El prisma de vidrio

El siguiente programa simula un prisma. Se puede cambiar el ángulo del prisma en el control titulado Angulo prisma y el ángulo incidente en el control Angulo incidente a continuación, se pulsa el botón titulado Nuevo


Geometría del prisma

En al figura, se muestra un prisma de ángulo α hecho de un vidrio que tiene un índice de refracción n. Un rayo de luz de color rojo incide sobre la cara izquierda del prisma. El ángulo que forma el rayo incidente con la normal es θi1. Aplicamos la ley de Snell para trazar el rayo refractado

sinθi1=n·sin θt1.

θt1 es el ángulo que forma el rayo refractado con la normal a la cara izquierda del prisma. El rayo se ha desviado (θi1- θt1)

El rayo refractado llega a la cara derecha del prisma formado un ángulo θi2 con la normal. Aplicamos la ley de Snell para obtener la dirección del rayo refractado

n·sinθi2=sin θt2.

El rayo se ha desviado (θt2- θi2)

El ángulo que forma la prolongación del rayo incidente con el rayo que sale del prisma se denomina ángulo de desviación.

δ=(θi1- θt1)+ (θt2- θi2)= θi1+ θt2

ya que α= θt1+ θi2

Escribimos el ángulo de desviación δ en términos del ángulo de incidencia θi1, del índice de refracción n y del ángulo del prisma α. Después de hacer algunas operaciones llegamos a la expresión

δ= θ i1 +arcsin( sinα n 2 sin 2 θ i1 sin θ i1 cosα )α

En la figura, se representa el ángulo de desviación δ en función del ángulo de incidencia θi1.

alfa=60*pi/180; %ángulo del prisma
n=1.5; %indice de refracción
theta=(30:80)*pi/180; %ángulos de incidencia
delta=theta+asin(sin(alfa)*sqrt(n^2-sin(theta).^2)
-sin(theta)*cos(alfa))-alfa;
plot(theta*180/pi,delta*180/pi)
xlabel('\theta')
ylabel('\delta')
title('ángulo de desviación')
grid on

Mínima desviación

El ángulo de desviación presenta un mínimo δm para un cierto valor del ángulo de incidencia θi1. El mínimo se calcula igualando la derivada de δ respecto de θi1, a cero

dδ d θ i1 =0

Derivando la expresión anterior obtenemos una expresión muy larga, difícil de simplificar. Vamos a calcular la desviación mínima de otra forma, tal como se describe en el libro citado en las referencias. Como

δ= θ i1 + θ t2 α dδ d θ i1 =1+ d θ t2 d θ i1 =0

De la aplicación de la ley de Snell a ambas caras del prisma tenemos las siguientes relaciones:

sinθi1=n·sin θt1.
cosθi1·dθi1=n·cos θt1·t1

n·sinθi2=sin θt2.
n·cosθi2·dθi2=cos θt2·t2

Como α= θt1+ θi2
t1=- dθi2

Combinando estas expresiones, obtenemos

d θ t2 d θ i1 = cos θ i1 ·cos θ i2 cos θ t1 ·cos θ t2

Finalmente, de la condición de mínimo

1 cos θ i1 ·cos θ i2 cos θ t1 ·cos θ t2 =0 cos θ i1 cos θ t2 = cos θ t1 cos θ i2 1 sin 2 θ i1 1 sin 2 θ t2 = 1 sin 2 θ t1 1 sin 2 θ i2

Aplicando la ley de Snell

1 sin 2 θ i1 1 sin 2 θ t2 = 1 1 n 2 sin 2 θ i1 1 1 n 2 sin 2 θ t2

Como n≠1, la relación anterior es cierta para θi1t2 por lo que θi2t1

Cuando la desviación δ es mínima, el rayo atraviesa el prisma horizontalmente, tal como se muestra en la figura.

Como α= θt1+ θi2  y δ=θi1+ θt2

δ m =2 θ i1 α α=2 θ t1

Aplicando la ley de Snell

sin θ i1 =n·sin θ t1 sin( δ m +α 2 )=nsin( α 2 ) δ m =2arcsin( n·sin( α 2 ) )α

El ángulo de incidencia θi1  para el cual se produce la desviación mínima es

θ i1 = δ m +α 2

Midiendo el ángulo de desviación mínima δm obtenemos el índice de refracción de la sustancia transparente. Para medir el índice de refracción de líquidos o gases se construye un prisma hueco cuyos lados son vidrios planos-paralelos, el hueco se llena con el líquido o con el gas a presión.

