Movimiento sobre una superficie cóncava en forma de cicloide

La curva cicloide

La cicloide se produce cuando se hace rodar sin deslizar un disco sobre una superficie horizontal. Un punto del borde del disco describe una curva que se denomina cicloide (palabra griega que significa circular). A un giro del disco le corresponde un arco de la cicloide

Si el punto P en el instante inicial está en la parte superior del disco, al cabo de un cierto tiempo t las coordenadas del punto P serán, tal como se muestra en la figura

x=vc·t+R·sinφ y=R-R·cosφ

donde R es el radio del círculo y φ el ángulo girado en el tiempo t, φ=ω·t.

La relación entre la velocidad de traslación del centro de masas vc y de rotación ω alrededor de un eje que pasa por el centro de masa es vc=ω ·R.

La ecuaciones paramétricas de la cicloide son

x=R(φ+sinφ)
y=R
(1-cosφ )

Cuando φ=0, x=0, y=0, cuando φ=π, x=πR, y=2R, cuando φ=-π, x=-πR, y=2R,

La cicloide es simétrica, por lo que situamos el eje Y como eje de simetría, y el origen en la parte más baja de la curva, tal como se muestra en la figura. La ecuación de la cicloide referida a estos ejes es

x=R(φ+sinφ)
y=R
(1-cosφ)

Cuando φ=-π, x=-πR, y=2R, cuando φ=π, x=πR, y=2R,

Donde R y φ son dos parámetros

La pendiente de la cicloide en la posición x es

tanθ= dy dx = Rsinφ·dφ R(1+cosφ)·dφ = 2sin( φ 2 )cos( φ 2 ) 2 cos 2 ( φ 2 ) =tan( φ 2 )

El parámetro φ tiene un significado geométrico, φ/2 es la pendiente θ de la recta tangente a la cicloide.

Escribimos las ecuaciones paramétricas de la cicloide de forma alternativa

x=R(2θ+sin(2θ))
y=R
(1-cos(2θ))

Calculamos ahora la longitud del arco s, entre el origen y el punto de coordenadas (x, y)

d s 2 =d x 2 +d y 2 =( 4 R 2 (1+cos(2θ)) 2 +4 R 2 sin 2 (2θ) ) ( dθ ) 2 =16 R 2 cos 2 θ· ( dθ ) 2 ds=4Rcosθ·dθ s= 0 θ 4Rcosθ·dθ=4Rsinθ

La longitud de medio arco, es decir, del arco entre el origen (0, 0) y el extremo (πR, 2R) es

s= 0 π/2 4Rcosθ·dθ=4R

La trayectoria de un punto situado en el borde de una rueda de radio R que rueda sin deslizar es una cicloide. Sin embargo, el radio de curvatura de la cicloide en la posición (x, y) no es constante sino

ρ= ds dθ =4Rcosθ

El radio de curvatura es máximo en el origen ρ=4R, y es mínimo en los extremos de la trayectoria ρ=0.

Movimiento a lo largo de una cicloide (sin rozamiento)

Establecemos el mismo origen y ejes para describir el movimiento sobre la cicloide

La cicloide es simétrica, por lo que situamos el eje Y como eje de simetría, y el origen en la parte más baja de la curva, tal como se muestra en la figura. La ecuación de la cicloide referida a estos ejes es

x=R(2θ+sin(2θ))
y=R
(1-cos(2θ))

donde θ es la pendiente de la recta tangente a la cicloide en el punto x

Sobre la partícula actúan dos fuerzas: el peso mg y la reacción de la superficie N. La ecuación del movimiento en la dirección tangencial es

m d 2 s d t 2 =mgsinθ d 2 s d t 2 + g 4R s=0

La partícula describe un Movimiento Armónico Simple(MAS) de frecuencia angular ω, y periodo P

ω 2 = g 4R P=2π 4R g

Si la partícula parte en el instante t=0, del extremo izquierdo (-πR, 2R) con velocidad inicial nula. La ecuación del movimiento es

s=-4R·cos(ωt)

Siendo s la posición de la partícula a lo largo del camino en forma de cicloide. La velocidad de la partícula es

v= ds dt =4Rω·sin(ωt)

Balance energético

La partícula se encuentra en inicialmente reposo a una altura 2R, su energía es potencial E=mg·2R.

Cuando pasa por el origen s=0, ωt=π/2, la velocidad de la partícula es v=4. Su energía cinética es Ek=m(4Rω)2/2=2mgR

Comprobamos que la suma de la energía cinética Ek y potencial Ep es constante

E p =mgy=mgR( 1cos(2θ) )=2mgR sin 2 θ=2mgR s 2 16 R 2 =2mgR cos 2 ( ωt ) E k = 1 2 m v 2 = 1 2 m·16 R 2 ω 2 sin 2 ( ωt )=2mgR sin 2 ( ωt ) E p + E k =2mgR

Movimiento a lo largo de la cicloide (con rozamiento)

Sobre la partícula actúan tres fuerzas:

Descomponemos el peso y escribimos las ecuaciones del movimiento en la dirección tangencial y en la dirección normal

mat=-mgsinθ-fr
man
=N-mgcosθ

Cuando el cuerpo está deslizando, la fuerza de rozamiento vale

fr=μN

Teniendo en cuenta las definiciones de la aceleración tangencial at y la aceleración normal an,

a t = dv dt = d 2 s d t 2 a n = v 2 ρ

y eliminando la reacción N de la superficie en el punto de contacto, expresamos las dos ecuaciones del movimiento en una única ecuación diferencial

dv dt =gsinθμgcosθμ v 2 ρ

La velocidad y la aceleración se expresan en términos del parámetro θ y sus derivadas respecto del tiempo.

