Rebote sobre una placa inclinada situada a una altura h

Una partícula se deja caer desde una altura H, rebota elásticamente en una placa inclinada situada a una altura h, tal como se muestra en la figura.

Cuando una partícula choca elásticamente con una pared fija, los ángulos que forman la dirección de la velocidad de la partícula con la normal a la pared inmediatamente antes y después del choque, son iguales

La ecuación del movimiento de caída de la partícula desde la posición y₀=H, a lo largo del eje Y es

${\displaystyle \{\begin{array}{l}v=-gt\\ y=H-\frac{1}{2}g{t}^2\end{array}}$

Cuando la partícula se encuentra a la altura h, alcanza la velocidad $v=-\sqrt{2g\left(H-h\right)}$

La partícula rebota elásticamente sobre la placa inclinada, la velocidad de disparo es

${\displaystyle v_0=\sqrt{2g\left(H-h\right)}}$

haciendo un ángulo θ con la horizontal, tal como se muestra en la figura. Las ecuaciones del movimiento de la partícula son ahora

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{a}_x=0\\ a_y=-g\end{array}\{\begin{array}{l}{v}_x=v_0\cos \theta \\ v_y=v_0\sin \theta -gt\end{array}\{\begin{array}{l}x=v_0\cos \theta ·t\\ y=h+v_0\sin \theta ·t-\frac{1}{2}g{t}^2\end{array}}$

El alcance horizontal R se obtiene con y=0

${\displaystyle \begin{array}{l}0=h+v_0\sin \theta ·t-\frac{1}{2}g{t}^2\\ T=\frac{v_0\sin \theta +\sqrt{v_0^2{\sin }^2\theta +2gh}}{g}\\ R=v_0\cos \theta ·T=\frac{v_0\cos \theta }{g}\left(v_0\sin \theta +\sqrt{v_0^2{\sin }^2\theta +2gh}\right)=\frac{v_0^2\cos \theta }{g}\left(\sin \theta +\sqrt{{\sin }^2\theta +\frac{2gh}{v_0^2}}\right)\\ R=2\left(H-h\right)\cos \theta \left(\sin \theta +\sqrt{{\sin }^2\theta +\frac{2gh}{2g\left(H-h\right)}}\right)\\ R=2H\left(1-\eta \right)\cos \theta \left(\sin \theta +\sqrt{{\sin }^2\theta +\frac{\eta }{1-\eta }}\right),\eta =\frac{h}{H}\end{array}}$

T es el tiempo de vuelo

${\displaystyle T=\sqrt{\frac{2H}{g}}\left(\sqrt{1-\eta }\sin \theta +\sqrt{\eta +\left(1-\eta \right){\sin }^2\theta }\right)}$

• Fijamos la altura h

Vamos a determinar el ángulo de tiro θ_m que hace que el alcance R sea máximo.

Ya hemos estudiado este problema en el Tiro parabólico (I). El ángulo de tiro que hace que el alcance sea máximo es

${\displaystyle \begin{array}{l}\sin {\theta }_m=\frac{1}{\sqrt{2\left(1+\frac{gh}{v_0^2}\right)}}=\frac{1}{\sqrt{2\left(1+\frac{gh}{2g\left(H-h\right)}\right)}}=\frac{1}{\sqrt{2+\frac{\eta }{1-\eta }}}=\sqrt{\frac{1-\eta }{2-\eta }}\\ \tan {\theta }_m=\frac{\sin {\theta }_m}{\sqrt{1-{\sin }^2{\theta }_m}}=\frac{\sqrt{\frac{1-\eta }{2-\eta }}}{\sqrt{\frac{1}{2-\eta }}}=\sqrt{1-\eta }\end{array}}$

Cuando h=0, η=0, θ_m=π/4 (45°)

Representamos el alcance R/2H en función del ángulo de tiro θ para η=0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8

El alcance disminuye al incrmentarse h o η=h/H

hold on
for r=0:0.2:0.8
    f=@(x) (1-r)*cos(x).*(sin(x)+sqrt(sin(x).^2+r/(1-r)));
    fplot(f,[0,80*pi/180],'displayName',num2str(r))
end
hold off
grid on
legend('-DynamicLegend','location','best')
set(gca,'XTick',0:pi/12:pi/2)
set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/12','\pi/6','\pi/4','\pi/3','5\pi/12','\pi/2'})
xlabel('\theta')
ylabel('R/2H')
title('Altura h fija')



• Fijamos el ángulo de tiro θ

Vamos a determinar la altura h o el parámetro η que hace que el alcance R sea máximo.

