Fibra óptica

Una fibra óptica consta de un cilindro de radio a hecho de un material transparente cuyo índice de refracción varía radialmente de n1 en el eje a n2 a una distancia a del eje, es el núcleo de la fibra. El cilindro está recubierto por una capa cilíndrica de índice de refracción constante n2. El índice de refracción del aire es n0≈1

Un rayo de luz incide en el origen formando un ángulo θi con el eje X de la fibra. El rayo se refracta y forma un ángulo θ0 con el eje de la fibra.

n 0 sin θ i = n 1 sin θ 0

A partir de esta posición (el origen) vamos a determinar el camino que sigue el rayo de luz en el núcleo de la fibra (cilindro de radio a) sabiendo que el índice de refracción varía radialmente, de la forma

n(y)= n 1 1 α 2 y 2 , n 1 > n 2 >1

donde y es la distancia desde el eje y α es una constante tal que, el índice de refracción es n2 para y=a

n 2 = n 1 1 α 2 a 2 α= 1 n 1 a n 1 2 n 2 2

El camino que sigue la luz

En la página titulada 'Propagación en un medio no homogéneo' obtuvimos la ecuación diferencial del camino de la luz cuando el índice de refracción varía con y.

( dy dx ) 2 = n 2 n 1 2 ( 1+ ( dy dx ) 0 2 )1

La derivada en el origen

( dy dx ) 0 =tan θ 0

El ángulo θ0 es conocido por la aplicación de la ley de la refracción en el origen

( dy dx ) 2 =( 1 α 2 y 2 )( 1+ tan 2 θ 0 )1 ( dy dx ) 2 =( 1 α 2 y 2 ) 1 cos 2 θ 0 1 ( dy dx ) 2 = tan 2 θ 0 α 2 cos 2 θ 0 y 2

Integramos la ecuación diferencial sabiendo que el camino de la luz pasa por el origen x=0, y=0

0 y dy tan 2 θ 0 α 2 cos 2 θ 0 y 2 = 0 x dx

El resultado es

cos θ 0 α arcsin( αy sin θ 0 )=x y= sin θ 0 α sin( α cos θ 0 x )

Introduciendo las expresiones de α y θ0 (ley de la refracción)

y a = n 0 sin θ i n 1 2 n 2 2 sin( n 1 2 n 2 2 n 1 2 n 0 2 sin 2 θ i x a ) y=Asin( kx ),A= n 0 sin θ i n 1 2 n 2 2 a= n 1 sin θ 0 n 1 2 n 2 2 a,k= 1 a n 1 2 n 2 2 n 1 2 n 0 2 sin 2 θ i

Para que la luz se propague a lo largo del núcleo de la fibra, se tiene que cumplir que y<a, A<a . El ángulo de incidencia máximo, con A=a es

sin θ im = 1 n 0 n 1 2 n 2 2

Con los datos, n0=1, n1=1.5 y n2=1.46

θim=20.13°, por tanto, el ángulo de incidencia ha de cumplir θiim

Las posiciones x para las cuales y=0, son

kx=mπ,,m=1,2,3... x 1 =πa n 1 2 n 0 2 sin 2 θ i n 1 2 n 2 2 , x 2 =2 x 1 , x 3 =3 x 1 ,...

Para θi=20°, y es nulo, para x/a= 13.33, 26,67, 40.00, 53.33

Representamos y/a en función de x/a para dos ángulos θi, 10° y 20°, tomando n0=1, n1=1.5 y n2=1.46

n0=1;
n1=1.5;
n2=1.46;
hold on
for th=[10,20]*pi/180
    A=n0*sin(th)/sqrt(n1^2-n2^2);
    k=sqrt((n1^2-n2^2)/(n1^2-n0^2*sin(th)^2));
    fplot(@(x) A*sin(k*x),[0,30])
end
hold off
grid on
xlabel('x/a')
legend('10','20','location','best')
ylabel('y/a')
title('Fibra óptica')

Velocidad de propagación

El tiempo dt que tarda la luz en desplzarse desde A hasta B es

dt= ds v = c v ds c = n c ds

Como apreciamos en la figura

Δs= ( Δx ) 2 + ( Δy ) 2 = 1+ 1 ( Δy Δx ) 2 Δy

En el límite cuan Δx→0

ds= 1+ 1 ( dy dx ) 2 dy

El tiempo que tarda la luz en desplazarse ds, es

dt= n c ds= n c 1+ 1 ( dy dx ) 2 dy { n= n 1 1 α 2 y 2 ( dy dx ) 2 = 1 α 2 y 2 cos 2 θ 0 1 dt= n 1 c 1 α 2 y 2 sin 2 θ 0 α 2 y 2 dy