Ejemplo:

  1. Medimos el ángulo de desviación δ para calcular el índice de refracción del prisma n.
  2. δ= θ i1 +arcsin( sinα n 2 sin 2 θ i1 sin θ i1 cosα )α n 2 = sin 2 θ i1 + ( sin(δ θ i1 +α)+sin θ i1 cosα sinα ) 2

    n 2 = sin 2 40+ ( sin(39.4440+60)+sin40cos60 sin60 ) 2 n=1.50917

  3. Medimos el ángulo de desviación mínima δm para calcular el índice de refracción del prisma n.
  4. Cambiamos el ángulo de incidencia grado a grado hasta encontrar la desviación mínima.

    Comprobamos que el programa interactivo proporciona un valor correcto de la desviación mínima

    θ i1 = δ m +α 2 49= δ m +60 2 δ m 38º

    Calculamos el índice de refracción

    n= sin( δ m +α 2 ) sin( α 2 ) n= sin( 37.98+60 2 ) sin( 60 2 ) =1.5092

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Fijamos la longitud de onda y cambiamos el ángulo de incidencia, hasta encontrar el valor de la desviación mínima. A partir de este dato, calculamos el índice de refracción.



Indice de refracción

El índice de refracción n no es constante, sino que depende de la longitud de onda o de la frecuencia de la luz con la que se ilumina el prisma.

Por ejemplo, el índice de refracción del vidrio denominado Borosilicate Crown para las longitudes de onda del espectro visible, se proporcionan en la siguiente tabla.

Color Longitud de onda nm Indice de refracción
Rojo 640 1.50917
Amarillo 589 1.51124
Verde 509 1.51534
Azul 486 1.51690
Violeta 434 1.52136

Fuente: hypertextbook.com/facts/2005/JustinChe.shtml (junio 2008)

Ajuste a un polinomio de grado m

Para calcular el índice de refracción para cualquier otra longitud de onda del espectro visible se ajusta los datos de la tabla mediante el procedimiento de los mínimos cuadrados a un polinomio de grado m.

Creamos un script para representar mediante puntos la tabla de datos, en el eje X la longitud de onda en nm, en el eje Y el índice de refracción del vidrio

x=[640,589,509,486,434];  %longitud de onda en nm
y=[1.50917,1.51124,1.51534,1.51690,1.52136]; %índice de refracción
plot(x,y,'o','markersize',6,'markerfacecolor','b')
xlabel('\lambda (nm)')
ylabel('n')
title('Indice de refracción del vidrio')

Seleccionamos en el menú de la ventana gráfica que aparece Tools/Basic fitting. Probamos primero el ajuste lineal (linear), luego el ajuste a un polinomio de grado dos (quadratic), a un polinomio de grado tres (cubic). Observamos que este último ajuste parece el más conveniente. Anotamos los coeficientes del polinomio y=p1x3+p2x2+p3x+p4

p1=-5.1283·10-10, p2=9.7277·10-7, p3=-0.00065484, p4=1.6643

Ajuste no lineal

Tomando como modelo la fórmula de Cauchy para los índices de refracción del agua en la región visible del espectro, probamos un ajuste no lineal a la función

y=a+ b x 2

x=[640,589,509,486,434];  %longitud de onda en nm
%índice de refracción del vidrio
y=[1.50917,1.51124,1.51534,1.51690,1.52136];
hold on
plot(x,y,'bo','markersize',4,'markerfacecolor','b')
f_ajuste =@(a,x) a(1)+a(2)./x.^2;          
a0=[1.3 3000];  %valor inicial de los parámetros
af=nlinfit(x,y,f_ajuste,a0);
%representa la función 
g=@(x) f_ajuste(af,x);
fplot(g,[400,700],'r')
hold off
xlabel('\lambda (nm)')
ylabel('n')
title('Indice de refracción del vidrio')
>> af= 1.4990   4.2318e+03

n=1.499+ 4231.8 λ 2 λ en nm

Referencias

Hetch-Zajac. Optica. Addison-Wesley Iberoamericana (1986), págs. 138-139