Espejo esférico cóncavo

Vamos a calcular la posición s’ y tamaño h’ de la imagen producida por un espejo esférico cóncavo de radio r, de un objeto de altura h situado a una distancia s del origen.
La imagen se produce en la intersección del rayo reflejado y del rayo que pasa por el centro del espejo. Se trata de la intersección de dos rectas cuyas ecuaciones vamos a calcular seguidamente.
En primer lugar, establecemos el origen en O y tomamos como positivo el eje X hacia la izquierda.

Como vemos en la figura, el rayo incidente y el rayo reflejado forman un ángulo θ con la dirección radial (normal a la superficie).

• El rayo reflejado parte del punto x₁=r(1-cosθ), y₁=r·sinθ, y forma un ángulo con el eje X de 180-2·θ.

  La ecuación de la recta es, y=ax+b, donde a es la pendiente (tangente del ángulo que forma con el eje X) y b la ordenada en el origen.

  y=-tan(2θ)·x+b, el parámetro b se determina de la condición de que la recta pasa por el punto (x₁, y₁), y1=-tan(2θ)·x1+b

  y=-tan(2θ)·x+ r·sinθ+r·tan(2θ)·(1-cosθ). El valor del ángulo θ es sinθ=h/r

• El segundo rayo corresponde a una recta que pasa por el centro de coordenadas x₁=r, y₁=0 y que forma un ángulo α con el eje X.

  La ecuación de esta recta es y=tanα·x-r·tanα

  El valor del ángulo α es tanα=h/(s-r)

• Despejamos x en el sistema de ecuaciones

  ${\displaystyle x=\frac{r\left(\tan \alpha +\sin \theta +\tan (2\theta )·(1-\cos \theta )\right)}{\tan \alpha +\tan (2\theta )}}$

  Esta es la posición s’ de la imagen y su tamaño h’ se calcula tomado cualquiera de las ecuaciones de las dos rectas h’=tanα·s’-r·tanα

Objeto: Posición, s=20, tamaño, h=2
Radio del espejo esférico, r=10

Calculamos los ángulos

${\displaystyle \tan \alpha =\frac{2}{20-10}=0.2\sin \theta =\frac{2}{10}\theta =11.5}$

Imagen: Posición, s’=6.52, tamaño, h’=0.7

Utilizamos MATLAB para hacer los cálculos

s=20;  %posición del objeto
h=2;  %altura del objeto
r=10;  %radio del espejo
theta=asin(h/r);
alfa=atan(h/(s-r));
%posición de la imagen
sp=r*(tan(alfa)+sin(theta)+tan(2*theta)*(1-cos(theta)))
/(tan(alfa)+tan(2*theta));
%altura de la imagen
hp=(sp-r)*tan(alfa);
fprintf('Posición %2.2f y altura %2.2f de la imagen\n',sp,hp)

Posición 6.53 y altura -0.69 de la imagen

No se forma imagen cuando el objeto se encuentra en el centro del espejo

Aproximación paraxial

La figura muestra la trayectoria de dos rayos de luz que parten del punto P (objeto) y después de reflejarse en el espejo esférico de radio r, convergen en el punto P’ (imagen). Uno de los rayos es paralelo al eje horizontal y el otro rayo pasa por el centro del espejo, es normal a su superficie.
Queremos obtener una ecuación que relacione la posición del punto imagen s’ con la del punto objeto s.
En la figura vemos que β=α+θ y que γ=α+2θ
Eliminando el ángulo θ en las dos ecuaciones, tenemos γ=2β-α
Con las aproximaciones

${\displaystyle \tan \alpha \approx \alpha =\frac{d}{s}\tan \gamma \approx \gamma =\frac{d}{s\text{'}}}$

Supondremos que el segmento d es un arco de radio r y ángulo de apertura β, por lo que d=r·β

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d}{s\text{'}}=2\frac{d}{r}-\frac{d}{s}\\ \frac{1}{s}+\frac{1}{s\text{'}}=\frac{2}{r}\end{array}}$

Esta es la ecuación que relaciona las distancias del objeto y la imagen con el radio de curvatura del espejo esférico.

Se define aumento m como el cociente entre el tamaño de la imagen y’ y la del objeto y. m=h’/h. Utilizando la relación de semejanza entre los dos triángulos

${\displaystyle \frac{h\text{'}}{h}=-\frac{s\text{'}}{s}}$

El signo negativo indica que P y P’ están en lados opuestos al eje X

Superficie esférica convexa

Vamos a calcular la posición s’ y tamaño h’ de la imagen producida por una superficie esférica convexa de radio r que separa dos medios de distinto índice de refracción n₁ y n₂, de un objeto de altura h situado a una distancia s del origen.

La imagen se produce en la intersección del rayo refractado y del rayo que pasa por el centro de la superficie esférica. Es la intersección de dos rectas cuyas ecuaciones vamos a calcular seguidamente.
En primer lugar, establecemos el origen en O y tomamos como positivo el eje X hacia la derecha.