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{dR}{d\eta }=2H\left\{-\cos \theta \left(\sin \theta +\sqrt{{\sin }^2\theta +\frac{\eta }{1-\eta }}\right)+\left(1-\eta \right)\cos \theta \left(\frac{\frac{1}{{\left(1-\eta \right)}^2}}{2\sqrt{{\sin }^2\theta +\frac{\eta }{1-\eta }}}\right)\right\}=\\ 2H\cos \theta \left\{\frac{1}{2\left(1-\eta \right)\sqrt{{\sin }^2\theta +\frac{\eta }{1-\eta }}}-\sin \theta -\sqrt{{\sin }^2\theta +\frac{\eta }{1-\eta }}\right\}=\\ \frac{H\cos \theta }{\left(1-\eta \right)\sqrt{{\sin }^2\theta +\frac{\eta }{1-\eta }}}\left\{1-2\eta -2\sin \theta \left(1-\eta \right)\left(\sin \theta +\sqrt{{\sin }^2\theta +\frac{\eta }{1-\eta }}\right)\right\}=0\end{array}}$

Tenemos que resolver la ecuación

${\displaystyle \begin{array}{l}1-2\eta -2\sin \theta \left(1-\eta \right)\left(\sin \theta +\sqrt{{\sin }^2\theta +\frac{\eta }{1-\eta }}\right)=0\\ \sqrt{{\sin }^2\theta +\frac{\eta }{1-\eta }}=\frac{1-2\eta }{2\sin \theta \left(1-\eta \right)}-\sin \theta \\ {\sin }^2\theta +\frac{\eta }{1-\eta }=\frac{{\left(1-2\eta \right)}^2}{4{\sin }^2\theta {\left(1-\eta \right)}^2}+{\sin }^2\theta -\frac{1-2\eta }{1-\eta }\\ 1-\eta =\frac{{\left(1-2\eta \right)}^2}{4{\sin }^2\theta \left(1-\eta \right)}\\ {\eta }_m=\frac{1-2\sin \theta }{2\left(1-\sin \theta \right)},\theta <\frac{\pi }{6}\end{array}}$

El ángulo de tiro θ<π/6 para que η=h/H≥0

El alcance máximo es

${\displaystyle \begin{array}{l}R=2H\left(1-\eta \right)\cos \theta \left(\sin \theta +\sqrt{{\sin }^2\theta +\frac{\eta }{1-\eta }}\right)\\ R_m=H\frac{\cos \theta }{1-\sin \theta }\left(\sin \theta +\sqrt{{\sin }^2\theta +1-2\sin \theta }\right)\\ R_m=H\frac{\cos \theta }{1-\sin \theta }\left(\sin \theta +\left(1-\sin \theta \right)\right)=H\frac{\cos \theta }{1-\sin \theta }\end{array}}$

Por ejemplo para θ=π/18 (10°), η_m=0.3949, el alcance máximo R_m=1.1918·H

Representamos la trayectoria seguida por tres partículas disparadas con ángulo de tiro de θ=π/18 (10°), desde la altura 3 m, 3.949 n y 5 m. Observamos que el alcance de la segunda partícula es máximo

hold on
th=10*pi/180; %ángulo de tiro
x_m=(1-2*sin(th))/(2*(1-sin(th)));
H=10; %altura de caída
hold on
for h=[3, x_m*H, 5]
    v0=sqrt(2*9.8*(H-h));
    x=@(t) v0*cos(th)*t;
    y=@(t) h+v0*sin(th)*t-4.9*t.^2;
    T=(v0*sin(th)+sqrt(v0^2*sin(th)^2+2*9.8*h))/9.8;
    fplot(x,y,[0,T],'displayName',num2str(h))
end
grid on
legend('-DynamicLegend','location','best')
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Trayectorias')

