Supongamos que el c.m. de la placa se desplaza x de la posición de equilibrio, hacia la derecha. Dibujamos las fuerzas que actúan sobre la placa y aplicamos las condiciones de equilibrio

1. Equilibrio de las fueras en la dirección vertical

N₁+N₂=mg

donde N₁ es la fuerza que ejerce el rodillo izquierdo y N₂ es la fuerza que ejerce el rodillo derecho sobre la placa.

2. El momento total respecto del cualquier punto debe ser cero. Si elegimos el punto de contacto de la placa con el rodillo derecho, como origen.

-N₁·2d+mg·(d-x)=0

Despejamos N₁ y N₂ en este sistema de dos ecuaciones

${\displaystyle N_1=mg\frac{d-x}{2d}{N}_2=mg\frac{d+x}{2d}}$

Las fuerzas de rozamiento

Las fuerzas de rozamiento en el punto de contacto de los rodillos y la placa son f₁=μ·N₁ y f₂=μ·N₂ y sus direcciones son las del movimiento de las ruedas.

Para entender mejor el sentido de estas dos fuerzas, nos fijaremos que cuando un camión, que trasporta una caja de masa m sobre la plataforma, arranca, la fuerza de rozamiento f_r=ma entre la caja y la plataforma hace que la caja permanezca en reposo sobre la plataforma, siempre que se cumpla que f_r< μ_s·N.

Cuando la aceleración a del camión es tal que f_r alcanza el valor máximo μ_s·N, la caja empieza a deslizar sobre la plataforma. La fuerza de rozamiento vale f_r= μ_k·N. La aceleración del camión es a y la aceleración de la caja es a_c=f_r/m= μ_k·g. La aceleración de la caja respecto del conductor del camión es a_c-a.

Ecuaciones del movimiento de la placa

Examinamos los distintos casos que pueden producirse.

1. Las dos ruedas giran hacia dentro.



Las fuerzas de rozamiento f₁ y f₂ tienen los sentidos indicados en la figura. La fuerza horizontal que actúa sobre la placa es

f=f₁-f₂= μ·N₁- μ·N₂=-(μmg/d)·x

La fuerza f que actúa sobre la placa es proporcional a su desplazamiento x y de sentido contrario a éste. La ecuación diferencial del movimiento es

${\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}+\frac{\mu g}{d}x=0}$

La placa describe un MAS de frecuencia angular ω²=μg/d, y de periodo P

${\displaystyle P=2\pi \sqrt{\frac{d}{\mu g}}}$

La solución de esta ecuación diferencial es

x=A·sin(ωt+φ)

La amplitud A y la fase inicial φ se determinan a partir de las condiciones iniciales.

2. Las ruedas giran hacia fuera



Las fuerzas de rozamiento f₁ y f₂ tienen los sentidos indicados en la figura. La fuerza horizontal que actúa sobre la placa es

f=f₂-f₁= μ·N₂- μ·N₁=(μmg/d)·x

La fuerza f que actúa sobre la placa es proporcional a su desplazamiento x, pero del mismo de sentido. La ecuación diferencial del movimiento es

${\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}-\frac{\mu g}{d}x=0}$

Esta no es la ecuación de un MAS. La solución de esta ecuación diferencial es

x=A·exp(ωt)+B·exp(-ωt)

donde A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales

3. Las ruedas giran en el mismo sentido, por ejemplo, hacia la derecha.



Las fuerzas de rozamiento f₁ y f₂ tienen los sentidos indicados en la figura. La fuerza horizontal que actúa sobre la placa es

f=f₂+f₁= μ·N₂+ μ·N₁=μmg

La fuerza f es constante, la aceleración de la placa es constante, su movimiento es uniformemente acelerado

${\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}=\mu g}$

La solución es

x=x₀+v₀·t+μgt²/2

donde x₀ y v₀ son la posición y la velocidad en el instante t=0.

