El péndulo cicloidal
En la figura, las curvas de color azul son cicloides. En color rojo se muestra el péndulo oscilando entre ambas superficies. El hilo se apadpta a la superficie de la cicloide hasta el punto P, desde este punto hasta el extremo su forma es la de es un segumento de recta tangente a la cicliode en el punto P.
Vamos a determinar las coordendas de la masa puntual puntual m, para escribir las ecuaciones del movimiento y verificar que su periodo de oscilación es independiente de la amplitud.
La cicloide y su tangente en P
Las ecuaciones de la cicloide son
x=r(θ-sinθ)
y=r(cosθ-1)
Dando valores al parámetro θ entre 0 y 2π representamos el arco completo de color azul en la figura. El vértice de la cicloide se obtiene para θ=π, sus coordenadas son (πr, -2r)
La tangente a la cicloide en un punto P, forma un ángulo φ con la horizontal. El parámetro θ y el ángulo φ están relacionados
r=1; x=@(t) r*(t-sin(t)); y=@(t) r*(cos(t)-1); hold on fplot(x,y,[0,2*pi]) t=pi+pi/3; %posición del punto P x0=r*(t-sin(t)); y0=r*(cos(t)-1); plot(x0,y0,'o', 'markersize',4,'markeredgecolor','r', 'markerfacecolor','r') phi=3*pi/2+t/2; %tangente a la cicliode en P f=@(x) tan(phi)*(x-x0)+y0; fplot(f,[x0-0.5,x0+0.5], 'color','r') line([pi*r,x0],[0,y0],'lineStyle','--') hold off axis equal grid on xlabel('x'); ylabel('y') title('Cicloide')
Longitud del arco de cicloide entre O y P
En un instante dado t, vamos a determinar la longitud l1 del hilo entre el punto de suspensión O y P.
Posición del extremo del péndulo
Las coordendas (x1, y1) del punto P de la cicloide son
x1=r(θ1-sinθ1)
y1=r(cosθ1-1)
La longitud del segmento entre P y el extremo de la cuerda es l-l1 y hace un ángulo φ1 con la horizontal, que es el ángulo que forma la recta tangente a la cicloide en el punto P con la horizontal, tal como puede verse en la primera figura
Las coordenadas de la masa puntual m son
Prescindiendo de subíndices, la posición (x,y) de la masa puntual m, depende de un parámetro θ de la siguiente manera
Derivando con respecto al tiempo, obtenemos las componentes de la velocidad
La energía cinética T es
La energía potencial es V=mgy
Ecuación del movimiento
Calculamos la lagrangiana L=T-V y la ecuación del movimiento
Resolvemos la ecuación diferencial por procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales: t=0; θ=θ0, dθ/dt=0.
r=1; %cicloide L=2*r; %longitud del péndulo x0=[pi/3,0]; %x(1)=theta, x(2)=dtheta/dt f=@(t,x) [x(2); ((r*r*sin(x(1))+r*(L-4*r)*sin(x(1)/2)/2)*x(2)^2 -(9.8*r*sin(x(1))+9.8*(L-4*r)*sin(x(1)/2)/2))/(2*r*r*(1+cos(x(1)))+ (L-4*r)*(L-4*r)/4+2*r*(L-4*r)*cos(x(1)/2))]; tspan=[0,10]; [t,x]=ode45(f,tspan,x0); plot(t,x(:,1)) grid on xlabel('t') ylabel('\theta'); title('Péndulo') % energía total en=(r^2*(1+cos(x(:,1)))+(L-4*r)^2/8+r*(L-4*r)*cos(x(:,1)/2)).*x(:,2).^2 -9.8*r*(cos(x(:,1))+3)-9.8*(L-4*r)*cos(x(:,1)/2);
Comprobamos en la última línea de este código, que la energía T+V permanece constante en todos los puntos de la trayectoria
>> en en = -17.3259 -17.3259 -17.3259 -17.3259 ....
Con Data cursor, en el menú de iconos de la ventana gráfica, medimos el periodo del péndulo para diferentes condiciones iniciales, modificando el parámetro θ0 o la longitud del péndulo que en este caso ha sido 2r
Caso particular l=4r
El caso particular más interesante se produce cuando la longitud del péndulo es l=4r
Las coordendas (x,y) de masa puntual m son
La energía cinética T es
La energía potencial de la masa puntual es V=mgy=-mgr(3+cosθ)
Ecuación del movimiento
r=1; %cicloide x0=[pi/3,0]; %x(1)=theta, x(2)=dtheta/dt f=@(t,x) [x(2);(x(2)^2-9.8/r)*tan(x(1)/2)/2]; tspan=[0,10]; [t,x]=ode45(f,tspan,x0); plot(t,x(:,1)) grid on xlabel('t') ylabel('\theta'); title('Péndulo') %la energía total es constante en=r^2*(1+cos(x(:,1))).*x(:,2).^2-9.8*r*(3+cos(x(:,1)));
Comprobamos en la última línea de este código, que la energía T+V permanece constante en todos los puntos de la trayectoria
>> en >> en -34.3000 -34.3000 -34.3000 -34.3000 ....
Periodo del péndulo, l=4r
Calculamos mediante la expresión de la energía el periodo del péndulo para este caso particular de un péndulo de longitud l=4r
La energía total de la masa puntual es constante e igual a la inicial cuando se encuentra en uno de los extremos de la oscilación, el parámetro θ=θ0 y dθ/dt=0
El tiempo t que tarda el péndulo en describir un cuarto de oscilación es el que le lleva a la masa puntual a desplazarse desde el centro θ=0 hasta el extremo θ=θ0
El periodo P es cuatro veces este tiempo
Para calcular la integral, hacemos la sustitución z=(cosθ-cosθ0)/(1-cosθ0)
Para calcular esta última integral, completamos cuadrados en el denominador
>> syms x; >> int('1/sqrt(x-x^2)',x,0,1) ans =pi
El periodo P es constante e independiente de la amplitud
Para r=1, el periodo P=4.0142 s
Actividades
Se introduce
-
El parámetro θ0 en el control titulado Parámetro
-
La longitud l del péndulo en unidades del parámetro r de la cicloide en el control titulado Longitud
-
El valor del parámetro r=1 se ha fijado en el programa interactivo
Se pulsa el botón titulado Nuevo
El caso más interesante se produce cuando l=4r
El programa resuelve la ecuación diferencial por procedimientos numéricos, calcula en cada instante el tanto por ciento de error relativo en la energía o el cociente
donde E es la energía del sistema en cualquier instante t, y E0 es la energía inicial del sistema.
Este valor se proporciona en caracteres de color rojo en la parte inferior izquierda. Su valor debe ser siempre cero, o un valor muy pequeño lo que indica que la energía del sistema permanece constante y el programa realiza los cálculos correctamente.