Actividades

Se introduce

• La altura h de la placa inclinada, en el control titulado Altura
• El ángulo de tiro, θ, en el control titulado Angulo de tiro
• Se ha fijado la altura inicial de la partícula, H=10 m

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se observa la caída vertical de la partícula desde la posición inicial H, hasta que impacta en la placa inclinada situada a una altura h

Se representa la taryectoria de la partícula que rebota hasta que impacta sobre el eje X

Una rampa

Se lanza un proyectil de masa m con velocidad v_p desde la base de un plano inclinado de longitud l y ángulo θ.

El proyectil desliza sin rozamiento, alcanzando el punto más alto de la rampa con velocidad v₀. Aplicando el principio de conservación de la energía

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{2}m{v}_p^2=\frac{1}{2}m{v}_0^2+mgh\\ v_0=\sqrt{v_p^2-2gl\sin \theta }\end{array}}$

A continuación, el proyectil describe un tiro parabólico con velocidad de disparo v₀ y ángulo de tiro θ. La posición del proyectil respecto al sistema de referencia OXY es

${\displaystyle \{\begin{array}{l}x=v_0\cos \theta ·t\\ y=l\sin \theta +v_0\sin \theta ·t-\frac{1}{2}g{t}^2\end{array}}$

El tiempo de vuelo (y=0) es

${\displaystyle T=\frac{v_0\sin \theta +\sqrt{{\left(v_0\sin \theta \right)}^2+2gl\sin \theta }}{g}}$

El alcance horizontal es

${\displaystyle \begin{array}{l}R=v_0\cos \theta ·T=\frac{\cos \theta }{g}{v}_0\left(v_0\sin \theta +\sqrt{{\left(v_0\sin \theta \right)}^2+v_p^2-v_0^2}\right)\\ R=\frac{\cos \theta }{g}{v}_0\left(v_0\sin \theta +\sqrt{v_p^2-v_0^2{\cos }^2\theta }\right)\end{array}}$

El alcance horizontal es función de la velocidad de disparo v₀, que a su vez, es función de la longitud de la rampa l

El alcance es máximo

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{dR}{dl}=\frac{dR}{d{v}_0}\frac{d{v}_0}{dl}=\left\{\frac{\cos \theta }{g}\left(v_0\sin \theta +\sqrt{v_p^2-v_0^2{\cos }^2\theta }\right)+\frac{\cos \theta }{g}{v}_0\left(\sin \theta -\frac{v_0{\cos }^2\theta }{\sqrt{v_p^2-v_0^2{\cos }^2\theta }}\right)\right\}\frac{d{v}_0}{dl}=\\ \frac{\cos \theta }{g}\left\{\frac{2v_0\sin \theta \sqrt{v_p^2-v_0^2{\cos }^2\theta }+v_p^2-2v_0^2{\cos }^2\theta }{\sqrt{v_p^2-v_0^2{\cos }^2\theta }}\right\}\frac{-gl\sin \theta }{\sqrt{v_p^2-2gl\sin \theta }}=0\\ \frac{dR}{dl}=\mathrm{0,}\{\begin{array}{l}\cos \theta \sin \theta =\frac{1}{2}\sin \left(2\theta \right)=0\\ 2v_0\sin \theta \sqrt{v_p^2-v_0^2{\cos }^2\theta }+v_p^2-2v_0^2{\cos }^2\theta =0\end{array}\end{array}}$

La derivada dR/dl es nula para θ=π/2, una rampa vertical, que no tiene sentido

La derivada es también nula cuando

${\displaystyle \begin{array}{l}2v_0\sin \theta \sqrt{v_p^2-v_0^2{\cos }^2\theta }=2v_0^2{\cos }^2\theta -v_p^2\\ 4v_0^2{\sin }^2\theta \left(v_p^2-v_0^2{\cos }^2\theta \right)=4v_0^4{\cos }^4\theta +v_p^4-4v_0^2{v}_p^2{\cos }^2\theta \\ v_p^4-4v_0^2{v}_p^2+4v_0^4{\cos }^2\theta =0\\ v_p^2=\frac{4v_0^2\pm \sqrt{16v_0^4-16v_0^4{\cos }^2\theta }}{2}=2v_0^2\left(1\pm \sin \theta \right)\end{array}}$

