Oscilaciones en la máquina de Atwood

Las poleas tienen masa despreciable y la cuerda es inextensible, suficientemente larga para no preocuparnos de que el contrapeso M choque con la polea. Supondremos que la cuerda está siempre tensa y no tendremos en cuenta el rozamiento entre la cuerda y las poleas y en el movimiento de las masas puntuales m y M, por lo que la energía total del sistema de dos partículas permanece constante.

El vector posición, velocidad y aceleración en coordenadas polares

Establecemos un Sistema de Referencia Ortonormal, cuyos ejes son la dirección radial y la dirección perpendicular a la radial. Los vectores unitarios se señalan en la figura de la derecha.

Vector posición

El vector posición de la partícula oscilante es

r=r r ^

Vector velocidad

El vector velocidad es tangente a la trayectoria

Expresamos la velocidad de la partícula en coordenadas polares

v= dr dt = r ^ dr dt +r d r ^ dt

Calculamos las componentes rectangulares de los vectores unitarios

θ ^ =cosθ i ^ sinθ j ^ r ^ =sinθ i ^ +cosθ j ^

Calculamos las derivadas de los vectores unitarios

d θ ^ dt =(sinθ i ^ +cosθ j ^ ) dθ dt = r ^ dθ dt d r ^ dt =(cosθ i ^ sinθ j ^ ) dθ dt = θ ^ dθ dt

Las componentes del vector velocidad v en coordenadas polares son,

v= dr dt = dr dt r ^ +r dθ dt θ ^

Vector aceleración

Derivamos la velocidad con respecto del tiempo

dv dt = d 2 r d t 2 r ^ + dr dt d r ^ dt + dr dt dθ dt θ ^ +r d 2 θ d t 2 θ ^ +r dθ dt d θ ^ dt dv dt = d 2 r d t 2 r ^ + dr dt dθ dt θ ^ + dr dt dθ dt θ ^ +r d 2 θ d t 2 θ ^ r ( dθ dt ) 2 r ^ dv dt =( d 2 r d t 2 r ( dθ dt ) 2 ) r ^ +( r d 2 θ d t 2 +2 dr dt dθ dt ) θ ^

Las componentes del vector aceleración en coordenadas polares valen

a r = d 2 r d t 2 r ( dθ dt ) 2 a θ =r d 2 θ d t 2 +2 dr dt dθ dt

Ecuaciones del movimiento

Las fuerzas que actúan sobre la partícula que oscila de masa m son:

Ecuación del movimiento en la dirección radial

mgcosθ-T=mar

Ecuación del movimiento en la perpendicular a la radial

-mgsinθ=maθ

Las fuerzas que actúan sobre el contrapeso de masa M son:

Si y es la posición del contrapeso. La ecuación del movimiento es

MgT=M d 2 y d t 2

Al alejarse la masa m aumenta r, el contrapeso M asciende, disminuye y, de modo que

MgT=M d 2 r d t 2

Eliminamos T entre la primera y tercera ecuación, llegamos a un sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden

mgcosθMgM d 2 r d t 2 =m( d 2 r d t 2 r ( dθ dt ) 2 ) mgsinθ=m( r d 2 θ d t 2 +2 dr dt dθ dt )

Llamando μ=M/m

(1+μ) d 2 r d t 2 =r ( dθ dt ) 2 +g(cosθμ) r d 2 θ d t 2 +2 dr dt dθ dt +gsinθ=0

Principio de conservación de la energía

Situamos el nivel cero de energía potencial en la posición de las poleas

La energía potencial de los dos cuerpos es

Ep=-Mgy-mg·rcosθ

La energía cinética es

E k = 1 2 M ( dy dt ) 2 + 1 2 m( ( dr dt ) 2 + r 2 ( dθ dt ) 2 )

Teniendo en cuenta que y y r están relacionados, ya que la cuerda es inextensible y+r=L=cte. La energía total se escribe