Ejemplos

d=40 cm
μ=0.8

1. Las ruedas giran en sentido contrario hacia dentro

El periodo de las oscilaciones es

${\displaystyle P=2\pi \sqrt{\frac{0.4}{0.8·9.8}}=1.42\text{s}}$

La amplitud se ha tomado igual a A=10 cm y la fase inicial φ=0. La posición del c.m. es

x=10·sin(4.43·t) cm

La velocidad es

v=dx/dt=A·ω·cos(ωt+φ)

En el instante inicial t=0, la posición inicial es x₀=0 y la velocidad inicial es v₀=10·4.43=44.3 cm/s

2. Las ruedas giran en sentido contrario hacia fuera

x=A·exp(ωt)+B·exp(-ωt)

v=dx/dt= A·ω·exp(ωt)-B·ω·exp(-ωt)

La naturaleza del movimiento depende de las condiciones iniciales.

Si las condiciones iniciales son tales que A=0, la placa tiende a la posición de equilibrio x=0, después de un tiempo teóricamente infinito. En el caso de que A no sea cero, x se incrementa con el tiempo sin límite, o mejor dicho, hasta que el borde de la placa alcanza a una de las ruedas o el c.m. de la placa sale fuera de la región comprendida entre las ruedas. En este último caso, la posición x=0, es de equilibrio inestable.

En la simulación, las condiciones iniciales se han elegido de modo que A=0.

Para t=0, x₀=B, v₀=-B·ω

3. Las ruedas giran en el mismo sentido

La posición del c.m. en función del tiempo es

${\displaystyle x=x_0+v_{0}t+\frac{1}{2}\mu g{t}^2}$

En la simulación, las condiciones iniciales, se han elegido de modo que para t=0, x₀=0, v₀=0, por lo que

${\displaystyle x=\frac{1}{2}\mu g{t}^2}$

El movimiento se detiene cuando el borde de la placa alcanza a una de las ruedas o el c.m. de la placa sale fuera de la región comprendida entre las ruedas.

Actividades

• Se establece la distancia 2d entre las dos ruedas en el control titulado Posición.

• El coeficiente de rozamiento μ, en el control titulado Coeficiente de rozamiento

Se elige el sentido del movimiento de las dos ruedas, activando una de las tres casillas

1. Girando en sentido contrario, hacia dentro
2. Girando en sentido contrario, hacia fuera
3. Girando en el mismo sentido

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Se observa el movimiento de la placa.

Oscilaciones. Retención-deslizamiento

Cuando el centro de masas se ha desplazado x, hemos calculado las fuerzas sobre la placa de masa m.

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}{N}_1+N_2=mg\\ N_1(d+x)=N_2(d-x)\end{array}\\ N_2=\frac{d+x}{2d}mg,N_1=\frac{d-x}{2d}mg\end{array}}$

La ecuación del movimiento es

${\displaystyle \begin{array}{l}m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=f_1-f_2\\ m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}={\mu }_k{N}_1-{\mu }_k{N}_2\\ \frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\mu }_k\frac{g}{d}x=0\end{array}}$

Que es un movimiento armónico simple con frecuencia angular

${\displaystyle {\omega }^2={\mu }_k\frac{g}{d}}$

La solución de esta ecuación diferencial es

${\displaystyle \begin{array}{l}x=A\cos \left(\omega t\right)+B\sin \left(\omega t\right)\\ \frac{dx}{dt}=\omega \left(-A\sin \left(\omega t\right)+B\cos \left(\omega t\right)\right)\end{array}}$

donde los coeficientes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales: En el instante t=0, el centro de masas parte de x₀ en reposo.

