Una partícula desliza en el interior de un aro que rueda

En la figura, se muestra una partícula de masa m en el interior de un aro de masa M y radio R. La posición del centro del aro es x y la posición de la partícula dentro del aro viene dada por el ángulo θ.

En el instante t, las coordenadas de la partícula son (x+Rsinθ, R-Rcosθ) y las componentes de su velocidad, se obtienen derivando respecto del tiempo.

v { v x = dx dt +Rcosθ dθ dt v y =Rsinθ dθ dt

Energía del sistema

La energía cinética del sistema se compone de dos términos:

La energía potencial del aro no cambia. La energía potencial de la partícula es Ep=mgR(1-cosθ), tomando el plano horizontal como nivel cero.

La energía total E=Ek1+Ek2+Ep del sistema se conserva.

E= 1 2 ( m+2M ) ( dx dt ) 2 + 1 2 m R 2 ( dθ dt ) 2 +mR dθ dt dx dt cosθ+mgR( 1cosθ )

Ecuaciones del movimiento

La lagrangiana L=Ek1+Ek2-Ep

L= 1 2 ( m+2M ) ( dx dt ) 2 + 1 2 m R 2 ( dθ dt ) 2 +mR dθ dt dx dt cosθmgR( 1cosθ )

Observamos que la lagrangiana L no depende de x

d dt ( L x ˙ )=0 L x ˙ =cte

Una magnitud se mantiene constante

( m+2M ) dx dt +mRcosθ dθ dt =cte

En el instante t=0, el aro está en reposo y la partícula se suelta en el interior del aro en la posición angular θ0, entonces, dx/dt=0 y dθ/dt=0, por lo que la constante es cero

( m+2M ) dx dt +mRcosθ dθ dt =0

La segunda ecuación del movimiento se obtiene

d dt ( L θ ˙ ) L θ =0

El resultado es

R d 2 θ d t 2 +cosθ d 2 x d t 2 +gsinθ=0

Derivamos la primera ecuación diferencial respecto del tiempo,

( m+2M ) d 2 x d t 2 +mRcosθ d 2 θ d t 2 mRsinθ ( dθ dt ) 2 =0

Entre estas dos últimas ecuaciones diferenciales, eliminamos d2x/dt2 y despejamos d2θ/dt2

Tenemos que resolver por procedimientos numéricos, el sistema de dos ecuaciones diferenciales

{ ( m sin 2 θ+2M )R d 2 θ d t 2 +mRsinθcosθ ( dθ dt ) 2 +( m+2M )gsinθ=0 ( m+2M ) dx dt +mRcosθ dθ dt =0

con las condiciones iniciales siguientes: en el instante t=0, θ=θ0, dθ/dt=0, x=0.

La segunda ecuación, nos relaciona el desplazamiento del centro del aro x y la posición angular de de la partícula θ en el interior del aro

dx= mR m+2M cosθ·dθ

Integramos sabiendo que para θ=θ0, x=0

x= mR m+2M θ 0 θ cosθ·dθ x= mR m+2M ( sin θ 0 sinθ )

Por ejemplo, para R=1, m=1, M=2.5. Situamos la partícula en la posición angular θ0=π/3 (60°) y la soltamos, cuando pasa por θ=0, entonces la posición del centro del aro es, x=0.14, tal como podemos apreciar en el programa interactivo, al final de la página

Aproximaciones

Cuando la posición angular de la partícula dentro del aro θ es pequeña hacemos las siguientes aproximaciones, cosθ≈1 y sinθ≈θ, sin2θ≈0, θ·(dθ/dt)2≈0. La primera ecuación diferencial se convierte en

d 2 θ d t 2 + m+2M 2M g R θ=0

que es la ecuación diferencial de un Movimiento Armónico Simple de frecuencia angular ω y periodo P=2π/ω

ω 2 = m+2M 2M g R

La solución de esta ecuación diferencial con las condiciones iniciales especificadas: t=0, θ=θ0, dθ/dt=0, es

θ=θ0cos(ωt)

La segunda ecuación diferencial se escribe

dx dt = mR m+2M ω· θ 0 sin( ωt )

Integramos esta ecuación, con la condición inicial, t=0, x=0

x= mR m+2M ω· θ 0 0 t sin( ωt )dt= mR m+2M θ 0 ( 1cos( ωt ) )

