El oscilador de “Atwood”

Equilibrio y estabilidad

El equilibrio se logra, cuando el momento del peso que cuelga respecto del eje de rotación del disco, es igual y de sentido contrario al momento de la masa adicional m pegada al disco a una distancia r de su eje. El desplazamiento angular de equilibrio θe  de la masa puntual es

MgR=mgr·sinθe

sin θ e = MR mr

La altura de equilibrio del bloque es he=R·θe

El ángulo θe existe si se cumple que MRmr

Equilibrio y estabilidad

Consideremos la situación cuando la masa adicional m se ha desplazado un ángulo θ, y el bloque de masa M ha descendido una altura h=R·θ (véase la primera figura)

Ep(θ)=mgr(1-cosθ)-MgR·θ.

Calculamos sus extremos derivando la función energía potencial Ep(θ) respecto del ángulo θ, e igualando a cero.

d E p dθ =mgrsinθMgR=0sin θ e = MR mr

hay dos posibles ángulos, θe y π-θe. Vamos a comprobar que al primero le corresponde un mínimo de la energía potencial, mientras que al segundo le corresponde un máximo. Hallamos la derivada segunda de la función energía potencial

d 2 E p d θ 2 =mgrcosθ

El coseno es positivo (mínimo) para θe, y negativo (máximo) para π-θe.

En la figura, vemos que la función Ep(θ) presenta un mínimo para θe=41º, y un máximo para 180- θe=139º

Cuando mr=MR el máximo y el mínimo coinciden en θ=90º que es el punto de inflexión.

Cuando MR>mr la función energía potencial es una función decreciente de θ.

Ecuación del movimiento

En la figura, se muestran las fuerzas que actúan sobre el disco y las fuerzas que actúan sobre el bloque de masa M. El disco gira en el sentido indicado con aceleración angular α, y el bloque lleva una aceleración a. La relación entre ambas aceleraciones es  a=α·R

El momento de inercia del disco de masa md y de la masa adicional m es

I= 1 2 m d R 2 +m r 2

Eliminando la tensión T de la cuerda, llegamos a la ecuación diferencial del movimiento del disco

( 1 2 m d R 2 +m r 2 +M R 2 ) d 2 θ d t 2 =MgRmgrsinθ

Se resuelve esta ecuación diferencial por procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales t=0, θ=0, dθ/dt=0.

mIzq=0.3; %masa deslizante
mDcha=0.1; %bloque derecho
mDisco=1; %masa del disco
R=1; %radio disco
h=0.5; %radio de la masa deslizante

%resuelve la ecuación diferencial
x0=zeros(1,2);
x0(1)=0; %posición inicial, x0
x0(2)=0; %velocidad inicial, v0:
f=@(t,x) [x(2); (-mIzq*9.8*h*sin(x(1))+mDcha*9.8*R)
/(0.5*mDisco*R^2+mIzq*h^2+mDcha*R^2)]; 
tspan=[0 10]; %hasta un tiempo de 10
[t,x]=ode45(f,tspan,x0);
% x es ángulo girado por el disco 
%multiplicando po R*100, desplazamiento del bloque
plot(t,x(:,1)) 
grid on
xlabel('t')
ylabel('x');
title('Oscilador de Atwood')

Oscilaciones alrededor de la posición de equilibrio estable

Como caso particular, estudiamos las oscilaciones de pequeña amplitud, alrededor de la posición de equilibrio θe

Poniendo θ=θe, en la ecuación diferencial

( 1 2 m d R 2 +m r 2 +M R 2 ) d 2 φ d t 2 =MgRmgrsin(φ+ θ e )

Desarrollando el seno de una suma, y aproximando sinφφ, cosφ≈1

( 1 2 m d R 2 +m r 2 +M R 2 ) d 2 φ d t 2 =mgrcos θ e ·φ d 2 φ d t 2 + mgrcos θ e 1 2 m d R 2 +m r 2 +M R 2 φ=0

Que es la ecuación diferencial de un MAS de frecuencia angular

ω 2 = mgrcos θ e 1 2 m d R 2 +m r 2 +M R 2 P=2π 1 2 m d R 2 +m r 2 +M R 2 g m 2 r 2 M 2 R 2

Ejemplo:

Ángulos máximo y mínimo

sin θ e = 0.1·1 0.3·0.5

La función energía potencial presenta un mínimo para θe=41.8º, y un máximo para 180- θe=138.2º

El periodo de las oscilaciones de pequeña amplitud alrededor de la posición de equilibrio estable es

 P=2π 1 2 1· 1 2 +0.3· 0.5 2 +0.1· 1 2 9.8 0.3 2 · 0.5 2 0.1 2 · 1 2 =4.93s

En la simulación, el sistema parte del reposo desde la posición θ=0. La energía inicial es cero. Cuando se encuentra en la posición θ=60º=π/3, la energía potencial vale

Ep=0.3·9.8·0.5(1-cos(π/3))-0.1·9.8·1.0·(π/3)=-0.29 J

La energía cinética es la suma de la energía cinética de rotación del disco que se mueve con velocidad angular ω, y la energía cinética del bloque que se mueve con velocidad v. La relación entre ambas velocidades es v= ω·R

Aplicando el principio de conservación de la energía

Ek+Ep=0,

0.3375ω2-0.29=0, ω=0.93 rad/s

La energía potencial vuelve a ser cero en la posición

Ep(θ)=mgr(1-cosθ)-MgR·θ=0. El ángulo θ, se obtiene resolviendo la ecuación trascendente

mr(1-cosθ)-MR·θ=0
1.5(1-cosθ)-θ=0

La raíz es θ=1.71 rad=98º, como vemos en la primera gráfica.

Actividades

Se introduce

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Se dibuja la función energía potencial, observamos el máximo y el mínimo si existen.

A la derecha, observamos el movimiento del sistema, que oscila alrededor de la posición del mínimo de energía potencial si existe, o el bloque cae si no existe posición de equilibrio estable.


Referencias

Greenslade T. B. “Atwood’s” oscillator. Am. J. Phys. 56 (12) December 1988, pp. 1151-1153