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}{x}_0=A\\ 0=\omega B\end{array}\\ x=x_0\cos \left(\omega t\right)\\ v=\frac{dx}{dt}=-x_0\omega \cos \left(\omega t\right)\end{array}}$

• Los rodillos de radio r se mueven con velocidad angular constante Ω. La velocidad relativa de la placa respecto del rodillo derecho es

${\displaystyle v-\left(-\Omega r\right)=-x_0\omega \sin \left(\omega t\right)+\Omega r}$

• La velocidad relativa de la placa respecto del rodillo izquierdo es

${\displaystyle v-\Omega r=-x_0\omega \sin \left(\omega t\right)-\Omega r}$

Pueden ocurrir dos casos

1. Si Ωr es mayor que la velocidad máxima de la placa ωx₀, la velocidad relativa no es nula en ningún instante. La placa oscila con frecuencia angular ω. Tal como se ha estudiado al principio del primer apartado

2. En cambio, si Ωr<ωx₀, en el instante t₁ la placa estará en reposo relativo al rodillo derecho. Que es la situación que se va a estudiar en este apartado

${\displaystyle \begin{array}{l}-x_0\omega \sin \left(\omega t\right)+\Omega r=0\\ t_1=\frac{1}{\omega }\arcsin \left(\frac{\Omega r}{x_0\omega }\right)\end{array}}$

en la posición

${\displaystyle x_1=x_0\cos \left(\omega t_1\right)=x_0\sqrt{1-{\sin }^2\left(\omega t_1\right)}=\sqrt{x_0^2-{\left(\frac{\Omega r}{\omega }\right)}^2}}$

La fuerzas que ejercen los rodillos sobre la placa serán f₂ y f₁

${\displaystyle \begin{array}{l}{f}_2\le {\mu }_s{N}_2={\mu }_s\frac{d+x}{2d}mg\\ f_1={\mu }_k{N}_1={\mu }_k\frac{d-x}{2d}mg\end{array}}$

La placa (en reposo relativo al rodillo derecho) se mueve con velocidad constante Ωr, por lo que f₂=f₁

Cuando la posición x de el c.m. se hace negativa (al la izquierda del origen) f₁ y por tanto, f₂ van aumentando y N₂ disminuyendo, llegará un momento en que f₂ se iguala al valor de la fuerza de rozamiento máxima (μ_sN₂), en la posición x₂ tal que

${\displaystyle \begin{array}{l}{\mu }_k{N}_1={\mu }_s{N}_2\\ {\mu }_k\frac{d-x}{2d}mg={\mu }_s\frac{d+x}{2d}mg\\ x_2=-\frac{{\mu }_s-{\mu }_k}{{\mu }_s+{\mu }_k}d,{\mu }_s\ge {\mu }_k\end{array}}$

Hemos supuesto que el coeficiente estático μ_s es mayor que el cinético μ_k

Entre la posición x₁ y x₂ el centro de masas se mueve con velocidad constante Ωr

${\displaystyle t_2=t_1+\frac{s+x_1}{\Omega r}}$

A partir de este instante, la placa oscila, la posición y velocidad del c.m. de la placa son.

${\displaystyle \begin{array}{l}x=A\cos \left(\omega t\right)+B\sin \left(\omega t\right)\\ \frac{dx}{dt}=\omega \left(-A\sin \left(\omega t\right)+B\cos \left(\omega t\right)\right)\end{array}}$

donde los coeficientes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales, en el instante t₂ la posición del c.m. de la placa es -s y su velocidad -Ωr

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}-s=A\cos \left(\omega t_2\right)+B\sin \left(\omega t_2\right)\\ -\Omega r=\omega \left(-A\sin \left(\omega t_2\right)+B\cos \left(\omega t_2\right)\right)\end{array}\\ B=-\left(s·\sin \left(\omega t_2\right)+\frac{\Omega r}{\omega }\cos \left(\omega t_2\right)\right),A=-s·\cos \left(\omega t_2\right)+\frac{\Omega r}{\omega }\sin \left(\omega t_2\right)\end{array}}$

