El prisma de vidrio

El siguiente programa simula un prisma. Se puede cambiar el ángulo del prisma en el control titulado Angulo prisma y el ángulo incidente en el control Angulo incidente a continuación, se pulsa el botón titulado Nuevo


Geometría del prisma

En al figura, se muestra un prisma de ángulo α hecho de un vidrio que tiene un índice de refracción n. Un rayo de luz de color rojo incide sobre la cara izquierda del prisma. El ángulo que forma el rayo incidente con la normal es θi1. Aplicamos la ley de Snell para trazar el rayo refractado

sinθi1=n·sin θt1.

θt1 es el ángulo que forma el rayo refractado con la normal a la cara izquierda del prisma. El rayo se ha desviado (θi1- θt1)

El rayo refractado llega a la cara derecha del prisma formado un ángulo θi2 con la normal. Aplicamos la ley de Snell para obtener la dirección del rayo refractado

n·sinθi2=sin θt2.

El rayo se ha desviado (θt2- θi2)

El ángulo que forma la prolongación del rayo incidente con el rayo que sale del prisma se denomina ángulo de desviación.

δ=(θi1- θt1)+ (θt2- θi2)= θi1+ θt2

ya que α= θt1+ θi2

Ejemplo

Sea el ángulo del prisma α=60°, y el color de la luz roja λ=640 nm o bien, el índice de refracción del prisma n=1.509 (véase en la parte superior del programa interactivo, más abajo).

  1. El ángulo incidente θi1=30°

  2. El ángulo de desviación es δ= θi1+ θt2=30+79.42-60=49.42°, tal como comprobamos en el programa interactivo más abajo

  3. Cambiamos el ángulo incidente, θi1=20°

El ángulo de incidencia es igual al ángulo del prisma

Cuando el ángulo de incidencia θi1 es igual al ángulo del prisma α

El ángulo de desviación es δ=α+θt2=θt2

El en sistema de ecuaciones

{ sinα=nsin( α θ i2 ) nsin θ i2 =sinδ

eliminamos θi2 y despejamos el índice de refracción n

sinα=n( sinα 1 sin 2 δ n 2 sinδ n cosα ) n 2 =1+ sin 2 δ sin 2 α +2 sinδ tanα

Ejemplo

Un recipiente en forma de prisma de ángulo α=60°, se llena de líquido de índice de refracción n desconocido. Un haz de luz proveniente de una lámpara de sodio incide con ángulo θ1i=α, se mide al ángulo de desviación δ. Los resultados son

LíquidoDesviación, δIndice de refracción, n
Glicerina37°1.47
Agua27°1.34
Alcohol etílico28°1.35
Benceno39°1.50
alfa=pi/3; %ángulo del prisma, ángulo incidente, 60ยบ
for delta=[37, 27, 28, 39]*pi/180
   n=sqrt(1+sin(delta)^2/sin(alfa)^2+2*sin(delta)/tan(alfa));
   disp(n)
end
    1.4757
    1.3413
    1.3550
    1.5016

Reflexión total

Calculamos el ángulo de incidencia θi1 en la primera superficie, que hace que al ángulo de refracción en la segunda, θt2=π/2 (90°)

{ sin θ i1 =nsin θ t1 nsin( α θ t1 )=1

Despejamos el ángulo de incidencia, θi1

nsinαcos θ t1 nsin θ t1 cosα=1 sinα n 2 n 2 sin 2 θ t1 sin θ i1 cosα=1 sinα n 2 sin 2 θ i1 sin θ i1 cosα=1 sin 2 θ i1 +2sin θ i1 cosα+1 n 2 sin 2 α=0 sin θ i1 =cosα+ n 2 1 ·sinα

Por ejemplo, para un prisma de ángulo α=60°, e índice de refracción n=1.509, obtenemos, θi1=28.6°. Comprobamos en el programa interactivo, más abajo, que para un ángulo menor que 28.6°, se produce reflexión total para un rayo de luz de color rojo

En una experiencia de laboratorio, se puede medir el ángulo de iniciencia θi1 para obtener el índice de refracción n del prisma de ángulo α

n= 1+ ( sin θ i1 +cosα sinα ) 2

Mínima desviación

Escribimos el ángulo de desviación δ en términos del ángulo de incidencia θi1, del índice de refracción n y del ángulo del prisma α. Después de hacer algunas operaciones llegamos a la expresión

δ= θ i1 +arcsin( sinα n 2 sin 2 θ i1 sin θ i1 cosα )α

En la figura, se representa el ángulo de desviación δ en función del ángulo de incidencia θi1.

alfa=60*pi/180; %ángulo del prisma
n=1.5; %indice de refracción
theta=(30:80)*pi/180; %ángulos de incidencia
delta=theta+asin(sin(alfa)*sqrt(n^2-sin(theta).^2)
-sin(theta)*cos(alfa))-alfa;
plot(theta*180/pi,delta*180/pi)
xlabel('\theta')
ylabel('\delta')
title('ángulo de desviación')
grid on