La solución correcta es

${\displaystyle v_p^2=2v_0^2\left(1-\sin \theta \right),v_0^2=\frac{v_p^2}{2\left(1-\sin \theta \right)}}$

La otra, con signo +, no cumple la ecuación original

${\displaystyle 2v_0\sin \theta \sqrt{v_p^2-v_0^2{\cos }^2\theta }=2v_0^2{\cos }^2\theta -v_p^2}$

La longitud l_m de la rampa que produce alcance R máximo es

${\displaystyle \begin{array}{l}{v}_0^2=v_p^2-2gl\sin \theta \\ \frac{v_p^2}{2\left(1-\sin \theta \right)}=v_p^2-2g{l}_m\sin \theta \\ l_m=\frac{v_p^2}{4g}\frac{1-2\sin \theta }{\sin \theta \left(1-\sin \theta \right)}\end{array}}$

Representamos la función

${\displaystyle f\left(\theta \right)=\frac{1-2\sin \theta }{\sin \theta \left(1-\sin \theta \right)}}$

f=@(x) (1-2*sin(x))./(sin(x).*(1-sin(x)));
fplot(f, [10*pi/180,40*pi/180])
grid on
set(gca,'XTick',0:pi/12:pi/6)
set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/12','\pi/6'})
xlabel('\theta')
ylabel('f(\theta)')
title('Longitud de la rampa')

En la gráfica observamos que l_m≤0 para θ>π/6 (30°). La rampa solamente tiene algún efecto para ángulos de tiro θ<30°

El alcance máximo es

${\displaystyle \begin{array}{l}R=\frac{\cos \theta }{g}{v}_0\left(v_0\sin \theta +\sqrt{v_p^2-v_0^2{\cos }^2\theta }\right)=\frac{\cos \theta }{g}\left(v_0^2\sin \theta +\sqrt{v_p^2{v}_0^2-v_0^4{\cos }^2\theta }\right)\\ R_m=\frac{\cos \theta }{g}\left(\frac{v_p^2}{2\left(1-\sin \theta \right)}\sin \theta +\sqrt{v_p^2\frac{v_p^2}{2\left(1-\sin \theta \right)}-\frac{v_p^4}{4{\left(1-\sin \theta \right)}^2}{\cos }^2\theta }\right)=\\ \frac{\cos \theta }{g}{v}_p^2\left(\frac{\sin \theta }{2\left(1-\sin \theta \right)}+\sqrt{\frac{1}{2\left(1-\sin \theta \right)}-\frac{{\cos }^2\theta }{4{\left(1-\sin \theta \right)}^2}}\right)=\frac{\cos \theta }{g}{v}_p^2\left(\frac{\sin \theta }{2\left(1-\sin \theta \right)}+\frac{1}{2}\right)\\ R_m=\frac{v_p^2}{g}\frac{\cos \theta }{2\left(1-\sin \theta \right)}\end{array}}$

El alcance sin rampa (v_p es la velocidad de disparo y θ el ángulo de tiro)

${\displaystyle R=\frac{v_p^2}{g}\sin \left(2\theta \right)}$

Representamos las funciones

${\displaystyle \begin{array}{l}f\left(\theta \right)=\frac{\cos \theta }{2\left(1-\sin \theta \right)}\\ g\left(\theta \right)=\sin \left(2\theta \right)\end{array}}$

f=@(x) cos(x)./(2*(1-sin(x)));
hold on
fplot(f, [0,pi/6])
g=@(x) sin(2*x);
fplot(g, [0,pi/6])
hold off
grid on
set(gca,'XTick',0:pi/12:pi/6)
set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/12','\pi/6'})
legend('con rampa','sin rampa','location','best')
xlabel('\theta')
ylabel('R')
title('Alcance')

Los disparos con rampa son ventajosos para ángulos de la rampa θ<30°

Un muelle comprimido

Supongamos que disponemos de un dispositivo para lanzar proyectiles tal como se muestra en la figura. Una bola de masa m comprime un muelle elástico de constante k tal como se aprecia a la izquierda de la figura. Cuando se libera la bola, incrementa su velocidad hasta que el muelle recupera su longitud l sin deformar (a la derecha de la figura).