La posición del c.m. de la placa para t≥t₂ es

${\displaystyle \begin{array}{l}x=\left(-s·\cos \left(\omega t_2\right)+\frac{\Omega r}{\omega }\sin \left(\omega t_2\right)\right)\cos \left(\omega t\right)-\left(s·\sin \left(\omega t_2\right)+\frac{\Omega r}{\omega }\cos \left(\omega t_2\right)\right)\sin \left(\omega t\right)\\ x=-s·\cos \left(\omega \left(t-t_2\right)\right)-\frac{\Omega r}{\omega }\sin \left(\omega \left(t-t_2\right)\right)\\ x=C\cos \left(\omega \left(t-t_2\right)+\phi \right),\{\begin{array}{l}C=\sqrt{s^2+{\left(\frac{\Omega r}{\omega }\right)}^2}\\ \phi =\pi -\arctan \left(\frac{\Omega r}{\omega s}\right)\end{array}\\ v=\frac{dx}{dt}=-\omega C\sin \left(\omega \left(t-t_2\right)+\phi \right)\end{array}}$

La velocidad se hace cero en el instante t_1/2 (máximo desplazamiento)

${\displaystyle \begin{array}{l}v=\frac{dx}{dt}=s\omega \sin \left(\omega \left(t-t_2\right)\right)-\Omega r\cos \left(\omega \left(t-t_2\right)\right)\\ \tan \left(\omega \left(t-t_2\right)\right)=\frac{\Omega r}{s\omega }\\ t_{1/2}=t_2+\frac{1}{\omega }\arctan \left(\frac{\Omega r}{s\omega }\right)\\ x_{1/2}=\sqrt{s^2+{\left(\frac{\Omega r}{\omega }\right)}^2}\cos \pi =-\sqrt{s^2+{\left(\frac{\Omega r}{\omega }\right)}^2}\end{array}}$

A partir de este instante, la placa se mueve hacia la derecha.

• La velocidad relativa de la placa respecto del rodillo izquierdo es

${\displaystyle v-\Omega r}$

• La velocidad relativa de la placa respecto del rodillo derecho es

${\displaystyle v-\left(-\Omega r\right)=v+\Omega r}$

En el instante t₃ la placa está en reposo relativo v=0, respecto del rodillo izquierdo

${\displaystyle \begin{array}{l}-\omega C\sin \left(\omega \left(t_3-t_2\right)+\phi \right)=\Omega r\\ \sin \left(\omega \left(t_3-t_2\right)+\phi \right)=-\frac{\Omega r}{\omega C}\\ \tan \left(\omega \left(t_3-t_2\right)+\phi \right)=-\frac{\Omega r}{\omega s}\\ \omega \left(t_3-t_2\right)+\pi -\arctan \left(\frac{\Omega r}{\omega s}\right)=\pi +\arctan \left(\frac{\Omega r}{\omega s}\right)\\ t_3=t_2+\frac{2}{\omega }\arctan \left(\frac{\Omega r}{\omega s}\right)\end{array}}$

La posición x₃ en dicho instante es

${\displaystyle \begin{array}{l}{x}_3=\sqrt{s^2+{\left(\frac{\Omega r}{\omega }\right)}^2}\cos \left(\pi +\arctan \left(\frac{\Omega r}{\omega s}\right)\right)=-\sqrt{s^2+{\left(\frac{\Omega r}{\omega }\right)}^2}\cos \left(\arctan \left(\frac{\Omega r}{\omega s}\right)\right)=\\ -\sqrt{s^2+{\left(\frac{\Omega r}{\omega }\right)}^2}\sqrt{\frac{1}{1+{\left(\frac{\Omega r}{\omega s}\right)}^2}}=-s\end{array}}$

Se ha utilizado la relación trigonométrica, ${\cos }^2\theta =\frac{1}{1+{\tan }^2\theta }$

Cuando la posición x de el c.m. se hace positiva (a la derecha del origen) f₂ y por tanto, f₁ van aumentando y N₁ disminuyendo, llegará un momento en que f₁ se iguala al valor de la fuerza de rozamiento máxima (μ_sN₁), en la posición x₄ tal que