El ángulo de desviación presenta un mínimo δm para un cierto valor del ángulo de incidencia θi1. El mínimo se calcula igualando la derivada de δ respecto de θi1, a cero

dδ d θ i1 =0

Derivando la expresión anterior obtenemos una expresión muy larga, difícil de simplificar. Vamos a calcular la desviación mínima de otra forma, tal como se describe en el libro citado en las referencias. Como

δ= θ i1 + θ t2 α dδ d θ i1 =1+ d θ t2 d θ i1 =0

De la aplicación de la ley de Snell a ambas caras del prisma tenemos las siguientes relaciones:

sinθi1=n·sin θt1.
cosθi1·dθi1=n·cos θt1·t1

n·sinθi2=sin θt2.
n·cosθi2·dθi2=cos θt2·t2

Como α= θt1+ θi2
t1=- dθi2

Combinando estas expresiones, obtenemos

d θ t2 d θ i1 = cos θ i1 ·cos θ i2 cos θ t1 ·cos θ t2

Finalmente, de la condición de mínimo

1 cos θ i1 ·cos θ i2 cos θ t1 ·cos θ t2 =0 cos θ i1 cos θ t2 = cos θ t1 cos θ i2 1 sin 2 θ i1 1 sin 2 θ t2 = 1 sin 2 θ t1 1 sin 2 θ i2

Aplicando la ley de Snell

1 sin 2 θ i1 1 sin 2 θ t2 = 1 1 n 2 sin 2 θ i1 1 1 n 2 sin 2 θ t2

Como n≠1, la relación anterior es cierta para θi1t2 por lo que θi2t1

Cuando la desviación δ es mínima, el rayo atraviesa el prisma horizontalmente, tal como se muestra en la figura.

Como α= θt1+ θi2  y δ=θi1+ θt2

δ m =2 θ i1 α α=2 θ t1

Aplicando la ley de Snell

sin θ i1 =n·sin θ t1 sin( δ m +α 2 )=nsin( α 2 ) δ m =2arcsin( n·sin( α 2 ) )α

El ángulo de incidencia θi1  para el cual se produce la desviación mínima es

θ i1 = δ m +α 2

Midiendo el ángulo de desviación mínima δm obtenemos el índice de refracción de la sustancia transparente. Para medir el índice de refracción de líquidos o gases se construye un prisma hueco cuyos lados son vidrios planos-paralelos, el hueco se llena con el líquido o con el gas a presión.

Ejemplo:

  1. Medimos el ángulo de desviación δ para calcular el índice de refracción del prisma n.
  2. δ= θ i1 +arcsin( sinα n 2 sin 2 θ i1 sin θ i1 cosα )α n 2 = sin 2 θ i1 + ( sin(δ θ i1 +α)+sin θ i1 cosα sinα ) 2

    n 2 = sin 2 40+ ( sin(39.4440+60)+sin40cos60 sin60 ) 2 n=1.50917

  3. Medimos el ángulo de desviación mínima δm para calcular el índice de refracción del prisma n.
  4. Cambiamos el ángulo de incidencia grado a grado hasta encontrar la desviación mínima.

    Comprobamos que el programa interactivo proporciona un valor correcto de la desviación mínima

    θ i1 = δ m +α 2 49= δ m +60 2 δ m 38º

    Calculamos el índice de refracción

    n= sin( δ m +α 2 ) sin( α 2 ) n= sin( 37.98+60 2 ) sin( 60 2 ) =1.5092

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se proporciona el dato del índice de refracción n para cada longitud de onda λ (véase el apartado titulado 'Indice de refracción') y el programa dibuja y calcula la desviación δ del rayo incidente al refractarse en la segunda superficie del prisma. Se dibujan con líneas a trazos de color azul claro, las normales a las dos superficies del prisma



Indice de refracción

El índice de refracción n no es constante, sino que depende de la longitud de onda o de la frecuencia de la luz con la que se ilumina el prisma.

Por ejemplo, el índice de refracción del vidrio denominado Borosilicate Crown para las longitudes de onda del espectro visible, se proporcionan en la siguiente tabla.

Color Longitud de onda nm Indice de refracción
Rojo 640 1.50917
Amarillo 589 1.51124
Verde 509 1.51534
Azul 486 1.51690
Violeta 434 1.52136

Fuente: hypertextbook.com/facts/2005/JustinChe.shtml (junio 2008)

Ajuste a un polinomio de grado m

Para calcular el índice de refracción para cualquier otra longitud de onda del espectro visible se ajusta los datos de la tabla mediante el procedimiento de los mínimos cuadrados a un polinomio de grado m.

