El potencial de Morse

E p (x)=D+D ( 1 e kx ) 2

El potencial presenta un mínimo para x=0 cuyo valor es Ep(x0)=-D.

En la figura, se muestra la gráfica de la función Ep(x) para k=1, y D=1

E p (x)= e 2x 2 e x

k=1;
D=1;
x=linspace(-0.8,4,100);
Ep=-D+D*(1-exp(-k*x)).^2;
plot(x,Ep)
grid on
xlabel('x')
ylabel('E_p');
title('El potencial Morse')

Descripción cualitativa del movimiento de la partícula

Dada la función Ep(x), la fuerza F(x) que actúa sobre la partícula es

F(x)= d E p (x) dx =2Dk( 1 e kx ) e kx  

Para x=0, F(x)=0, el origen es una posición de equilibrio estable, ya que la energía potencial es mínima.

La fuerza sobre la partícula se obtiene midiendo la pendiente en cada punto de la función energía potencial Ep(x) cambiada de signo.

Como la fuerza que actúa sobre la partícula es conservativa, la energía total E permanece constante.

1 2 m v 2 + E p (x)=E

Dibujando función la energía potencial Ep(x), y conociendo el valor de la energía total E describimos de forma cualitativa el movimiento de la partícula.

  1. Cuando la energía total E está en el intervalo -D<E<0, la partícula oscila entre dos posiciones x1 y x2 alrededor de la posición de equilibrio estable x=0.

  2. Estas dos posiciones son las raíces de la ecuación Ep(x) =E

    x= 1 k ln( 1± E+D D )

    Si la partícula está situada en la posición P, la energía total es la medida del segmento PA, la energía potencial el segmento PB y la energía cinética el segmento AB.

    La energía cinética es máxima cuando la partícula pasa por el origen y es nula cuando la partícula pasa por en las posiciones extremas x1 y x2.

  3. Cuando E>0, la partícula se mueve desde el infinito, hasta una posición xm y regresa de nuevo al infinito.

  4. Cuando E>0, la ecuación Ep(x) =E solamente tiene una raíz

    x= 1 k ln( 1+ E+D D )

    Si la partícula está situada en la posición P, la energía total es la medida del segmento PA, la energía potencial el segmento PB y la energía cinética el segmento AB.

    La energía cinética es máxima cuando la partícula pasa por el origen y es nula cuando la partícula está en la posición extrema xm

Movimiento de la partícula

Si definimos el parámetro adimensional ρ tal que E+D=ρ·D

  1. La partícula está confinada, si ρ<1 en la región

  2. 1 k ln( 1+ ρ )x 1 k ln( 1 ρ )

  3. La partícula se mueve hacia el infinito si ρ>1

  4. x 1 k ln( 1+ ρ )

  5. La partícula se mueve hacia el infinito si E=0 ó ρ=1

  6. x 1 k ln2

Vamos a determinar la posición x de la partícula en función del tiempo t para cada uno de los casos, integrando una ecuación diferencial de primer orden. Escribimos el principio de conservación de la energía de la forma

1 2 m ( dx dt ) 2 +D ( 1 e kx ) 2 =E+D ( dx dt ) 2 =[ ρ ( 1 e kx ) 2 ] 2D m

  1. Estudiamos el caso, ρ<1

  2. Hacemos el cambio de variable

    e kx = 1 ρ u 1ρ dx dt = ρ k(1 ρ u) du dt

    La ecuación diferencial de primer orden se transforma, haciendo algunas operaciones, en una ecuación diferencial fácilmente integrable

    ( du dt ) 2 = 2 k 2 D(1ρ) m (1 u 2 ) du 1 u 2 =γ dt γ= 2 k 2 D(1ρ) m

    arccos u=γt-γt0
    u
    =cos(γt-γt0)

    γt0 es la constante de integración que se determina a partir de las condiciones iniciales, la posición x0 del móvil en el instante t=0.

    Deshaciendo el cambio

    x= 1 k ln( 1 ρ cos(γtγ t 0 ) 1ρ )

    En el programa interactivo, la posición inicial de la partícula t=0, es el origen x=0, el instante t0 vale entonces,

    t 0 = 1 γ cos 1 ( ρ )

  3. Estudiamos el caso, ρ>1

  4. Hacemos el cambio de variable

    e kx = ρ u1 ρ1 dx dt = ρ k( ρ u1) du dt

    La ecuación diferencial de primer orden se transforma, haciendo algunas operaciones, en una ecuación diferencial fácilmente integrable

    ( du dt ) 2 = 2 k 2 D(ρ1) m ( u 2 1) du u 2 1 =γ dt γ= 2 k 2 D(ρ1) m

    arccosh u=γt-γt0
    u
    =cosh(γt-γt0)

    γt0 es la constante de integración que se determina a partir de las condiciones iniciales, la posición x0 del móvil en el instante t=0.

    Deshaciendo el cambio

    x= 1 k ln( ρ cosh(γtγ t 0 )1 ρ1 )

    En el programa interactivo, la posición inicial de la partícula t=0, es el origen x=0, el instante t0 vale entonces

    t 0 = 1 γ cosh 1 ( ρ )

  5. En el caso límite ρ=1

  6. Hacemos el cambio de variable

    e kx =u dx dt = 1 ku du dt

    La ecuación diferencial de primer orden se transforma, haciendo algunas operaciones, en una ecuación diferencial fácilmente integrable

    ( du dt ) 2 = 2 k 2 D m (2u1) du 2u1 =γ dt γ= 2 k 2 D m

    2u-1=(γt-γt0)2

    γt0 es la constante de integración que se determina a partir de las condiciones iniciales, la posición x0 del móvil en el instante t=0.