${\displaystyle \begin{array}{l}{\mu }_s{N}_1={\mu }_k{N}_2\\ {\mu }_s\frac{d-x}{2d}mg={\mu }_k\frac{d+x}{2d}mg\\ x_4=\frac{{\mu }_s-{\mu }_k}{{\mu }_s+{\mu }_k}d\end{array}}$

La placa se mueve con velocidad constante Ωr entre las posiciones x₃ y x₄. Alcanza esta última posición en el instante

${\displaystyle t_4=t_3+\frac{-x_3+s}{\Omega r}=t_3+\frac{2s}{\Omega r}}$

A partir de este instante, la placa oscila, la posición y velocidad del c.m. de la placa son

${\displaystyle \begin{array}{l}x=A\cos \left(\omega t\right)+B\sin \left(\omega t\right)\\ \frac{dx}{dt}=\omega \left(-A\sin \left(\omega t\right)+B\cos \left(\omega t\right)\right)\end{array}}$

Donde los coeficientes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales: en el instante t₄ la posición del c.m. de la placa es s y su velocidad Ωr

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}s=A\cos \left(\omega t_4\right)+B\sin \left(\omega t_4\right)\\ \Omega r=\omega \left(-A\sin \left(\omega t_4\right)+B\cos \left(\omega t_4\right)\right)\end{array}\\ B=s·\sin \left(\omega t_2\right)+\frac{\Omega r}{\omega }\cos \left(\omega t_2\right),A=s·\cos \left(\omega t_2\right)-\frac{\Omega r}{\omega }\sin \left(\omega t_2\right)\end{array}}$

La posición del c.m. de la placa para t≥t₄ es

${\displaystyle \begin{array}{l}x=\left(s·\cos \left(\omega t_4\right)-\frac{\Omega r}{\omega }\sin \left(\omega t_4\right)\right)\cos \left(\omega t\right)+\left(s·\sin \left(\omega t_4\right)+\frac{\Omega r}{\omega }\cos \left(\omega t_4\right)\right)\sin \left(\omega t\right)\\ x=s·\cos \left(\omega \left(t-t_4\right)\right)+\frac{\Omega r}{\omega }\sin \left(\omega \left(t-t_4\right)\right)\\ x=C\cos \left(\omega \left(t-t_4\right)+\phi \right),\{\begin{array}{l}C=\sqrt{s^2+{\left(\frac{\Omega r}{\omega }\right)}^2}\\ \phi =-\arctan \left(\frac{\Omega r}{\omega s}\right)\end{array}\\ v=\frac{dx}{dt}=-\omega C\sin \left(\omega \left(t-t_4\right)+\phi \right)\end{array}}$

La velocidad se anula cuando el desplazamiento es máximo, en el instante T

${\displaystyle \begin{array}{l}v=\frac{dx}{dt}=-s\omega \sin \left(\omega \left(t-t_4\right)\right)+\Omega r\cos \left(\omega \left(t-t_4\right)\right)\\ \tan \left(\omega \left(t-t_4\right)\right)=\frac{\Omega r}{s\omega }\\ T=t_4+\frac{1}{\omega }\arctan \left(\frac{\Omega r}{s\omega }\right)\\ x_0=\sqrt{s^2+{\left(\frac{\Omega r}{\omega }\right)}^2}\end{array}}$

x₀ es la nueva posición de partida y T es el tiempo que tarda en dar una oscilación. A partir de este instante, la placa se mueve hacia la izquierda, repitiéndose el ciclo

Ejemplo

• Distancia entre los rodillos, 2d=0.6 m
• Velocidad del rodillo (punto de periferia), Ωr=0.3 m/s
• Coeficiente cinético, μ_k=0.6
• Coeficiente estático, μ_s=0.7
• Masa de la placa, m= 1 kg
• Posición inicial del centro de masas de la placa, x₀=0.15 m

Frecuencia angular

${\displaystyle \omega =\sqrt{{\mu }_k\frac{g}{d}}=\text{4}\text{.1}\text{rad/s}}$

Se cumple que Ωr<ωx₀=0.6641 m/s.

