Oscilaciones en la máquina de Atwood

Las poleas tienen masa despreciable y la cuerda es inextensible, suficientemente larga para no preocuparnos de que el contrapeso M choque con la polea. Supondremos que la cuerda está siempre tensa y no tendremos en cuenta el rozamiento entre la cuerda y las poleas y en el movimiento de las masas puntuales m y M, por lo que la energía total del sistema de dos partículas permanece constante.

El vector posición, velocidad y aceleración en coordenadas polares

Establecemos un Sistema de Referencia Ortonormal, cuyos ejes son la dirección radial y la dirección perpendicular a la radial. Los vectores unitarios se señalan en la figura de la derecha.

Vector posición

El vector posición de la partícula oscilante es

r =r r ^

Vector velocidad

El vector velocidad es tangente a la trayectoria

Expresamos la velocidad de la partícula en coordenadas polares

v = d r dt = r ^ dr dt +r d r ^ dt

Calculamos las componentes rectangulares de los vectores unitarios

θ ^ =cosθ· i ^ sinθ· j ^ r ^ =sinθ· i ^ +cosθ· j ^

Calculamos las derivadas de los vectores unitarios

d θ ^ dt =(sinθ· i ^ +cosθ· j ^ ) dθ dt = r ^ dθ dt d r ^ dt =(cosθ· i ^ sinθ· j ^ ) dθ dt = θ ^ dθ dt

Las componentes del vector velocidad en coordenadas polares son,

v = d r dt = dr dt r ^ +r dθ dt θ ^

Vector aceleración

Derivamos la velocidad con respecto del tiempo

d v dt = d 2 r d t 2 r ^ + dr dt d r ^ dt + dr dt dθ dt θ ^ +r d 2 θ d t 2 θ ^ +r dθ dt d θ ^ dt d v dt = d 2 r d t 2 r ^ + dr dt dθ dt θ ^ + dr dt dθ dt θ ^ +r d 2 θ d t 2 θ ^ r ( dθ dt ) 2 r ^ d v dt =( d 2 r d t 2 r ( dθ dt ) 2 ) r ^ +( r d 2 θ d t 2 +2 dr dt dθ dt ) θ ^

Las componentes del vector aceleración en coordenadas polares valen

a r = d 2 r d t 2 r ( dθ dt ) 2 a θ =r d 2 θ d t 2 +2 dr dt dθ dt

Ecuaciones del movimiento

Las fuerzas que actúan sobre la partícula que oscila de masa m son:

Ecuación del movimiento en la dirección radial

mgcosθ-T=mar

Ecuación del movimiento en la perpendicular a la radial

-mgsinθ=maθ

Las fuerzas que actúan sobre el contrapeso de masa M son:

Si y es la posición del contrapeso. La ecuación del movimiento es

MgT=M d 2 y d t 2

Al alejarse la masa m aumenta r, el contrapeso M asciende, disminuye y, de modo que

MgT=M d 2 r d t 2

Eliminamos T entre la primera y tercera ecuación, llegamos a un sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden

mgcosθMgM d 2 r d t 2 =m( d 2 r d t 2 r ( dθ dt ) 2 ) mgsinθ=m( r d 2 θ d t 2 +2 dr dt dθ dt )

Llamando μ=M/m

(1+μ) d 2 r d t 2 =r ( dθ dt ) 2 +g(cosθμ) r d 2 θ d t 2 +2 dr dt dθ dt +gsinθ=0

Principio de conservación de la energía

Situamos el nivel cero de energía potencial en la posición de las poleas

La energía potencial de los dos cuerpos es

Ep=-Mgy-mg·rcosθ

Teniendo en cuenta que y y r están relacionados, ya que la cuerda es inextensible y+r=l=cte.

Ep=Mgr-Mgl-mg·rcosθ

La energía cinética es

E k = 1 2 M ( dy dt ) 2 + 1 2 m( ( dr dt ) 2 + r 2 ( dθ dt ) 2 )

La energía total se escribe

E= 1 2 M ( dr dt ) 2 + 1 2 m( ( dr dt ) 2 + r 2 ( dθ dt ) 2 )+gr(Mmcosθ)Mgl

Eliminamos el término constante Mgl con una elección conveniente del nivel cero de energía potencial. Dividiendo entre m

e= 1 2 μ ( dr dt ) 2 + 1 2 ( ( dr dt ) 2 + r 2 ( dθ dt ) 2 )+gr(μcosθ)

Ecuaciones de Lagrange

La lagrangiana L=Ek-Ep es

L= 1 2 (M+m) ( dr dt ) 2 + 1 2 m r 2 ( dθ dt ) 2 gr(Mmcosθ)+Mgl

Comprobamos que obtenemos las mismas ecuaciones del movimiento

d dt ( L r ˙ ) L r =0 (M+m) d 2 r d t 2 mr ( dθ dt ) 2 +g(Mmcosθ)=0 (μ+1) d 2 r d t 2 r ( dθ dt ) 2 +g(μcosθ)=0 d dt ( L θ ˙ ) L θ =0 d dt ( r 2 dθ dt )+grsinθ=0 r d 2 θ d t 2 +2 dr dt dθ dt +gsinθ=0

Integración numérica de las ecuaciones del movimiento

Resolvemos mediante procedimientos numéricos el sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden con las siguientes condiciones iniciales, en el instante t=0, la posición inicial es r=r0, θ=θ0, y las componentes de la velocidad inicial son

( dr dt ) 0 r 0 ( dθ dt ) 0

Calcularemos en cada instante la energía total e y la compararemos con la energía inicial e0. Denominamos al cociente

| e e 0 e 0 |·100

tanto por ciento de error. Cuando la energía e difiere de e0 de modo que el cociente es mayor que la unidad, la trayectoria calculada puede que se desvíe significativamente de la real.