Si despreciemos el rozamiento, aplicamos el principio de conservación de la energía para calcular la velocidad final v₀ de la bola. La energía potencial elástica almacenada en el muelle, se convierte en energía potencial correspondiente a la altura lsinθ y en energía cinética

${\displaystyle \frac{1}{2}k{l}^2=mgl\sin \theta +\frac{1}{2}m{v}_0^2}$

El alcance de un proyectil que parte del origen con velocidad v₀, haciendo un ángulo θ con la horizontal es

${\displaystyle \begin{array}{l}X=\frac{v_0^2\sin \left(2\theta \right)}{g}\\ X=l\left(\frac{kl}{mg}-2\sin \theta \right)\sin \left(2\theta \right)=l\left(f-2\sin \theta \right)\sin \left(2\theta \right)\end{array}}$

donde f=kl/mg es el cociente entre la máxima fuerza que ejerce el muelle y el peso.

Demostramos que el alcance máximo se obtiene para el ángulo θ_m=45°. En este caso, la velocidad inicial v₀ depende del ángulo θ, por lo que el alcance máximo ya no se produce para esta ángulo sino para otro menor.

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{dX}{d\theta }=-2x\cos \theta ·\sin \left(2\theta \right)+2x\left(f-2\sin \theta \right)\cos \left(2\theta \right)=0\\ -\cos \theta ·\sin \left(2\theta \right)+\left(f-2\sin \theta \right)\cos \left(2\theta \right)=0\end{array}}$

Dado f, resolvemos la ecuación transcendente utilizando la función fzero de MATLAB. Denominamos θ_m a la raíz de dicha ecuación

Representamos el θ_m en función de f. Observamos que cuando f se hace grande, θ_m tiende hacia 45°. El peso del proyectil mg afecta al alcance X y tiene poco efecto cuando es pequeño en comparación con la máxima fuerza kl que ejerce el muelle.

ff=linspace(0,10,50);
th=zeros(1,length(ff));
i=1;
for f=ff
    g=@(x) cos(2*x)*(f-2*sin(x))-sin(2*x)*cos(x);
    th(i)=fzero(g,[0,pi/4]);
    i=i+1;
end
plot(ff,th)
set(gca,'YTick',0:5*pi/180:pi/4)
set(gca,'YTickLabel',{'0','5','10','15','20','25','30','35','40','45'})
xlabel('f')
ylabel('\theta_m')
grid on
title('Angulo óptimo de disparo')

Disparo desde lo alto de una esfera

Desde lo alto de una esfera de radio R, se dispara un proyectil con velocidad inicial v₀ haciendo un ángulo θ con la horizontal. Vamos a determinar el punto de impacto del proyectil sobre la esfera si es que existe.

Situamos el origen del sistema de referencia en el centro de la esfera, la ecuación de la circunferencia de radio R es

${\displaystyle x^2+y^2=R^2}$

La ecuación de la trayectoria del proyectil es

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}x=v_0\cos \theta ·t\\ y=R+v_0\sin \theta ·t-\frac{1}{2}g{t}^2\end{array}\\ y=R+x\tan \theta -\frac{1}{2}g\frac{x^2}{v_0^2{\cos }^2\theta }\end{array}}$

Resolvemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

${\displaystyle \begin{array}{l}{x}^2+{\left(R+x\tan \theta -\frac{1}{2}g\frac{x^2}{v_0^2{\cos }^2\theta }\right)}^2=R^2\\ \frac{x^2}{{\cos }^2\theta }+\frac{1}{4}{g}^2\frac{x^4}{v_0^4{\cos }^4\theta }+2Rx\tan \theta -Rg\frac{x^2}{v_0^2{\cos }^2\theta }-g\frac{x^3\tan \theta }{v_0^2{\cos }^2\theta }=0\\ \frac{1}{4}{g}^2\frac{x^3}{v_0^4{\cos }^4\theta }+2R\tan \theta +\left(1-\frac{Rg}{v_0^2}\right)\frac{x}{{\cos }^2\theta }-g\frac{x^2\tan \theta }{v_0^2{\cos }^2\theta }=0\\ g^2{x}^3+8R{v}_0^4\sin \theta {\cos }^3\theta +4v_0^2\left(v_0^2-Rg\right){\cos }^2\theta ·x-4v_0^{2}g\sin \theta \cos \theta ·x^2=0\\ x^3-4\frac{v_0^2}{g}\sin \theta \cos \theta ·x^2+4\frac{v_0^2}{g^2}\left(v_0^2-Rg\right){\cos }^2\theta ·x+8R\frac{v_0^4}{g^2}\sin \theta {\cos }^3\theta =0\end{array}}$

Obtenemos una ecuación cúbica, x³+ax²+bx+c=0

${\displaystyle \{\begin{array}{l}a=-4\frac{v_0^2}{g}\sin \theta \cos \theta \\ b=4\frac{v_0^2}{g^2}\left(v_0^2-Rg\right){\cos }^2\theta \\ c=8R\frac{v_0^4}{g^2}\sin \theta {\cos }^3\theta \end{array}}$

Ejemplo

• Velocidad de disparo, v₀=2.5 m/s
• Angulo de tiro, θ=π/4 (45°)
• Radio de la esfera, R= 2 m

function proyectil
    v0=2.5; %velocidad de disparo
    th=pi/4;  %ángulo de tiro
    Re=2; %radio de la esfera
    %raíces
    a=-4*v0^2*sin(th)*cos(th)/9.8;
    b=4*v0^2*(v0^2-9.8*Re)*cos(th)^2/9.8^2;
    c=8*Re*v0^4*sin(th)*cos(th)^3/9.8^2;
    rr=raices_3([1,a,b,c]);
    hold on
    ang=(0:360)*pi/180;
    xx=Re*cos(ang);
    yy=Re*sin(ang);
    fill(xx,yy,'c')
    plot(xx,yy,'k')
    y=@(x) Re+x*tan(th)-4.9*x.^2/(v0*cos(th))^2;
    fplot(y,[0,1.8],'r')
    hold off
    axis equal
    grid on
    xlabel('x')
    ylabel('y')
    title('Tiro parabólico')
    disp([rr, y(rr)])

    function x = raices_3(p)
        Q=(p(2)^2-3*p(3))/9;
        R=(2*p(2)^3-9*p(2)*p(3)+27*p(4))/54;
        x=zeros(3,1); %reserva memoria para un vector de tres elementos
        if (R*R)<(Q^3)
            tetha=acos(R/sqrt(Q^3));
            x(1)=-2*sqrt(Q)*cos(tetha/3)-p(2)/3;
            x(2)=-2*sqrt(Q)*cos((tetha+2*pi)/3)-p(2)/3;
            x(3)=-2*sqrt(Q)*cos((tetha-2*pi)/3)-p(2)/3;
        else
            A=-sign(R)*nthroot(abs(R)+sqrt(R*R-Q^3),3);
            if A==0
                B=0;
            else
                B=Q/A;
            end
            x(1)=(A+B)-p(2)/3;
            x(2)=-(A+B)/2-p(2)/3+(sqrt(3)*(A-B)/2)*sqrt(-1); %mejor que i
            x(3)=-(A+B)/2-p(2)/3-(sqrt(3)*(A-B)/2)*sqrt(-1);
        end
    end
end

La ecuación cúbica nos da tres raíces reales, de las cuales dos corresponden a la intersección de la parábola con la circunferencia

El proyectil impacta en la superficie de la esfera en la posición, x=0.7644 m, y=1.8481 m