Representamos la posición x del centro de masa en función del tiempo t durante la primera oscilación

mu_k=0.6; %coeficiente cinético
mu_s=0.7; %coeficiente estático
d=0.3; %2d distancia entre ruedas
m=1; %masa
om_r=0.3; %velocidad angular*radio
w=sqrt(mu_k*9.8/d); %frecuencia angular

hold on
x0=0.15; %posición inicial del c.m.
x1=sqrt(x0^2-(om_r/w)^2);
t1=asin(om_r/(x0*w))/w;
f=@(t) x0*cos(w*t);
fplot(f,[0,t1]) %posición
line([t1, t1],[0, f(t1)],'lineStyle','--')

s=(mu_s-mu_k)/(mu_s+mu_k);
t2=t1+(s+x1)/om_r; 
f=@(t) x0*cos(w*t1)-om_r*(t-t1);
fplot(f,[t1,t2]) %posición
line([t2, t2],[0, f(t2)],'lineStyle','--')
    
t3=t2+2*atan(om_r/(w*s))/w;
fi=pi-atan(om_r/(w*s));
C=sqrt(s^2+(om_r/w)^2); %amplitud
f=@(t) C*cos(w*(t-t2)+fi);
fplot(f,[t2,t3]) %posición
line([t3, t3],[0, f(t3)],'lineStyle','--')

x3=-s;
t4=t3+2*s/om_r;
f=@(t) x3+om_r*(t-t3);
fplot(f,[t3,t4]) %posición
line([t4, t4],[0, f(t4)],'lineStyle','--')
    
t5=t4+atan(om_r/(w*s))/w; %periodo
fi=-atan(om_r/(w*s));
f=@(t) C*cos(w*(t-t4)+fi);
fplot(f,[t4,t5]) %posición
line([t5, t5],[0, f(t5)],'lineStyle','--')
hold off
xlabel('t (s)')
ylabel('x (m)')
grid on
title('Posición')

>> t5
t5 =    1.8105
>> f(t5)
ans =    0.1025

La posición final x₅=0.1025 m, que se alcanza en el instante t₅=1.8105 s, es más pequeña que la inicial

Representamos la velocidad v=dx/dt del centro de masa en función del tiempo t durante la primera oscilación

mu_k=0.6; %coeficiente cinético
mu_s=0.7; %coeficiente estático
d=0.3; %2d distancia entre ruedas
m=1; %masa
om_r=0.3; %velocidad angular*radio
w=sqrt(mu_k*9.8/d); %frecuencia angular

hold on
x0=0.15; %posición inicial del c.m.
x1=sqrt(x0^2-(om_r/w)^2);
t1=asin(om_r/(x0*w))/w;
f=@(t) -w*x0*sin(w*t);
fplot(f,[0,t1]) 
line([t1, t1],[0, f(t1)],'lineStyle','--')

s=(mu_s-mu_k)/(mu_s+mu_k);
t2=t1+(s+x1)/om_r; 
line([t2, t2],[0, -om_r],'lineStyle','--')  
line([t1,t2],[-om_r, -om_r]) %velocidad

t3=t2+2*atan(om_r/(w*s))/w;
fi=pi-atan(om_r/(w*s));
C=sqrt(s^2+(om_r/w)^2); %amplitud
f=@(t) -w*C*sin(w*(t-t2)+fi);
fplot(f,[t2,t3]) 
line([t3, t3],[0, f(t3)],'lineStyle','--')
    
t4=t3+2*s/om_r;
line([t3,t4],[om_r, om_r]) %velocidad
line([t4, t4],[0, om_r],'lineStyle','--')
    
t5=t4+atan(om_r/(w*s))/w; %periodo
fi=-atan(om_r/(w*s));
f=@(t) -w*C*sin(w*(t-t4)+fi);
fplot(f,[t4,t5]) 
hold off
xlabel('t (s)')
ylabel('v (m/s)')
grid on
title('Velocidad')