Como vemos en la figura, el rayo incidente forma un ángulo θ₁ y el ángulo reflejado forma un ángulo θ₂ con la dirección radial (normal a la superficie). De acuerdo con la ley de Snell de la refracción, n₁·sin θ₁ =n₂·sinθ₂

• El rayo refractado parte del punto x₁=r(1-cosθ₁), y₁=r·sinθ₁, y forma un ángulo con el eje X de 180-(θ₁- θ₂)

  La ecuación de la recta es, y=-tan(θ₁- θ₂)·x+b, el parámetro b se determina de la condición de que la recta pasa por el punto (x₁, y₁) y₁=-tan(θ₁- θ₂)·x₁+b
  y=-tan(θ₁- θ₂)·x+ r·sinθ₁+r·tan(θ₁- θ₂)·(1-cosθ₁)
  El valor del ángulo θ₁ es sinθ₁=h/r

• El segundo rayo corresponde a una recta que pasa por el centro de coordenadas x₁=r, y₁=0 y que forma un ángulo 180-α con el eje X.

  La ecuación de esta recta es y=-tanα·x+r·tanα
  El valor del ángulo α es tanα=h/(-s+r), el signo de s es negativo ya que está a la izquierda del origen.

• Despejamos x en el sistema de ecuaciones

  ${\displaystyle x=\frac{r\left(-\tan \alpha +\sin {\theta }_1+\tan ({\theta }_1-{\theta }_2)·(1-\cos {\theta }_1)\right)}{\tan ({\theta }_1-{\theta }_2)-\tan \alpha }}$

  Esta es la posición s’ de la imagen y su tamaño h’ se calcula tomado cualquiera de las ecuaciones de las dos rectas
  h’=-tanα·s’+r·tanα

Se obtiene una imagen virtual, prolongación de los rayos cuando θ₁ -θ₂≤α

Objeto: Posición, s=-10, tamaño, h=2
Radio del dioptrio, r=5
Índices de refracción, n₁=1 (aire) n₂=2.4 (dioptrio)
Aplicamos la ley de Snell: 1·sin θ₁=2.4·sin θ₂
Calculamos los ángulos

${\displaystyle \tan \alpha =\frac{2}{-(-10)+5}=\frac{2}{15}\sin {\theta }_1=\frac{2}{5}{\theta }_1=23.6{\theta }_2=9.6}$

Imagen: Posición, s’=12.42, tamaño, h’=1.0

Utilizamos MATLAB para hacer los cálculos

s=-10; %posición del objeto
h=2; %tamaño del objeto
r=5; %radio del dioptrio
n1=1; %índice de refracción de aire
n2=2.4; %índice de refracción del dióptrio
alfa=atan(h/(-s+r));
theta_1=asin(h/r);
theta_2=asin(n1*sin(theta_1)/n2);
if (theta_1-theta_2)>alfa
    sp=r*(-tan(alfa)+sin(theta_1)+tan(theta_1-theta_2)*(1-cos(theta_1)))
/(tan(theta_1-theta_2)-tan(alfa));
    hp=(-sp+r)*tan(alfa);
    fprintf('Posición %2.2f y altura %2.2f de la imagen\n',sp,hp)
else
   disp('Imagen virtual')
end

Posición 12.42 y altura -0.99 de la imagen

Aproximación paraxial

Hemos estudiado la refracción de los rayos cuando inciden en una superficie de separación plana que separa dos medios de índices de refracción n₁ y n₂.

Supongamos ahora que la superficie de separación entre los dos medios es esférica de radio r, tal como se muestra en la figura.

Del punto objeto P salen dos rayos de luz (en color rojo), uno paralelo al eje y otro que pasa por el centro C de la superficie esférica. La intersección de dichos rayos da lugar al punto P’ imagen de P.

Sea s la distancia de P a la superficie de separación, vamos a calcular la posición s’ de la imagen P’

Para el rayo paralelo al eje. Aplicamos la ley de Snell

${\displaystyle n_1·\sin {\theta }_1=n_2·\sin {\theta }_2}$

Utilizando la aproximación de ángulos pequeños

${\displaystyle n_1·{\theta }_1=n_2·{\theta }_2}$

En la figura vemos que:
β=γ+θ₂= γ+(n₁/n₂) θ₁
θ₁=α+β

Despejando θ₁ en la primera ecuación y sustituyéndola en la segunda, obtenemos
n₁·α+ n₂·γ=( n₂- n₁)·β

Utilizando las aproximaciones

${\displaystyle \tan \alpha =\frac{d}{s}d=\alpha ·s\tan \gamma =\frac{d}{s\text{'}}d=\gamma ·s\text{'}}$

Consideramos d un pequeño arco de radio r y ángulo de apertura β, por lo que, d=r·β. Llegamos a la ecuación