    Deshaciendo el cambio

    x= 1 k ln( 1+ (γtγ t 0 ) 2 2 )

    En el programa interactivo, la posición inicial de la partícula t=0, es el origen x=0, el instante t0 vale entonces,

    t 0 = 1 γ

Ejemplo:

  1. Energía total de la partícula E=-0.5

  2. El parámetro ρ=(E+D)/D=0.5<1

    La partícula se mueve entre las posiciones extremas

    x 1 = 1 k ln( 1+ ρ ) x 1 = 1 1 ln( 1+ 0.5 )=0.53 x 2 = 1 k ln( 1 ρ ) x 2 = 1 1 ln( 1 0.5 )=1.23

    La ecuación del movimiento es

    x= 1 k ln( 1 ρ cos(γtγ t 0 ) 1ρ )γ= 2 k 2 D(1ρ) m t 0 = 1 γ cos 1 ( ρ ) γ=1 t 0 =0.785

    En el instante t=2.0, la posición de la partícula es x=0.41.

    La energía potencial es

    E p (0.41)=1+1· ( 1 e 1·0.41 ) 2  =-0.887

    La energía cinética Ek=E-Ep=0.387

    La velocidad de la partícula

    v= 2 E k m =0.88

    k=1;
    D=1;
    E=-0.5; %energía de la partícula
    rho=(E+D)/D;
    x1=-log(1+sqrt(rho))/k;
    x2=-log(1-sqrt(rho))/k;
    fprintf('Posiciones extremas [%1.3f, %1.3f]\n',x1,x2)
    %ecuación del movimiento
    m=1; %masa de la partícula
    gamma=sqrt(2*k^2*D*(1-rho)/m);
    t0=acos(sqrt(rho))/gamma;
    t=linspace(0,10, 200);
    x=log((1-sqrt(rho)*cos(gamma*t-gamma*t0))/(1-rho))/k;
    plot(t,x);
    grid on
    xlabel('t')
    ylabel('x');
    title('Posición en función del tiempo')

    Posiciones extremas [-0.535, 1.228]
  3. Energía total de la partícula E=0.5

  4. El parámetro ρ=(E+D)/D=1.5>1

    La partícula se mueve desde el origen hasta la posición xm y luego, hasta el infinito

    x m = 1 k ln( 1+ ρ ) x m = 1 1 ln( 1+ 1.5 )=0.80

    La ecuación del movimiento es

    x= 1 k ln( ρ cosh(γtγ t 0 )1 ρ1 )γ= 2 k 2 D(ρ1) m t 0 = 1 γ cosh 1 ( ρ ) γ=1 t 0 =0.658

    En el instante t=2.0, la posición de la partícula es x=1.10

    La energía potencial es

    E p (1.10)=1+1· ( 1 e 1·1.10 ) 2  =-0.55

    La energía cinética Ek=E-Ep=1.05

    La velocidad de la partícula v=1.45

    k=1;
    D=1;
    E=0.5; %energía de la partícula
    rho=(E+D)/D;
    x1=-log(1+sqrt(rho))/k;
    fprintf('Posición extrema %1.3f\n',x1)
    %ecuación del movimiento
    m=1; %masa de la partícula
    gamma=sqrt(2*k^2*D*(rho-1)/m);
    t0=acosh(sqrt(rho))/gamma;
    t=linspace(0,10, 200);
    x=log((sqrt(rho)*cosh(gamma*t-gamma*t0)-1)/(rho-1))/k;
    plot(t,x);
    grid on
    xlabel('t')
    ylabel('x');
    title('Posición en función del tiempo')

    Posición extrema -0.800
  5. Energía total de la partícula E=0

  6. El parámetro ρ=(E+D)/D=1

    La partícula se mueve desde el origen hasta la posición xm y luego, hasta el infinito

    x m = 1 k ln2=0.69

    La ecuación del movimiento es

    x= 1 k ln( (γtγ t 0 ) 2 +1 2 )γ= 2 k 2 D m t 0 = 1 γ γ= 2 t 0 = 2 /2

    En el instante t=2.0, la posición de la partícula es x=0.77

    La energía potencial es

    E p (0.77)=1+1· ( 1 e 1·0.77 ) 2  =-0.71

    La energía cinética Ek=E-Ep=0.71

    La velocidad de la partícula v=1.19

    k=1;
    D=1;
    E=0; %energía de la partícula
    rho=(E+D)/D;
    x1=-log(2)/k;
    fprintf('Posición extrema %1.3f\n',x1)
    %ecuación del movimiento
    m=1; %masa de la partícula
    gamma=sqrt(2*k^2*D/m);
    t0=1/gamma;
    t=linspace(0,10, 200);
    x=log(((gamma*t-gamma*t0).^2+1)/2)/k;
    plot(t,x);
    grid on
    xlabel('t')
    ylabel('x');
    title('Posición en función del tiempo')

    Posición extrema -0.693

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Si la energía E de la partícula está en el intervalo -1<E<0, la partícula oscila entre dos posiciones x1 y x2.

Si la energía E de la partícula es positiva o nula, la partícula se mueve desde el origen hasta la posición extrema xm y desde esta posición hacia el infinito.

Se indica mediante un segmento de color azul, el valor de la energía potencial, mediante un segmento de color rojo el valor de la energía cinética, y mediante una flecha la fuerza sobre la partícula.

En la parte superior, se proporcionan valores numéricos del tiempo t, la posición x, módulo de la velocidad v, energía potencial Ep, energía cinética Ek.


Referencias

DeMarcus W. C. Classical motion of a Morse oscillator. Am. J. Phys. 46 (7) July 1978, pp. 733-734