El tiempo que tarda desde que sale (en el origen) hasta que cruza el eje X (posición x1), es el doble del tiempo que tarda en desplzarse desde el origen hasta el punto (x1/2,A). Integramos

0 P/2 dt = n 1 c 0 A 1 α 2 y 2 sin 2 θ 0 α 2 y 2 dy P 2 = n 1 c { 1 α 0 A 1 sin 2 θ 0 α 2 y 2 dy α 0 A y 2 sin 2 θ 0 α 2 y 2 dy }

La primera integral es inmediata

1 α 1 sin 2 θ 0 α 2 y 2 dy = 1 α arcsin( αy sin θ 0 )

Integramos par partes la segunda integral

α y 2 sin 2 θ 0 α 2 y 2 dy ,{ u=y,du=dy dv= 1 2 2ydy sin 2 θ 0 α 2 y 2 ,v= sin 2 θ 0 α 2 y 2 α{ y sin 2 θ 0 α 2 y 2 + sin 2 θ 0 α 2 y 2 dy }

Para resolver la inetgral, hacemos un cambio de variable

y= sin θ 0 α sint,dy= sin θ 0 α cost·dt sin 2 θ 0 α 2 y 2 dy = sin 2 θ 0 α 2 cos 2 t·dt= sin 2 θ 0 2 α 2 ( 1+cos(2t) )·dt= sin 2 θ 0 2 α 2 ( t+ 1 2 sin(2t) )= sin 2 θ 0 2 α 2 { arcsin( αy sin θ 0 )+ αy sin θ 0 1 ( αy sin θ 0 ) 2 }

Evaluamos el integrando entre los límites 0 y A y teniendo en cuenta que αA/sinθ0=1, el resultado final se simplifica notablemente

1 α arcsin( αy sin θ 0 )α { y sin 2 θ 0 α 2 y 2 + sin 2 θ 0 2 α 2 { arcsin( αy sin θ 0 )+ αy sin θ 0 1 ( αy sin θ 0 ) 2 } } 0 A = 1 α arcsin( αA sin θ 0 )α{ A sin 2 θ 0 α 2 A 2 + sin 2 θ 0 2 α 2 { arcsin( αA sin θ 0 )+ αA sin θ 0 1 ( αA sin θ 0 ) 2 } }= 1 α π 2 α{ sin 2 θ 0 2 α 2 π 2 }= 1 α π 2 sin 2 θ 0 2α π 2

El resultado final es

P 2 = n 1 c 1 α π 2 { 1 sin 2 θ 0 2 } P= π n 1 2 a c n 1 2 n 2 2 { 1 sin 2 θ i 2 n 1 2 }

La velocidad de la luz a lo largo la fibra es el cociente entre el desplazamiento horizontal x1 y el tiempo P que tarda en desplazarse

v= x 1 P = πa n 1 2 n 0 2 sin 2 θ i n 1 2 n 2 2 π n 1 2 a c n 1 2 n 2 2 { 1 sin 2 θ i 2 n 1 2 } = c n 1 2 n 0 2 sin 2 θ i n 1 2 { 1 sin 2 θ i 2 n 1 2 }

Los rayos con diferentes ángulos de incidencia θi tienen distintas velocidades de propagación. Llegan a una posición x en el eje de la fibra en distintos tiempos

Por ejemplo, los rayos cuyo ángulo de incidencia es θi=0 y θi=θim llegan a x con una diferencia de tiempos

Δt= x v m x v 0 = x c ( n 1 2 + n 2 2 2 n 2 n 1 )= x c ( n 1 n 2 ) 2 2 n 2

Un pulso de duración muy pequeña se convierte en un pulso de anchura finita Δt. Si dos pulsos consecutivos entran en la fibra óptica con una separación mayor que Δt entonces se podrán detectar al final de la fibra de forma separada

Para una fibra de longitud x=1000 m

Δt=1.8278·10-9 s, o una frecuencia límite 1/Δt= 547.1 MHz

Referencias

Asian Physics. (1st – 8th). Olympiad. Problems and Solutions. Editor Zheng Yongling. World Scientific (2010), pp. 129-136