Observaremos una gran variedad de trayectorias: La partícula oscilante se moverá alrededor del origen si M>m, es decir, si μ>1. En caso contrario, la partícula se escapará.

Introduciremos valores de μ>1

La posición inicial habitual es r0>0 entre 0 y 10 y θ0=90º. La partícula oscilante está en el eje X. La distancia inicial al origen r0>0, ya que para r0=0 tenemos una singularidad en la segunda ecuación diferencial.

La velocidad inicial habitualmente es cero, (dr/dt)0=0,  (dθ/dt)0=0, pero se puede dar un valor a la componente radial (dr/dt)0, cuando la partícula parte de una posición cercana al origen r0≈0.

Se sugiere al lector la reproducción de las nueve trayectorias en cada una de las figuras 3, 4, 5 y 6 del artículo mencionado en las referencias

Probamos con μ=1.4, la partícula parte de r0=1, θ0=90°, en reposo (dr/dt)0=0,  (dθ/dt)0=0

mu=1.4; %cociente entre masas
x0=[1,0,pi/2,0]; %condiciones iniciales
%x(1) es r, x(2) es dr/dt, x(3) es theta, x(4) es dtheta/dt
fg=@(t,x)[x(2);x(1)*x(4)^2/(1+mu)+9.8*(cos(x(3))-mu)/(1+mu); 
x(4);-2*x(2)*x(4)/x(1)-9.8*sin(x(3))/x(1)];
[t,x]=ode45(fg,[0,10],x0);
plot(x(:,1).*cos(x(:,3)), x(:,1).*sin(x(:,3))) %trayectoria
grid on
xlabel('x')
ylabel('y');
title('oscilador de Atwood')

Comprobamos que la energía se mantiene constante y que el error es pequeño

>> e0=mu*x0(2)^2/2+(x0(2)^2+x0(1)^2*x0(4)^2)/2+9.8*x0(1)
*(mu-cos(x0(3)))
e0 =   13.7200
>> e=mu*x(:,2).^2/2+(x(:,2).^2+(x(:,1).^2).*x(:,4).^2)/2+9.8*x(:,1).
*(mu-cos(x(:,3)));
>> abs((e-e0)/e0)*100
ans =         0
         0
    0.0000
...
    0.1078
    0.1006
    0.0505
    0.0561

Probamos con μ=1.6, la partícula parte de las proximidades del origen r0=0.01, θ0=90°, con velocidad (dr/dt)0=4,  (dθ/dt)0=0

mu=1.6; %cociente entre masas
x0=[0.01,4,pi/2,0]; %condiciones iniciales
%x(1) es r, x(2) es dr/dt, x(3) es theta, x(4) es dtheta/dt
fg=@(t,x)[x(2);x(1)*x(4)^2/(1+mu)+9.8*(cos(x(3))-mu)/(1+mu); 
x(4);-2*x(2)*x(4)/x(1)-9.8*sin(x(3))/x(1)];
[t,x]=ode45(fg,[0,30],x0);
plot(x(:,1).*cos(x(:,3)), x(:,1).*sin(x(:,3))) %trayectoria
grid on
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y');
title('oscilador de Atwood')

>> e0=mu*x0(2)^2/2+(x0(2)^2+x0(1)^2*x0(4)^2)/2+9.8*x0(1)*(mu-cos(x0(3)))
e0 =   20.9568 
>> e=mu*x(:,2).^2/2+(x(:,2).^2+(x(:,1).^2).*x(:,4).^2)/2+9.8*x(:,1).
*(mu-cos(x(:,3)));
>> abs((e-e0)/e0)*100
    ans =
         0
         0
    0.0000
    ....
        2.0654
    2.1245
    2.2503
    2.2496
    2.4229
....    

Vemos que el error se va incrementando a medida que transcurre el tiempo hasta cerca de un 2.5%

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se dibuja la trayectoria de la partícula oscilante

Opcionalmente, se puede realizar ciertos ajustes:

En la parte superior izquierda se proporcionan los datos

El programa interactivo permite obtener una gran variedad de trayectorias, véase el artículo citado en las referencias, figuras 3, 4, 5 y 6

El programa interactivo se detiene cuando:

Probar los siguientes casos:





Referencias

Tufillaro N. B., Abott T. A. Griffiths D. J. Swinging Atwood’s machine. Am. J. Phys. 52 (10) October 1984, pp. 895-903