Representamos la velocidad v=dx/dt en función de la posición x del centro de masa durante tres oscilaciones

mu_k=0.6; %coeficiente cinético
mu_s=0.7; %coeficiente estático
d=0.3; %2d distancia entre ruedas
m=1; %masa
om_r=0.3; %velocidad angular*radio
w=sqrt(mu_k*9.8/d); %frecuencia angular
hold on
colores=['r','b','k'];
x5=0.15; %posición inicial
for n=1:3
    x0=x5; %posición inicial del c.m.
    x1=sqrt(x0^2-(om_r/w)^2);
    t1=asin(om_r/(x0*w))/w;
    fplot(@(t) x0*cos(w*t), @(t) -w*x0*sin(w*t), [0,t1],
'color',colores(n)) 
    s=(mu_s-mu_k)/(mu_s+mu_k);
    
    t2=t1+(s+x1)/om_r; 
    fplot(@(t) x0*cos(w*t1)-om_r*(t-t1), @(t) -om_r+0*t, [t1,t2],
'color',colores(n)) 
    
    t3=t2+2*atan(om_r/(w*s))/w;
    fi=pi-atan(om_r/(w*s));
    C=sqrt(s^2+(om_r/w)^2); %amplitud
    fplot(@(t) C*cos(w*(t-t2)+fi), @(t) -w*C*sin(w*(t-t2)+fi), [t2,t3],
'color',colores(n)) 
    
    x3=-s;
    t4=t3+2*s/om_r;
    fplot(@(t) x3+om_r*(t-t3), @(t) om_r+0*t, [t3,t4],'color',colores(n)) 
    
    t5=t4+atan(om_r/(w*s))/w; %periodo
    fi=-atan(om_r/(w*s));
    fplot(@(t) C*cos(w*(t-t4)+fi), @(t) -w*C*sin(w*(t-t4)+fi), [t4,t5],
'color',colores(n)) 
    x5=C*cos(w*(t5-t4)+fi); %posición final
    v5=-w*C*sin(w*(t5-t4)+fi);
end
hold off
xlabel('x (m)')
ylabel('v (m/s)')
grid on
title('Posición, velocidad')

Excepto la primera oscilación (color rojo), las restantes describen la trayectoria (en el espacio de las fases) señalada por las líneas de color negro

Representamos la posición x del centro de masa en función del tiempo t durante las dos primeras oscilaciones

mu_k=0.6; %coeficiente cinético
mu_s=0.7; %coeficiente estático
d=0.3; %2d distancia entre ruedas
m=1; %masa
om_r=0.3; %velocidad angular*radio
w=sqrt(mu_k*9.8/d); %frecuencia angular
x5=0.15;
T=0;
hold on
for n=1:2
    x0=x5; %posición inicial del c.m.
    x1=sqrt(x0^2-(om_r/w)^2);
    t1=asin(om_r/(x0*w))/w;
    f=@(t) x0*cos(w*t);
    h=fplot(f,[0,t1]);
    h.Visible=false;
    plot(h.XData+T, h.YData)
    line([t1+T, t1+T],[0, f(t1)],'lineStyle','--')
    
    s=(mu_s-mu_k)/(mu_s+mu_k);
    t2=t1+(s+x1)/om_r; 
    f=@(t) x0*cos(w*t1)-om_r*(t-t1);
    h=fplot(f,[t1,t2]);
    h.Visible=false;
    plot(h.XData+T, h.YData)
    line([t2+T, t2+T],[0, f(t2)],'lineStyle','--')
        
