Consideremos una placa plana-paralela transparente de espesor d, cuyo índice de refracción n varía con la abscisa x de la forma

${\displaystyle n=\frac{n_0}{1-\frac{x}{R}}}$

Un haz de luz incide en A, (x_A=0) y emerge en el punto B (x_B) haciendo un ángulo α. Calcular

• el índice de refracción n_B de la placa en la posición x_B
• La posición x_B del rayo emergente
• El espesor d de la placa.

Datos: n₀=1.2, R=13 y α=30°

Medio estratificado

En un medio estratificado se cumple que

n₁sinθ₁=n₂sinθ₂=n₃sinθ₃=n₄sinθ₄

En general, nsinθ=n₀sin90°

n y θ son funciones de la abscisa x. n₀ es el índice de refracción en A, (x=0). En esta posición, el rayo incide perpendicularmente a la placa, θ=90°

Rayo emergente

El rayo emerge en el punto B, en la superficie de separación entre la placa y el aire (indice de refracción 1) se cumple, n_Bsin(90-θ_B)=1·sinα

${\displaystyle \sin \alpha =n_B\cos {\theta }_B=n_B\sqrt{1-{\sin }^2{\theta }_B}=\sqrt{n_B^2-n_B^2{\sin }^2{\theta }_B}=\sqrt{n_B^2-n_0^2}}$

Despejamos n_B

${\displaystyle n_B=\sqrt{n_0^2+{\sin }^2\alpha }}$

Con los datos del problema n_B=1.3

Calculamos x_B a partir de n_B

${\displaystyle n_B=\frac{n_0}{1-\frac{x_B}{R}}{x}_B=R\left(1-\frac{n_0}{n_B}\right)}$

Con los datos del problema x_B=1 cm

Ecuación de la trayectoria

La ley de la refracción se escribe, nsinθ=n₀ en este medio estratificado. Donde n y θ son funciones de x

${\displaystyle \sin \theta =\frac{n_0}{n}=\frac{R-x}{R}}$

La pendiente θ de la trayectoria del rayo de luz en el punto (x,y) es

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\tan \theta }$

Expresamos la pendiente dy/dx en una función de x

${\displaystyle \begin{array}{l}\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\sqrt{1-{\sin }^2\theta }}\\ \frac{dy}{dx}=\frac{R-x}{\sqrt{R^2-{(R-x)}^2}}\end{array}}$

Integramos para obtener la ecuación de la trayectoria y=f(x), sabiendo que el rayo pasa por el origen, x=0, y=0

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\sqrt{R^2-{(R-x)}^2}\\ y=\sqrt{R^2-{(R-x)}^2}\end{array}}$

La ecuación de la trayectoria seguida por el rayo de luz es una circunferencia centrada en x=R, y=0.

El espesor d de la placa es lado del triángulo rectángulo de la figura

${\displaystyle d=\sqrt{R^2-{\left(R-x_B\right)}^2}}$

Con los datos del problema, d=4.8 cm

Referencias

Problema de la VII Olimpiada Internacional de Física. Varsovia, 1974