Creamos un script para representar mediante puntos la tabla de datos, en el eje X la longitud de onda en nm, en el eje Y el índice de refracción del vidrio

x=[640,589,509,486,434];  %longitud de onda en nm
y=[1.50917,1.51124,1.51534,1.51690,1.52136]; %índice de refracción
plot(x,y,'o','markersize',6,'markerfacecolor','b')
xlabel('\lambda (nm)')
ylabel('n')
title('Indice de refracción del vidrio')

Seleccionamos en el menú de la ventana gráfica que aparece Tools/Basic fitting. Probamos primero el ajuste lineal (linear), luego el ajuste a un polinomio de grado dos (quadratic), a un polinomio de grado tres (cubic). Observamos que este último ajuste parece el más conveniente. Anotamos los coeficientes del polinomio y=p1x3+p2x2+p3x+p4

p1=-5.1283·10-10, p2=9.7277·10-7, p3=-0.00065484, p4=1.6643

Ajuste no lineal

Tomando como modelo la fórmula de Cauchy para los índices de refracción del agua en la región visible del espectro, probamos un ajuste no lineal a la función

y=a+ b x 2

x=[640,589,509,486,434];  %longitud de onda en nm
%índice de refracción del vidrio
y=[1.50917,1.51124,1.51534,1.51690,1.52136];
hold on
plot(x,y,'bo','markersize',4,'markerfacecolor','b')
f_ajuste =@(a,x) a(1)+a(2)./x.^2;          
a0=[1.3 3000];  %valor inicial de los parámetros
af=nlinfit(x,y,f_ajuste,a0);
%representa la función 
g=@(x) f_ajuste(af,x);
fplot(g,[400,700],'r')
hold off
xlabel('\lambda (nm)')
ylabel('n')
title('Indice de refracción del vidrio')
>> af= 1.4990   4.2318e+03

n=1.499+ 4231.8 λ 2 λ en nm

Dos prismas pegados

Consideremos un prisma de ángulo α pegado a medio prisma invertido tal como se muestra en la figura.

Para una determinada longitud de onda λ0 los índices de refracción de los prismas son iguales n1=n2. Un rayo pasa de un prisma al otro sin desviarse, cualquiera que sea el ángulo de incidencia θi1.

a 1 + b 1 λ 2 = a 2 + b 2 λ 2 λ 0 = b 1 b 2 a 2 a 1

Con los datos de a1, b1, a2 y b2, λ0=500 nm. Los índice de refracción de ambos prismas valen, n1=1.5 y n2=1.5.

Trazado de los rayos

Consideremos un prisma de α=60° sobre el que incide un rayo con un ángulo θi1=40°.

Un rayo incidente horizontal produce un rayo emergente horizontal

Para que el rayo incidente sea horizontal, el ángulo de incidencia en la primera superficie será θi1=α/2. Para que el rayo emergente del prisma que incide sobre la superficie vertical sea horizontal θt2=α/2.

Tenemos un sistema de dos ecuaciones

sin( α 2 )= n 1 sin θ t1 n 1 sin( α θ t1 )= n 2 sin( α 2 )

Eliminamos la incógnita θt1

n 1 sinαcos θ t1 n 1 cosαsin θ t1 = n 2 sin( α 2 ) sinα n 1 2 sin 2 ( α 2 ) =( n 2 +cosα )sin( α 2 ) 4 cos 2 ( α 2 )( n 1 2 sin 2 ( α 2 ) )= n 2 2 + cos 2 α+2 n 2 cosα 4 cos 2 ( α 2 ) ( a 1 + b 1 λ 2 ) 2 = ( a 2 + b 2 λ 2 ) 2 +2( a 2 + b 2 λ 2 )cosα+1

Obtenemos la ecuación bicuadrada, en λ

( 4 cos 2 ( α 2 ) a 1 2 a 2 2 2 a 2 cosα1 ) λ 4 +( 8 cos 2 ( α 2 ) a 1 b 1 2 a 2 b 2 2 b 2 cosα ) λ 2 +( 4 cos 2 ( α 2 ) b 1 2 b 2 2 )=0

Sea el ángulo del prisma, α=60°, la ecuación que tenemos que resolver es

( 3 a 1 2 a 2 2 a 2 1 ) λ 4 +( 6 a 1 b 1 2 a 2 b 2 b 2 ) λ 2 +( 3 b 1 2 b 2 2 )=0

Con los datos dados al principio de este apartado, obtenemos, λ=1178.3 nm. Un rayo que incide con ángulo 30°, sale horizontal del prisma, el ángulo θt3=0°, que es el valor que nos proporciona el programa interactivo en la esquina superior derecha.

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Fijamos la longitud de onda y cambiamos el ángulo de incidencia, hasta encontrar el valor de la desviación mínima. A partir de este dato, calculamos el índice de refracción.



Referencias

Hetch-Zajac. Optica. Addison-Wesley Iberoamericana (1986), págs. 138-139

B. P. Chandra, S. C. Bhaiya. A simple, accurrate alternative to the minimum deviation method of determining the refactive index of liquids. Am. J. Phys. 51 (2) February 1983, pp. 160-161

Edward Richard Van Keuren. Refractive index measurement using total internal reflection. Am. J. Phys. 73 (7) July 2005, pp. 611-614

International Physics Olympiad. Theoretical Question III. Romania, 1983