line([xc(i),0],[yc(i),f(i)]); %reflejados
    set(hl,'color','r')
end

hold off
title('Espejo esférico')
xlabel('x')
ylabel('y')

En la figura, vemos que los rayos reflejados (en color rojo) no convergen en un punto.

Ecuación de la envolvente

Vamos a determinar la ecuación de la envolvente de los rayos reflejados en el espejo esférico

La ecuación del rayo reflejado que pasa por el punto P (cosθ, sinθ) y tiene pendiente 2θ es

y=tan(2θ)·x+sinθ-tan(2θ)·cosθ

(y-sinθ)·cos(2θ)=(x-cosθ)·sin(2θ)

Simplificando

ycos(2θ)+sinθ=xsin(2θ)

La ecuación de la envolvente de los rayos reflejados se obtiene derivando la ecuación de la recta, f(x,y,θ)=0 con respecto a θ e igualando a cero.

${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial \theta }=0}$

-cosθ·cos(2θ)-(y-sinθ)2·sin(2θ)=sinθ·sin(2θ)+(y-cosθ)2·cos(2θ)

Simplificando

-2ysin(2θ)+cosθ=2xcos(2θ)

Resolvemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, despejando x e y, obteniendo la ecuación de la envolvente en forma paramétrica

${\displaystyle \begin{array}{l}x=\frac{3}{2}\cos \theta -{\cos }^3\theta \\ y={\sin }^3\theta \end{array}}$

hold on
%espejo esférico
th=linspace(-pi/2,pi/2, 200);
plot(cos(th),sin(th), 'k', 'lineWidth',2)
%rayos incidentes y reflejados
for th=-pi/2+pi/6:pi/36:pi/2-pi/6
    line([0,cos(th)],[sin(th),sin(th)])
    line([cos(th),0.5/cos(th)],[sin(th),0])
end
%envolvente   
th=linspace(-pi/2,pi/2, 200);
x=3*cos(th)/2-cos(th).^3;
y=sin(th).^3;
plot(x,y,'r', 'lineWidth',1.5)
hold off
axis equal
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Caústica')

Espejo parabólico

Consideremos la parábola descrita por la ecuación y=ax², la pendiente

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{dy}{dx}=2ax\\ f=y+\frac{x\left(1-{\left(dy/dx\right)}^2\right)}{2\left(dy/dx\right)}=a{x}^2+\frac{x\left(1-4a^2{x}^2\right)}{4ax}=\frac{1}{4a}\end{array}}$

El foco f es independiente de x. Todos los rayos paralelos al eje Y pasan por el foco F después de reflejarse en el espejo.

La ecuación de una parábola de foco f es

${\displaystyle y=\frac{x^2}{4f}}$

f=0.7; %posición del foco (cambiar)
a=1.0; %apertura es 2a (mantener fijo)
x=-a-.05:0.05:a+0.05;
y=x.^2/(4*f);
hold on

%espejo parabólico
plot(x,y,'k')
xx=[x(1),x,x(end)];
yy=[-0.3,y,-0.3];
fill(xx,yy,'k')
axis equal
xlim([-a-0.1,a+0.1])

%rayos
xc=fix(x(1)*10)/10:0.1:-fix(x(1)*10)/10;
yc=xc.^2/(4*f);
for i=1:length(xc)
    line([xc(i),xc(i)],[a+0.3,yc(i)]) %incidentes
    hl=line([xc(i),0],[yc(i),f]);  %reflejados
    set(hl,'color','r')
end

hold off
title('Espejo parabólico')
xlabel('x')
ylabel('y')

Demostramos ahora, que la parábola es la única la curva y=y(x) que tiene la propiedad de que todos los rayos paralelos al eje Y pasan por el foco F. Si f no depende de x, df/dx=0. Derivamos la expresión de f dada al principio de esta página y válida para cualquier superficie y(x)

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{dy}{dx}+\frac{\left\{1-{\left(dy/dx\right)}^2-2x\left(dy/dx\right)\left(d^{2}y/d{x}^2\right)\right\}\left(dy/dx\right)}{2{\left(dy/dx\right)}^2}\\ \frac{-x\left(1-{\left(dy/dx\right)}^2\right)\left(d^{2}y/d{x}^2\right)}{2{\left(dy/dx\right)}^2}=0\\ \frac{dy}{dx}-x{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}-x\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^3=0\\ \left(1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2\right)\left(\frac{dy}{dx}-x\frac{d^{2}y}{d{x}^2}\right)=0\\ \frac{dy}{dx}-x\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=0\\ y=A{x}^2+B\end{array}}$

Resolvemos la ecuación diferencial utilizando Math Symbolic. Llamamos t a x y x a y.

>> dsolve('t*D2x-Dx=0')
ans =C3*t^2 + C2