Propagación en medios no homogéneos

Consideremos una placa plana-paralela transparente de espesor d, cuyo índice de refracción n varía con la abscisa x de la forma
Un haz de luz incide en A, (xA=0) y emerge en el punto B (xB) haciendo un ángulo α. Calcular
- el índice de refracción nB de la placa en la posición xB
- La posición xB del rayo emergente
- El espesor d de la placa.
Datos: n0=1.2, R=13 y α=30°
Medio estratificado

En un medio estratificado se cumple que
n1sinθ1=n2sinθ2=n3sinθ3=n4sinθ4
En general, nsinθ=n0sin90°
n y θ son funciones de la abscisa x. n0 es el índice de refracción en A, (x=0). En esta posición, el rayo incide perpendicularmente a la placa, θ=90°
Rayo emergente

El rayo emerge en el punto B, en la superficie de separación entre la placa y el aire (indice de refracción 1) se cumple, nBsin(90-θB)=1·sinα
Despejamos nB
Con los datos del problema nB=1.3
Calculamos xB a partir de nB
Con los datos del problema xB=1 cm
Ecuación de la trayectoria

La ley de la refracción se escribe, nsinθ=n0 en este medio estratificado. Donde n y θ son funciones de x
La pendiente θ de la trayectoria del rayo de luz en el punto (x,y) es
Expresamos la pendiente dy/dx en una función de x

Integramos para obtener la ecuación de la trayectoria y=f(x), sabiendo que el rayo pasa por el origen, x=0, y=0
La ecuación de la trayectoria seguida por el rayo de luz es una circunferencia centrada en x=R, y=0.
El espesor d de la placa es lado del triángulo rectángulo de la figura
Con los datos del problema, d=4.8 cm
Referencias
Problema de la VII Olimpiada Internacional de Física. Varsovia, 1974