Espejismos (I)

El índice de refracción se incrementa con la altura

En este modelo simple, consideramos que el índice de refracción se incrementa con la altura y hasta una altura h y luego, permenece constante. Corresponde al aire que está sobre una superficie caliente. En la página titulada Espejismos (II) estudiaremos un modelo más complicado

n 2 (y)={ n 0 2 +ky,0y<h n 0 2 +kh,yh

En la figura representamos el camino seguido por la luz desde el extermo del objeto situado en (xc , l), flecha a la derecha, hasta el observador situado en (0, H). Demostraremos que el camino se compone de una recta, una parábola y otra recta, de la misma pendiente cambiada de signo

La luz procedente del extremo del objeto, le llega al observador haciendo un ángulo -θ con la horizontal.

Resumiendo el camino de la luz (véase la figura al principio de este apartado)

y={ Hxtanθ,x< x 0 k 4 n 2 (h) 1 cos 2 θ ( x x 0 ) 2 ( x x 0 )tanθ+h, x 0 x x 1 ( x x 1 )tanθ+h,x> x 1 sinθ kh n(h)

Representamos el camino seguido por la luz para varios ángulos θθm

θ m =arcsin( kh n(h) )

con los siguientes datos

k=3.0e-5;
n0=1;
h=0.5; 
H=1.5; %altura de los ojos del observador
th_m=asin(sqrt(k*h)/sqrt(n0^2+k*h));
hold on
thh=linspace(0,th_m,4);
for th=thh(2:end)
    x0=(H-h)/tan(th);
    x1=x0+2*(n0^2+k*h)*sin(2*th)/k;
    line([0,x0],[H,h],'color','r')
    f=@(x) k*(x-x0).^2/(4*(n0^2+k*h)*cos(th)^2)-(x-x0)*tan(th)+h;
    fplot(f,[x0,x1],'color','b')
    line([x1,1200],[h,h+(1200-x1)*tan(th)],'color','r')
end
hold off
ylim([0,2.5])
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Espejismo')

Observamos que para θ=θm, la parábola es tangente al eje X, este es el ángulo máximo posible

Para que se vea el extremo de un objeto de altura l, situado en xc

l=( x c x 1 )tanθ+h x c = x 1 + lh tanθ = x 0 + 2 n 2 (h) k sin( 2θ )+ lh tanθ x c = Hh tanθ + 2 n 2 (h) k sin( 2θ )+ lh tanθ = 2 n 2 (h) k sin( 2θ )+ H+l2h tanθ

Representamos xc en función de θ hasta el ángulo límite θm, sabiendo que la altura del objeto l=2.2 m

k=3.0e-5;
n0=1;
h=0.5; 
H=1.5; %altura de los ojos del observador
l=2.2; %altura del camello
th_m=asin(sqrt(k*h)/sqrt(n0^2+k*h)); %ángulo límite
f=@(x) 2*(n0^2+k*h)*sin(2*x)/k+(H+l-2*h)./tan(x);
fplot(f,[0.001,th_m])
grid on
ylabel('x_c')
xlabel('\theta')
title('Espejismo')

Vemos que xc es una función decreciente con θ. La posición xc mínima del objeto para θm es

x c = 2 n 2 (h) k sin( 2 θ m )+ H+l2h tan θ m

>> f(th_m)
ans =   1.2135e+03

La distancia mínima al objeto es xc=1 213 m

En general, dada la posición xc del objeto, calculamos θ, resolviendo la ecuación transcendente

x c = 2 n 2 (h) k sin( 2θ )+ H+l2h tanθ

Sea la posición del objeto xc=1300 m, mayor que la mínima. Representamos el camino que sigue la luz desde el extremo del objeto hasta el observador

k=3.0e-5;
n0=1;
h=0.5; 
H=1.5; %altura de los ojos del observador
l=2.2; %altura del camello
th_m=asin(sqrt(k*h)/sqrt(n0^2+k*h));
xc=1300; %posición del objeto
g=@(x) 2*(n0^2+k*h)*sin(2*x)/k+(H+l-2*h)/tan(x)-xc;
th=fzero(g,[0.001,th_m]); %ángulo
x0=(H-h)/tan(th);
x1=x0+2*(n0^2+k*h)*sin(2*th)/k;
hold on
line([0,x0],[H,h],'color','r')
f=@(x) k*(x-x0).^2/(4*(n0^2+k*h)*cos(th)^2)-(x-x0)*tan(th)+h;
fplot(f,[x0,x1],'color','b')
line([x1,1400],[h,h+(1400-x1)*tan(th)],'color','r')
line([xc,xc],[0,l],'lineWidth',1.5,'color','k')
hold off
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Espejismo')