Solución numérica

Consideremos el sistema formado por

La partícula se sitúa en la posición angular θ0=π/12 (15°) en el instante inicial t=0. Se representa la posición angular θ de la partícula en el interior del aro en función del tiempo t y la posición del centro del aro x en función del tiempo

m=1; %masa partícula
M=2.5; %masa del aro
R=1; %radio del aro
angulo=pi/12;  %posición angular de la partícula
w=sqrt((m+2*M)*9.8/(2*M*R)); %frecuencia angular
tFin=4*pi/w; %dos oscilaciones
%x(2) es vy, x(1) es y, 
x0=[angulo,0,0]; %[y, vy, x]
fg=@(t,x) [x(2);(-(m+2*M)*9.8*sin(x(1))/R-m*sin(x(1))*cos(x(1))*x(2)^2)
/(m*sin(x(1))^2+2*M);-m*R*cos(x(1))*x(2)/(m+2*M)];
[t,x]=ode45(fg,[0,tFin],x0);

subplot(2,1,1)
hold on
plot(t, x(:,1))
fplot(@(t) angulo*cos(w*t),[0,tFin])
hold off
xlabel('t')
ylabel('\theta');
grid on
legend('exacto','aproximado','location','south')
title('Posición angular')

subplot(2,1,2)
hold on
plot(t, x(:,3))
fplot(@(t) m*R*angulo*(1-cos(w*t))/(m+2*M),[0,tFin])
hold off
xlabel('t')
ylabel('x');
legend('exacto','aproximado','location','north')
grid on
title('Posición del centro del aro')

En la representación gráfica, vemos que cuando la posición angular de la partícula θ0 es pequeña, la solución numérica de las ecuaciones del movimiento se ajusta a sus aproximaciones analíticas

Comprobamos el principio de conservación de la energía, la energía inicial es E=mgR(1-cosθ0)

>>m*9.8*R*(1-cos(angulo))
ans =   0.3339

Calculamos la energía en cada instante, la variable vx es dx/dt

>> vx=-m*R*cos(x(:,1)).*x(:,2)/(m+2*M);
>> E=(m+2*M)*vx.^2/2+m*(R*x(:,2)).^2/2+m*R*x(:,2).*vx.*cos(x(:,1))
+m*9.8*R*(1-cos(x(:,1)))
E =
    0.3339
    0.3339
    0.3339
    ......
    0.3336

Periodo

La energía es constante e igual a la energía inicial

mgR( 1cos θ 0 )= 1 2 ( m+2M ) ( dx dt ) 2 + 1 2 m R 2 ( dθ dt ) 2 +mR dθ dt dx dt cosθ +mgR( 1cosθ )

La lagrangiana L no depende de la variable x, por tanto, hay otra constante del movimiento

( m+2M ) dx dt +mRcosθ dθ dt =0

Despejamos dx/dt en la segunda ecuación y sustituimos en la primera. Despejamos dθ/dt

dθ dt = 2g R m+2M m sin 2 θ+2M ( cosθcos θ 0 )

Integramos la variable θ entre 0 y θ0 para obtener un cuarto de periodo

R 2g( m+2M ) 0 θ 0 m sin 2 θ+2M cosθcos θ 0 dθ= P 4 P=2 2R g( m+2M ) 0 θ 0 m sin 2 θ+2M cosθcos θ 0 dθ

La función integral de MATLAB calcula, empleando procedimientos numéricos, la integral definida

m=1; %masa partícula
M=4; %masa del aro
R=1; %radio del aro
angulo=pi/3;  %posición inicial

f=@(x) sqrt((m*sin(x).^2+2*M)./(cos(x)-cos(angulo)));
P=2*sqrt(2*R/(9.8*(m+2*M)))*integral(f,0, angulo);
disp(P)
    2.0831

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Observamos el movimiento de la partícula y del aro. Se proporciona los valores:

El lector puede medir el periodo de la oscilación utilizando los botones Pausa || y Paso a paso >|

El programa calcula en cada instante el tanto por ciento de error relativo en la energía o el cociente

| E E 0 E 0 |·100

donde E es la energía del sistema en cualquier instante t, y E0 es la energía inicial del sistema.

Este valor se proporciona en caracteres de color rojo en la parte derecha. Su valor debe ser siempre cero, o un valor muy pequeño lo que indica que la energía del sistema permanece constante y el programa realiza los cálculos correctamente.