Propagación en medios no homogéneos

Consideremos una placa plana-paralela transparente de espesor d, cuyo índice de refracción n varía con la abscisa x de la forma

n= n 0 1 x R

Un haz de luz incide en A, (xA=0) y emerge en el punto B (xB) haciendo un ángulo α. Calcular

Datos: n0=1.2, R=13 y α=30°

Medio estratificado

En un medio estratificado se cumple que

n1sinθ1=n2sinθ2=n3sinθ3=n4sinθ4

En general, nsinθ=n0sin90°

n y θ son funciones de la abscisa x. n0 es el índice de refracción en A, (x=0). En esta posición, el rayo incide perpendicularmente a la placa, θ=90°

Rayo emergente

El rayo emerge en el punto B, en la superficie de separación entre la placa y el aire (indice de refracción 1) se cumple, nBsin(90-θB)=1·sinα

sinα= n B cos θ B = n B 1 sin 2 θ B = n B 2 n B 2 sin 2 θ B = n B 2 n 0 2

Despejamos nB

n B = n 0 2 + sin 2 α

Con los datos del problema nB=1.3

Calculamos xB a partir de nB

n B = n 0 1 x B R x B =R( 1 n 0 n B )

Con los datos del problema xB=1 cm

Ecuación de la trayectoria

La ley de la refracción se escribe, nsinθ=n0 en este medio estratificado. Donde n y θ son funciones de x

sinθ= n 0 n = Rx R

La pendiente θ de la trayectoria del rayo de luz en el punto (x,y) es

dy dx =tanθ

Expresamos la pendiente dy/dx en una función de x

tanθ= sinθ 1 sin 2 θ dy dx = Rx R 2 (Rx) 2

Integramos para obtener la ecuación de la trayectoria y=f(x), sabiendo que el rayo pasa por el origen, x=0, y=0

dy dx = d dx R 2 (Rx) 2 y= R 2 (Rx) 2

La ecuación de la trayectoria seguida por el rayo de luz es una circunferencia centrada en x=R, y=0.

El espesor d de la placa es lado del triángulo rectángulo de la figura

d= R 2 ( R x B ) 2

Con los datos del problema, d=4.8 cm

Referencias

Problema de la VII Olimpiada Internacional de Física. Varsovia, 1974