El índice de refracción disminuye con la altura

El índice de refracción varía con la distancia radial r de la forma

n 2 (r)={ n 0 2 ( 1k( rR ) ),RrR+h n 0 2 ( 1kh ),r>R+h

donde R es el radio de la Tierra y la altura h<<R

El observador está situado a nivel del mar r=R en la posición θ0, y recibe un rayo de luz de inclinación φ con la dirección radial.

En la página dedicada al estudio a la propagación de la luz en un medio no homogéneo, en el apartado titulado el 'Ojo de pez de Maxwell', se deduce la ecuación diferencial del camino que sigue la luz en un medio cuyo indice de refracción n(r) varía con la distancia radial

dθ dr = c r r 2 n 2 c 2

Donde c es una constante que se determina a partir de las condiciones iniciales, en la posición del observador, (R, θ0) el rayo de luz hace un ángulo φ con la dirección radial

tanφ RΔθ Δr

En el límite cuando Δθ→0

( dθ dr ) θ 0 = 1 R tanφ

Por otra parte

( dθ dr ) θ 0 = c R R 2 n 0 2 c 2

La constante c vale

tan 2 φ= c 2 R 2 n 0 2 c 2 c= n 0 Rsinφ

Cuando h<<R podemos hacer la siguiente aproximación, r=R+h

1 R 1 r rR R 2

Para r-R<h, expresamos el índice de refracción de la forma aproximada

n 2 (r)= n 0 2 ( 1k R 2 ( 1 R 1 r ) )

La ecuación diferencial del camino que sigue la luz es

dθ dr = c r r 2 n 2 c 2 dθ dr = n 0 Rsinφ r r 2 n 0 2 ( 1k R 2 ( 1 R 1 r ) ) R 2 n 0 2 sin 2 φ dθ= Rsinφ r ( 1kR ) r 2 +k R 2 r R 2 sin 2 φ dr

Para integrar, dividimos numerador y denominador por r

dθ= R r 2 sinφ·dr 1kR+k R 2 1 r R 2 sin 2 φ 1 r 2

Hacemos el cambio u=1/r, du=-1/r2·dr

dθ= sinφ·du sin 2 φ· u 2 +ku+ 1kR R 2

Esta integral la hemos resuelto en la página del capítulo Dinámica celeste, titulado, Ecuación de la trayectoria

du a u 2 +bu+c = du a{ c a + b 2 4 a 2 ( u b 2a ) 2 } = a= sin 2 φ,b=k,c= 1kR R 2 sinφ·du sin 2 φ· u 2 +ku+ 1kR R 2 = du 1kR R 2 sin 2 φ + k 2 4 sin 4 φ ( u k 2 sin 2 φ ) 2

Hacemos un nuevo cambio de variable

u k 2 sin 2 φ = 1 sinφ 1kR R 2 + k 2 4 sin 2 φ cosξ du= 1 sinφ 1kR R 2 + k 2 4 sin 2 φ sinξ·dξ

La integral se reduce a

θ= dξ θ=ξ

Deshacemos los cambios de variable

cosθ= 1 r k 2 sin 2 φ 1 sinφ 1kR R 2 + k 2 4 sin 2 φ r= 1 k 2 sin 2 φ + 1 sinφ 1kR R 2 + k 2 4 sin 2 φ cosθ r= 2 sin 2 φ k 1+ 1 4 sin 2 φ k 2 kR1 R 2 cosθ

El camino que sigue la luz es una porción de elipse

r= p 1+εcosθ ,{ p= 2 sin 2 φ k ε= 1 4 sin 2 φ k 2 kR1 R 2

Comprobamos que se cumplen las condiciones iniciales, punto de partida es (R, θ0)

R= p 1+εcos θ 0 ,cos θ 0 = 1 ε ( p R 1 )

