Oscilaciones de una placa horizontal apoyada en dos rodillos que giran
Supongamos que el c.m. de la placa se desplaza x de la posición de equilibrio, hacia la derecha. Dibujamos las fuerzas que actúan sobre la placa y aplicamos las condiciones de equilibrio
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Equilibrio de las fueras en la dirección vertical
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El momento total respecto del cualquier punto debe ser cero. Si elegimos el punto de contacto de la placa con el rodillo derecho, como origen.
N1+N2=mg
donde N1 es la fuerza que ejerce el rodillo izquierdo y N2 es la fuerza que ejerce el rodillo derecho sobre la placa.
-N1·2d+mg·(d-x)=0
Despejamos N1 y N2 en este sistema de dos ecuaciones
Las fuerzas de rozamiento
Las fuerzas de rozamiento en el punto de contacto de los rodillos y la placa son f1=μ·N1 y f2=μ·N2 y sus direcciones son las del movimiento de las ruedas.
Para entender mejor el sentido de estas dos fuerzas, nos fijaremos que cuando un camión, que trasporta una caja de masa m sobre la plataforma, arranca, la fuerza de rozamiento fr=ma entre la caja y la plataforma hace que la caja permanezca en reposo sobre la plataforma, siempre que se cumpla que fr< μs·N.
Cuando la aceleración a del camión es tal que fr alcanza el valor máximo μs·N, la caja empieza a deslizar sobre la plataforma. La fuerza de rozamiento vale fr= μk·N. La aceleración del camión es a y la aceleración de la caja es ac=fr/m= μk·g. La aceleración de la caja respecto del conductor del camión es ac-a.
Ecuaciones del movimiento de la placa
Examinamos los distintos casos que pueden producirse.
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Las dos ruedas giran hacia dentro.
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Las ruedas giran hacia fuera
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Las ruedas giran en el mismo sentido, por ejemplo, hacia la derecha.
Las fuerzas de rozamiento f1 y f2 tienen los sentidos indicados en la figura. La fuerza horizontal que actúa sobre la placa es
f=f1-f2= μ·N1- μ·N2=-(μmg/d)·x
La fuerza f que actúa sobre la placa es proporcional a su desplazamiento x y de sentido contrario a éste. La ecuación diferencial del movimiento es
La placa describe un MAS de frecuencia angular ω2=μg/d, y de periodo P
La solución de esta ecuación diferencial es
x=A·sin(ωt+φ)
La amplitud A y la fase inicial φ se determinan a partir de las condiciones iniciales.
Las fuerzas de rozamiento f1 y f2 tienen los sentidos indicados en la figura. La fuerza horizontal que actúa sobre la placa es
f=f2-f1= μ·N2- μ·N1=(μmg/d)·x
La fuerza f que actúa sobre la placa es proporcional a su desplazamiento x, pero del mismo de sentido. La ecuación diferencial del movimiento es
Esta no es la ecuación de un MAS. La solución de esta ecuación diferencial es
x=A·exp(ωt)+B·exp(-ωt)
donde A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales
Las fuerzas de rozamiento f1 y f2 tienen los sentidos indicados en la figura. La fuerza horizontal que actúa sobre la placa es
f=f2+f1= μ·N2+ μ·N1=μmg
La fuerza f es constante, la aceleración de la placa es constante, su movimiento es uniformemente acelerado
La solución es
x=x0+v0·t+μgt2/2
donde x0 y v0 son la posición y la velocidad en el instante t=0.
Ejemplos
d=40 cm
μ=0.8
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Las ruedas giran en sentido contrario hacia dentro
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Las ruedas giran en sentido contrario hacia fuera
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Las ruedas giran en el mismo sentido
El periodo de las oscilaciones es
La amplitud se ha tomado igual a A=10 cm y la fase inicial φ=0. La posición del c.m. es
x=10·sin(4.43·t) cm
La velocidad es
v=dx/dt=A·ω·cos(ωt+φ)
En el instante inicial t=0, la posición inicial es x0=0 y la velocidad inicial es v0=10·4.43=44.3 cm/s
x=A·exp(ωt)+B·exp(-ωt)
v=dx/dt= A·ω·exp(ωt)-B·ω·exp(-ωt)
La naturaleza del movimiento depende de las condiciones iniciales.
Si las condiciones iniciales son tales que A=0, la placa tiende a la posición de equilibrio x=0, después de un tiempo teóricamente infinito. En el caso de que A no sea cero, x se incrementa con el tiempo sin límite, o mejor dicho, hasta que el borde de la placa alcanza a una de las ruedas o el c.m. de la placa sale fuera de la región comprendida entre las ruedas. En este último caso, la posición x=0, es de equilibrio inestable.
En la simulación, las condiciones iniciales se han elegido de modo que A=0.
Para t=0, x0=B, v0=-B·ω
La posición del c.m. en función del tiempo es
En la simulación, las condiciones iniciales, se han elegido de modo que para t=0, x0=0, v0=0, por lo que
El movimiento se detiene cuando el borde de la placa alcanza a una de las ruedas o el c.m. de la placa sale fuera de la región comprendida entre las ruedas.
Actividades
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Se establece la distancia 2d entre las dos ruedas en el control titulado Posición.
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El coeficiente de rozamiento μ, en el control titulado Coeficiente de rozamiento
Se elige el sentido del movimiento de las dos ruedas, activando una de las tres casillas
- Girando en sentido contrario, hacia dentro
- Girando en sentido contrario, hacia fuera
- Girando en el mismo sentido
Se pulsa el botón titulado Nuevo.
Se observa el movimiento de la placa.
Referencias
Metzger E. An unusual case of Simple Harmonic Motion. Am. J. Phys. 40, August 1972, pp. 1167-1168