El espejo esférico y el espejo parabólico (I)

Consideremos la superficie de un espejo descrita por la curva y(x) que es simétrica y(x)=y(-x) siendo el eje Y el eje de simetría. Trazamos un rayo de luz paralelo al eje Y, que corta a la superficie del espejo en el punto P de coordenadas (x,y). El ángulo de incidencia, formado por el rayo de luz incidente y la normal a la superficie es θ. De acuerdo con la ley de la reflexión, el ángulo formado por el rayo reflejado y la normal es también θ. El rayo reflejado corta al eje Y en el punto F(0,f).
El ángulo θ es el ángulo de la recta tangente a la curva y(x) en el punto P de abscisa x.

En el triángulo FPQ, el ángulo QFP es 2θ, por lo que el lado FQ vale x/tan(2θ), así pues la posición f es
Espejo esférico

En un espejo esférico C es el centro del arco de circunferencia de radio R. Este centro es fijo de modo que OC es igual a CP igual al radio R de la circunferencia. Por otra parte, el triángulo CFP es isósceles y la longitud FP es igual a FC, denominamos p a esta longitud.
Como f+p=R es el radio de la circunferencia.
Para un espejo esférico cóncavo el foco no es único, depende del ángulo θ. Si el ángulo θ es pequeño, se puede hacer la aproximación
Se puede obtener el mismo resultado a partir de la ecuación del arco de circunferencia de centro C(0,R)
En la figura, vemos que en el triángulo rectángulo CPQ,
Llegamos al mismo resultado para el cálculo de f
R=1; %radio del espejo esférico cóncavo angMax=40; %ángulo de apertura ang=-angMax:angMax; x=R*sind(ang); y=R-R*cosd(ang); hold on %espejo esférico plot(x,y,'k') xx=[x(1),x,x(end)]; yy=[-0.2,y,-0.2]; fill(xx,yy,'k') axis equal ylim([-0.2,R+0.2]) %rayos xc=fix(x(1)*10)/10:0.1:-fix(x(1)*10)/10; angulo=asin(xc/R); yc=R-R*cos(angulo); f=R*(1-0.5./cos(angulo)); for i=1:length(xc) line([xc(i),xc(i)],[R+0.2,yc(i)]) %incidentes hl=line([xc(i),0],[yc(i),f(i)]); %reflejados set(hl,'color','r') end hold off title('Espejo esférico') xlabel('x') ylabel('y')
En la figura, vemos que los rayos reflejados (en color rojo) no convergen en un punto.
Ecuación de la envolvente

Vamos a determinar la ecuación de la envolvente de los rayos reflejados en el espejo esférico
La ecuación del rayo reflejado que pasa por el punto P (cosθ, sinθ) y tiene pendiente 2θ es
y=tan(2θ)·x+sinθ-tan(2θ)·cosθ
(y-sinθ)·cos(2θ)=(x-cosθ)·sin(2θ)
Simplificando
ycos(2θ)+sinθ=xsin(2θ)
La ecuación de la envolvente de los rayos reflejados se obtiene derivando la ecuación de la recta, f(x,y,θ)=0 con respecto a θ e igualando a cero.
-cosθ·cos(2θ)-(y-sinθ)2·sin(2θ)=sinθ·sin(2θ)+(y-cosθ)2·cos(2θ)
Simplificando
-2ysin(2θ)+cosθ=2xcos(2θ)
Resolvemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, despejando x e y, obteniendo la ecuación de la envolvente en forma paramétrica
hold on %espejo esférico th=linspace(-pi/2,pi/2, 200); plot(cos(th),sin(th), 'k', 'lineWidth',2) %rayos incidentes y reflejados for th=-pi/2+pi/6:pi/36:pi/2-pi/6 line([0,cos(th)],[sin(th),sin(th)]) line([cos(th),0.5/cos(th)],[sin(th),0]) end %envolvente th=linspace(-pi/2,pi/2, 200); x=3*cos(th)/2-cos(th).^3; y=sin(th).^3; plot(x,y,'r', 'lineWidth',1.5) hold off axis equal grid on xlabel('x') ylabel('y') title('Caústica')
Espejo parabólico
Consideremos la parábola descrita por la ecuación y=ax2, la pendiente
El foco f es independiente de x. Todos los rayos paralelos al eje Y pasan por el foco F después de reflejarse en el espejo.
La ecuación de una parábola de foco f es
f=0.7; %posición del foco (cambiar) a=1.0; %apertura es 2a (mantener fijo) x=-a-.05:0.05:a+0.05; y=x.^2/(4*f); hold on %espejo parabólico plot(x,y,'k') xx=[x(1),x,x(end)]; yy=[-0.3,y,-0.3]; fill(xx,yy,'k') axis equal xlim([-a-0.1,a+0.1]) %rayos xc=fix(x(1)*10)/10:0.1:-fix(x(1)*10)/10; yc=xc.^2/(4*f); for i=1:length(xc) line([xc(i),xc(i)],[a+0.3,yc(i)]) %incidentes hl=line([xc(i),0],[yc(i),f]); %reflejados set(hl,'color','r') end hold off title('Espejo parabólico') xlabel('x') ylabel('y')
Demostramos ahora, que la parábola es la única la curva y=y(x) que tiene la propiedad de que todos los rayos paralelos al eje Y pasan por el foco F. Si f no depende de x, df/dx=0. Derivamos la expresión de f dada al principio de esta página y válida para cualquier superficie y(x)
Resolvemos la ecuación diferencial utilizando Math Symbolic. Llamamos t a x y x a y.
>> dsolve('t*D2x-Dx=0') ans =C3*t^2 + C2