   -1.2255   -1.5805
    1.7366   -0.9921
    0.7644    1.8481

Si aumentamos la velocidad de disparo v₀=3.2 m/s el proyectil ya no impacta en la superficie de la esfera

La ecuación cúbica nos da una raíz real, otra compleja y su corespondiente conjugada

 -1.5050 + 0.0000i  -1.3171 + 0.0000i
   2.0025 - 0.3777i   0.9086 + 0.8324i
   2.0025 + 0.3777i   0.9086 - 0.8324i

Como podemos leer en la página titulada Raíces de una ecuación (I)

Para calcular las raíces de una ecuación cúbica, x³+ax²+bx+c=0. Sean

${\displaystyle Q=\frac{a^2-3b}{9}R=\frac{2a^3-9ab+27c}{54}}$

• Si R²<Q³ entonces la ecuación tiene tres raíces reales

• En caso contrario, R²≥Q³ tenemos una raíz real, otra compleja y su correspondiente conjugada.

Vamos a comprobar que cuando R²=Q³, la trayectoria del proyectil es tangente a la esfera

Utilizamos Math Symbolic de MATLAB para realizar las tediosas operaciones necesarias para obtener una expresión R²-Q³=0, para ello utilizamos las funciones expand y simplify

Para ello asignamos nuevos nombres a las variables en el código: el ángulo de tiro θ es th, la velocidad de disparo v₀ es v, la aceleración de la gravedad g, el radio de la esfera R

syms th v g R;
a=-4*v^2*sin(th)*cos(th)/g;
b=4*v^2*(v^2-g*R)*cos(th)^2/g^2;
c=8*R*v^4*sin(th)*cos(th)^3/g^2;
z=expand((2*a^3-9*a*b+27*c)^2/54^2-(a^2-3*b)^3/9^3);
simplify(z)

Utilizamos la función latex en combinación con el programa MathType para presentar los resltados

>> latex(ans)

${\displaystyle \begin{array}{l}-\frac{16v^6\cos {\left(\text{th}\right)}^6\left(4R^3{g}^3+13R^2{g}^2{v}^2\sin {\left(\text{th}\right)}^2-12R^2{g}^2{v}^2+32Rg{v}^4\sin {\left(\text{th}\right)}^4-44Rg{v}^4\sin {\left(\text{th}\right)}^2+12Rg{v}^4+4v^6\sin {\left(\text{th}\right)}^2-4v^6\right)}{27g^6{}^{\prime }}=0\\ 4R^3{g}^3+13R^2{g}^2{v}^2\sin {\left(\text{th}\right)}^2-12R^2{g}^2{v}^2+32Rg{v}^4\sin {\left(\text{th}\right)}^4-44Rg{v}^4\sin {\left(\text{th}\right)}^2+12Rg{v}^4+4v^6\sin {\left(\text{th}\right)}^2-4v^6=0\\ -4\left(1-{\sin }^2\theta \right)v^6+4Rg\left(8{\sin }^4\theta -11{\sin }^2\theta +3\right)v^4+R^2{g}^2\left(13{\sin }^2\theta -12\right)v^2+4R^3{g}^3=0\end{array}}$

Obtenemos la ecuación de tercer grado en z=v²

${\displaystyle v_0^6-Rg\frac{8{\sin }^4\theta -11{\sin }^2\theta +3}{{\cos }^2\theta }{v}_0^4-R^2{g}^2\frac{13{\sin }^2\theta -12}{4{\cos }^2\theta }{v}_0^2-R^3{g}^3\frac{1}{{\cos }^2\theta }=0}$