E= 1 2 M ( dr dt ) 2 + 1 2 m( ( dr dt ) 2 + r 2 ( dθ dt ) 2 )+gr(Mmcosθ)MgL

Eliminamos el término constante MgL con una elección conveniente del nivel cero de energía potencial. Dividiendo entre m

e= 1 2 μ ( dr dt ) 2 + 1 2 ( ( dr dt ) 2 + r 2 ( dθ dt ) 2 )+gr(μcosθ)

Solución numérica

Resolvemos mediante procedimientos numéricos el sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden con las siguientes condiciones iniciales, en el instante t=0, la posición inicial es r=r0, θ=θ0, y las componentes de la velocidad inicial son

( dr dt ) 0 r 0 ( dθ dt ) 0

Calcularemos en cada instante la energía total e y la compararemos con la energía inicial e0. Denominamos al cociente

| e e 0 e 0 |·100

tanto por ciento de error. Cuando la energía e difiere de e0 de modo que el cociente es mayor que la unidad, la trayectoria calculada puede que se desvíe significativamente de la real.

Observaremos una gran variedad de trayectorias: La partícula oscilante se moverá alrededor del origen si M>m, es decir, si μ>1. En caso contrario, la partícula se escapará.

Introduciremos valores de μ>1

La posición inicial habitual es r0>0 entre 0 y 2 y θ0=90º. La partícula oscilante está en el eje X. La distancia inicial al origen r0>0, ya que para r0=0 tenemos una singularidad en la segunda ecuación diferencial.

La velocidad inicial habitualmente es cero, (dr/dt)0=0,  (dθ/dt)0=0, pero se puede dar un valor a la componente radial (dr/dt)0, cuando la partícula parte de una posición cercana al origen r0≈0.

El programa interactivo se detiene cuando la partícula oscilante llega al origen r<0 o cuando el procedimiento numérico, no resuelve adecuadamente las ecuaciones del movimiento y la energía de la partícula se desvía apreciablemente de la energía inicial

Probar los siguientes casos:

Si solamente estamos interesados en el trazado de la trayectoria de la partícula oscilante, el programa interactivo puede mejorarse adoptando un paso variable de integración. El paso podría ser más pequeño cuando la partícula esté cerca del origen y más grande cuando esté lejos.

mu=1.4; %cociente entre masas
x0=[1,0,pi/2,0]; %condiciones iniciales
%x(1) es r, x(2) es dr/dt, x(3) es theta, x(4) es dtheta/dt
fg=@(t,x)[x(2);x(1)*x(4)^2/(1+mu)+9.8*(cos(x(3))-mu)/(1+mu); 
x(4);-2*x(2)*x(4)/x(1)-9.8*sin(x(3))/x(1)];
[t,x]=ode45(fg,[0,10],x0);
plot(x(:,1).*cos(x(:,3)), x(:,1).*sin(x(:,3))) %trayectoria
grid on
xlabel('x')
ylabel('y');
title('oscilador de Atwood')
%energía
%e0=mu*x0(2)^2/2+(x0(2)^2+x0(1)^2*x0(4)^2)/2+9.8*x0(1)*(mu-cos(x0(3)));
%e=mu*x(:,2).^2/2+(x(:,2).^2+(x(:,1).^2).*x(:,4).^2)/2+9.8*x(:,1).
*(mu-cos(x(:,3)));
%abs((e-e0)/e0)*100

Comprobamos que la energía se matiene constante

>> e0=mu*x0(2)^2/2+(x0(2)^2+x0(1)^2*x0(4)^2)/2+9.8*x0(1)
*(mu-cos(x0(3)))
e0 =   13.7200
>> e=mu*x(:,2).^2/2+(x(:,2).^2+(x(:,1).^2).*x(:,4).^2)/2+9.8*x(:,1).
*(mu-cos(x(:,3)));
>> abs((e-e0)/e0)*100
ans =         0
         0
    0.0000
...
    0.1078
    0.1006
    0.0505
    0.0561

Referencias

Tufillaro N. B., Abott T. A. Griffiths D. J. Swinging Atwood’s machine. Am. J. Phys. 52 (10) October 1984, pp. 895-903