En cuanto a la pendiente en el punto de partida

( dr dθ ) θ 0 = pεsin θ 0 ( 1+εcos θ 0 ) 2 ( dr dθ ) θ 0 = pεsin θ 0 ( 1+εcos θ 0 ) 2 = R p ε 2 R 2 p 2 R 2 +2pR

Sustituimos el parámero p y la excentricidad ε, obteniendo la condición inicial que nos permitió calcular la constante c

( dr dθ ) θ 0 = R tanφ

Para apreciar la elipse, resolvemos un caso hipotético donde h=2000 km, 2·106 m, que no cumple la condición h<<R. Los datos son

El camino que sigue la luz es la porción de elipse, uno de cuyos focos está en el centro de la Tierra, que va desde la posición del emisor (R+y, θ) hasta el observador situado en la posición (R, θ0) que recibe la luz formando un ángulo φ con la dirección radial

Se ha trazado el camino que sigue la luz para que esté dentro de la región r-R≤h donde hay un gradiente en el índice de refración

La posición más alejada del centro de la Tierra, se produce para θ=π y es rm=R+h

r m = p 1ε

Calculamos el ángulo φ y lo denominamos φm

ε=1 p r m ε 2 =1+ p 2 r m 2 2 p r m 1 4 sin 2 φ k 2 kR1 R 2 =1+ 1 r m 2 4 sin 4 φ k 2 1 r m 4 sin 2 φ k 4 sin 2 φ k { sin 2 φ k r m 2 + kR1 k R 2 1 r m }=0 sin φ m = r m k( 1 r m kR1 k R 2 )

Si φ>φm, entonces, rm<R+h

Para representar parte de las dos figuras se ha empleado el código

R=6.37e6; %radio Tierra
n0=1;
k=6.0e-7; 
h=2e6; %altura
rm=R+h;
phi_m=asin(sqrt(rm*(k-rm*(k*R-1)/R^2)));
% phi=phi_m; %ángulo de la tangente
phi=30*pi/180;
p=2*sin(phi)^2/k; 
ex=sqrt(1-4*sin(phi)^2*(k*R-1)/(k*R)^2);

hold on
t=(1:360)*pi/180; %Tierra
xx=cos(t);
yy=sin(t);
fill(xx,yy,'c')
fplot(@(t) cos(t), @(t) sin(t),[0,2*pi],'color','b')
fplot(@(t) (rm/R)*cos(t), @(t) (rm/R)*sin(t),[0,2*pi],'color','k')
plot(0,0,'ko','markersize',3,'markerfacecolor','k')
th=linspace(0,2*pi, 300); %elipse
r=(p/R)./(1+ex*cos(th));
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
plot(x,y,'r')
hold off
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Refracción en la atmósfera')

La situación real es aquella en la que el objeto está cerca de la superficie del mar. Los datos son

R=6.37e6; %radio Tierra
n0=1;
k=6.0e-7; 
h=100; %altura gradiente del índice de refracción
rm=R+h;
phi_m=asin(sqrt(rm*(k-rm*(k*R-1)/R^2)));
phi=phi_m;
p=2*sin(phi)^2/k; 
ex=sqrt(1-4*sin(phi)^2*(k*R-1)/(k*R)^2);
th_0=acos((p/R-1)/ex);

y=10; %altura objeto 10 m
r1=R+y;
%alcanza la altura
th_1=2*pi-acos((p/r1-1)/ex);
disp([th_0, th_1]*180/pi)
dist=R*(th_1-th_0)/1000; %distancia
disp(dist)
  179.6637  180.3191
  72.8697

Fijarse que hay dos ángulos cuyo coseno es el mismo θ y 2π-θ. La distancia al objeto es de 72.87 km

Este ejemplo, nos relaciona la dinámica celeste con la óptica geométrica. Quizás para la situación real (h≈100 m) sea más adecuado aproximar la superficie curva de la Tierra a una superficie plana, como en el primer apartado.

Referencias

WoPhO Problems and Solutions. 2011, Indonesia. Mirage

J. Blanco-García, B. V. Dorrío, F. A. Ribas-Pérez. Photographing mirages above the sea surface. 8 th International Conference on Hands-on Science. Focus on multimedia