function proyectil_1
    th=pi/4;  %ángulo de tiro
    R=2;%radio de la esfera
    a=-R*9.8*(8*sin(th)^4-11*sin(th)^2+3)/cos(th)^2;
    b=-(9.8*R)^2*(13*sin(th)^2-12)/(4*cos(th)^2);
    c=-(9.8*R)^3/cos(th)^2;
    rr=raices_3([1,a,b,c]);
    disp(rr)
    function x = raices_3(p)
        Q=(p(2)^2-3*p(3))/9;
        R=(2*p(2)^3-9*p(2)*p(3)+27*p(4))/54;
        x=zeros(3,1); %reserva memoria para un vector de tres elementos
        if (R*R)<(Q^3)
            tetha=acos(R/sqrt(Q^3));
            x(1)=-2*sqrt(Q)*cos(tetha/3)-p(2)/3;
            x(2)=-2*sqrt(Q)*cos((tetha+2*pi)/3)-p(2)/3;
            x(3)=-2*sqrt(Q)*cos((tetha-2*pi)/3)-p(2)/3;
        else
            A=-sign(R)*nthroot(abs(R)+sqrt(R*R-Q^3),3);
            if A==0
                B=0;
            else
                B=Q/A;
            end
            x(1)=(A+B)-p(2)/3;
            x(2)=-(A+B)/2-p(2)/3+(sqrt(3)*(A-B)/2)*sqrt(-1); %mejor que i
            x(3)=-(A+B)/2-p(2)/3-(sqrt(3)*(A-B)/2)*sqrt(-1);
        end
    end
end

El cuadrado de la velocidad de disparo v₀ es 10.8566 m/s

  10.8566 + 0.0000i
 -15.2283 +33.9881i
 -15.2283 -33.9881i

Volvemos al script inicial y modificamos el valor de la variable v0

function proyectil
    v0=sqrt(10.8565); %velocidad de disparo
    th=pi/4;  %ángulo de tiro
    Re=2; %radio de la esfera
    %raíces
    a=-4*v0^2*sin(th)*cos(th)/9.8;
    b=4*v0^2*(v0^2-9.8*Re)*cos(th)^2/9.8^2;
    c=8*Re*v0^4*sin(th)*cos(th)^3/9.8^2;
    rr=raices_3([1,a,b,c]);
    hold on
    ang=(0:360)*pi/180;
    xx=Re*cos(ang);
    yy=Re*sin(ang);
    fill(xx,yy,'c')
    plot(xx,yy,'k')
    y=@(x) Re+x*tan(th)-4.9*x.^2/(v0*cos(th))^2;
    fplot(y,[0,2.4],'r')
    hold off
    axis equal
    grid on
    xlabel('x')
    ylabel('y')
    title('Tiro parabólico')
    disp([rr, y(rr)])

    function x = raices_3(p)
        Q=(p(2)^2-3*p(3))/9;
        R=(2*p(2)^3-9*p(2)*p(3)+27*p(4))/54;
        x=zeros(3,1); %reserva memoria para un vector de tres elementos
        if (R*R)<(Q^3)
            tetha=acos(R/sqrt(Q^3));
            x(1)=-2*sqrt(Q)*cos(tetha/3)-p(2)/3;
            x(2)=-2*sqrt(Q)*cos((tetha+2*pi)/3)-p(2)/3;
            x(3)=-2*sqrt(Q)*cos((tetha-2*pi)/3)-p(2)/3;
        else
            A=-sign(R)*nthroot(abs(R)+sqrt(R*R-Q^3),3);
            if A==0
                B=0;
            else
                B=Q/A;
            end
            x(1)=(A+B)-p(2)/3;
            x(2)=-(A+B)/2-p(2)/3+(sqrt(3)*(A-B)/2)*sqrt(-1); %mejor que i
            x(3)=-(A+B)/2-p(2)/3-(sqrt(3)*(A-B)/2)*sqrt(-1);
        end
    end
end

El proyectil roza la superficie de la esfera en la posición, x=1.83 m, y=0.79 m

   -1.4563   -1.3708
    1.8384    0.7876
    1.8336    0.7988

Referencias

Yuji Kajiyama. Projectile Motion from Free Fall. Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol. 19, No. 4, Dec., 2025

Yuji Kajiyama. Maximizing the Range of a Projectile from Takeoff Ramp. Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol. 14, No. 2, June 2020

David L. Herrick. The Effect of Projectile Weight on the Optimum Launch Angle and Range. The Physics Teacher. Vol. 56. December 2018. pp. 584-585

WU Shou-chong, XIAO Fei. Application of univariate cubic equations in solving physics problems. College Physics. 2026, 45 (1): 25