${\displaystyle \frac{n_1}{s}+\frac{n_2}{s\text{'}}=\frac{n_2-n_1}{r}}$

Se define aumento m como el cociente entre el tamaño de la imagen h’ y la del objeto h. m=h’/h
Aplicando la ley de Snell

${\displaystyle n_1·\sin {\theta }_1=n_2·\sin {\theta }_2}$

Utilizando la aproximación de ángulos pequeños

${\displaystyle \begin{array}{l}{n}_1·{\theta }_1=n_2·{\theta }_2\\ \tan {\theta }_1=\frac{y}{s}y={\theta }_{1}s\\ \tan {\theta }_2=\frac{-h\text{'}}{s\text{'}}-h\text{'}={\theta }_{2}s\text{'}\end{array}}$

Llegamos a la expresión para el aumento m

${\displaystyle m=-\frac{n_{1}s\text{'}}{n_{2}s}}$

Lentes delgadas

Aplicamos la ecuación de la aproximación paraxial de una superficie convexa a una lente delgada de índice de refracción n formada por dos superficies esféricas de radios r₁ y r₂, y de centros C₁ y C₂, tal como se muestra en la figura.

Si un objeto P está a una distancia s de la primera superficie de radio r₁ y centro C₁, determinamos la distancia s'₁ de la imagen debida a la refracción al atravesar esta superficie.

${\displaystyle \frac{1}{s}+\frac{n}{s_1^{\text{'}}}=\frac{n-1}{r_1}}$

El primer medio es el aire n₁=1 y el segundo es el vidrio n₂=n

Esta imagen no llega a formarse por que la luz se refracta en la segunda superficie esférica de centro C₂ y radio r₂. La imagen P´₁ del primer dióptrio es el objeto del segundo. La distancia de este objeto para el segundo dióptrio es s₂=-s'₁. La imagen P’ de este objeto es

${\displaystyle \frac{n}{-s_1^{\text{'}}}+\frac{1}{s\text{'}}=\frac{1-n}{r_2}}$

El primer medio es el vidrio n₁=n y el segundo es el aire n₂=1. Sumando ambas ecuaciones:

${\displaystyle \frac{1}{s}+\frac{1}{s\text{'}}=(n-1)\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right)}$

Se denomina distancia focal f de una lente delgada a la distancia imagen s' que corresponde a una distancia objeto infinita s=∞

${\displaystyle \frac{1}{f}=(n-1)\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right)}$

Denominada ecuación del constructor de lentes.

Una lente biconvexa de vidrio de n=1.46 tiene sus radios de curvatura de r₁=10 cm y r₂=12 cm. Hallar su distancia focal f

El radio r₁ es positivo ya que el centro C₁ está a la derecha de la lente. Sin embargo, el radio r₂ es negativo ya que el centro del segundo dióptrio C₂ está a la izquierda

${\displaystyle \frac{1}{f}=(1.46-1)\left(\frac{1}{10}-\frac{1}{-12}\right)}$

f=11.86 cm

Práctica de laboratorio

El propósito de este experimento es determinar la distancia focal f de una lente delgada. En la figura se muestra cómo se forma la imagen h_i de un objeto h₀, mediante la intersección de dos rayos uno que pasa por el centro de la lente (no se desvía) y otro parelelo al eje que pasa por el foco F

${\displaystyle \frac{1}{s}+\frac{1}{s\text{'}}=\frac{1}{f}}$

Donde f es la distancia focal, s es la distancia entre el objeto y la lente y s' es la distancia entre la imagen y la lente. Midiendo s y s' se puede determinar la distancia focal f.

• Se coloca la fuente de luz y la pantalla tal como se muestra en la figura a una distancia D una de la otra
• Se mueve la lente hasta que se vea una imagen nítida en la pantalla. Se anota s y s'
• Sin cambiar la posición de la fuente de luz o de la pantalla, se mueve la lente a otra posición hasta conseguir una imagen nítida en la pantalla. Se anonota s y s'

x=[12.3,12.6,13,13.5,14.3,15.8];
y=[87.7,77.4,67,56.5,45.7,34.2];
xx=1./[x,y];
yy=1./[y,x];
plot(xx,yy,'ro','markersize',4,'markerfacecolor','r')
grid on
xlim([0,0.1])
ylim([0,0.1])
xlabel('1/d_0')
ylabel('1/d_i')
title('Distancia focal')

En el menú seleccionamos Tools/Basic Fitting, aparece un cuadro de diálogo donde marcamos la casilla linear en Plot fits. A continuación, pulsamos la flecha hacia la derecha --> para mostrar los coeficientes p1 y p2 del polinomio (recta) y=p1*x+p2 de ajuste. El coeficiente p1=-09992.

Como cabía esperar una recta de pendiente -1. Medimos la intersección de la recta con el eje X o con el eje Y, que nos da la inversa de la distancia focal f=1/0.09197=10.87 cm. El fabricante PASCO ha marcado la lente con una distancia focal f=10 cm