    t3=t2+2*atan(om_r/(w*s))/w;
    fi=pi-atan(om_r/(w*s));
    C=sqrt(s^2+(om_r/w)^2); %amplitud
    f=@(t) C*cos(w*(t-t2)+fi);
    h=fplot(f,[t2,t3]);
    h.Visible=false;
    plot(h.XData+T, h.YData)
    line([t3+T, t3+T],[0, f(t3)],'lineStyle','--')
        
    x3=-s;
    t4=t3+2*s/om_r;
    f=@(t) x3+om_r*(t-t3);
    h=fplot(f,[t3,t4]);
    h.Visible=false;
    plot(h.XData+T, h.YData)
    line([t4+T, t4+T],[0, f(t4)],'lineStyle','--')
        
    t5=t4+atan(om_r/(w*s))/w; %periodo
    fi=-atan(om_r/(w*s));
    f=@(t) C*cos(w*(t-t4)+fi);
    h=fplot(f,[t4,t5]);
    h.Visible=false;
    plot(h.XData+T, h.YData)
    line([t5+T, t5+T],[0, f(t5)],'lineStyle','--')
    x5=f(t5);
    T=T+t5;
end
hold off
xlabel('t (s)')
ylabel('x (m)')
grid on
title('Posición')

Representamos la velocidad v=dx/dt en función de la posición x del centro de masa durante dos oscilaciones.

Cambiamos la posición inicial x₀=0.09 m. Se sigue cumpliendo que Ωr<ωx₀=0.3984 m/s.

mu_k=0.6; %coeficiente cinético
mu_s=0.7; %coeficiente estático
d=0.3; %2d distancia entre ruedas
m=1; %masa
om_r=0.3; %velocidad angular*radio
w=sqrt(mu_k*9.8/d); %frecuencia angular
hold on
colores=['r','k'];
x5=0.09; %posición inicial
for n=1:2
    x0=x5; %posición inicial del c.m.
    x1=sqrt(x0^2-(om_r/w)^2);
    t1=asin(om_r/(x0*w))/w;
    fplot(@(t) x0*cos(w*t), @(t) -w*x0*sin(w*t), [0,t1],
'color',colores(n)) 
    s=(mu_s-mu_k)/(mu_s+mu_k);
    
    t2=t1+(s+x1)/om_r; 
    fplot(@(t) x0*cos(w*t1)-om_r*(t-t1), @(t) -om_r+0*t, [t1,t2],
'color',colores(n)) 
    
    t3=t2+2*atan(om_r/(w*s))/w;
    fi=pi-atan(om_r/(w*s));
    C=sqrt(s^2+(om_r/w)^2); %amplitud
    fplot(@(t) C*cos(w*(t-t2)+fi), @(t) -w*C*sin(w*(t-t2)+fi), [t2,t3],
'color',colores(n)) 
    
    x3=-s;
    t4=t3+2*s/om_r;
    fplot(@(t) x3+om_r*(t-t3), @(t) om_r+0*t, [t3,t4],
'color',colores(n)) 
    t5=t4+atan(om_r/(w*s))/w; %periodo
    fi=-atan(om_r/(w*s));
    fplot(@(t) C*cos(w*(t-t4)+fi), @(t) -w*C*sin(w*(t-t4)+fi), [t4,t5],
'color',colores(n)) 
    x5=C*cos(w*(t5-t4)+fi); %posición final
    v5=-w*C*sin(w*(t5-t4)+fi);
end
hold off
xlabel('x (m)')
ylabel('v (m/s)')
grid on
title('Posición, velocidad')

La trayectoria final (en el espacio de las fases) es independiente de la posición inicial

Referencias

Metzger E. An unusual case of Simple Harmonic Motion. Am. J. Phys. 40, August 1972, pp. 1167-1168

SU Guo-zhen. Solutions for a familiar mechanical problem. College Physics. Vol．40. n°6. June 2021