v= ds dt =4Rcosθ dθ dt dv dt =4Rsinθ ( dθ dt ) 2 +4Rcosθ d 2 θ d t 2

Se obtiene la ecuación diferencial de segundo orden

d 2 θ d t 2 = g 4R ( μ+tanθ )+( μ+tanθ ) ( dθ dt ) 2

que se resuelve por procedimientos numéricos con las condiciones iniciales t=0, θ=θ0, dθ/dt=0.

Cuando el cuerpo se mueve hacia la izquierda, la fuerza de rozamiento cambia de sentido, en la ecuación diferencial cambiamos +μ por – μ.

Solución numérica

mu=0.1;  %coeficiente de rozamiento
R=1; %radio
x0=zeros(1,2);
x0(1)=-89*pi/180;  %ángulo de partida
x0(2)=0;    %parte del reposo
f=@(t,x) [x(2);-(9.8/(4*R))*(sign(x(2))*mu+tan(x(1)))+
(-sign(x(2))*mu+tan(x(1)))*x(2)^2]; 
tspan=[0 8];
[t,x]=ode45(f,tspan,x0);

plot(t,4*R*sin(x(:,1)))
ylim([-4,4])
grid on
xlabel('t')
ylabel('s');
title('arco s en función del tiempo')

Velocidad de la partícula

La ecuación del movimiento se puede integrar para obtener una expresión de la velocidad v en función del parámetro θ.

dv dt =gsinθμgcosθμ v 2 ρ v dv ds =gsinθμgcosθμ v 2 4Rcosθ 1 8Rcosθ d v 2 dθ =gsinθμgcosθμ v 2 4Rcosθ

Llamando x= v 2 2Rg , nos queda la ecuación diferencial

dx dθ +2μx=2( sin(2θ)+μcos(2θ)+μ )

La solución de la ecuación diferencial completa es la suma de la solución de la ecuación diferencial homogénea y de la solución particular:

x1=Asin(2θ)+Bcos(2θ)+C

Introduciendo la solución particular en la ecuación diferencial obtenemos los valores de los coeficientes A, B y C

A= 2μ μ 2 +1 B= 1 μ 2 μ 2 +1 C=1

Buscamos la solución de la ecuación diferencial homogénea

dx dθ +2μx=0 dx x =2μ·dθ dx x = 2μ·dθ

Integrando ambos miembros obtenemos lnx=-2μθ+lnD, donde lnD es la constante de integración

x2=D·exp(-2μθ)

La solución completa de la ecuación diferencial es x=x1+x2

v 2 2Rg =Dexp(2μθ) 2μ 1+ μ 2 sin(2θ)+ 1 μ 2 1+ μ 2 cos(2θ)1

La constante D se determina a partir de las condiciones iniciales, en el instante t=0, θ=θ0, v=0

v 2 2Rg ={ 2μ 1+ μ 2 sin(2θ)+ 1 μ 2 1+ μ 2 cos(2θ)1+ exp( 2μ( θ 0 θ) )( 2μ 1+ μ 2 sin(2 θ 0 ) 1 μ 2 1+ μ 2 cos(2 θ 0 )+1 ) }

En la figura, se representa v2/(2Rg) en función de la longitud del arco s,  para varios valores del coeficiente de rozamiento μ=0.0, μ=0.25, μ=0.5 y μ=0.75. La posición de partida es θ0=-89º, s0≈-4.0.

x0=-89*pi/180;  %ángulo de partida
R=1;
hold on
%sin rozamiento
f=@(x) cos(2*x)-cos(2*x0);
g=@(s) f(asin(s/(4*R)));
fplot(g,[4*R*sin(x0),4*R*sin(-x0)])
%con rozamiento
for mu=0.25:0.25:0.75
    f=@(x) exp(2*mu*(x0-x))*((2*mu*sin(2*x0)-(1-mu^2)*cos(2*x0))
/(1+mu^2)+1)+(-2*mu*sin(2*x)+(1-mu^2)*cos(2*x))/(1+mu^2)-1;
    xf= fzero(f,0) %ángulo de llegada
    g=@(s) f(asin(s/(4*R))); %representa en función del arco
    fplot(g,[4*R*sin(x0),4*R*sin(xf)]);
end
hold off
xlim([-4,4])
grid on
xlabel('s')
ylabel('v^2/(2R·g)')
title('Cuadrado de la velocidad en función del arco s')

Cuando no hay rozamiento, la partícula vuelve a pararse es s=4.0. Cuando hay rozamiento la posición final es s<4.0.

Sucesivas posiciones de parada

Cuando no hay rozamiento, una partícula que parte de la posición θ0<0, alcanza su máxima velocidad cuando pasa por el punto más bajo de la trayectoria y se detiene momentáneamente en la posición 0, inicia el camino de vuelta y se detiene en la posición de partida θ0, y así, sucesivamente.

Cuando hay rozamiento, la partícula que parte de la posición θ0, llega hasta la posición θ1, se cumple que 0|>1|. Pueden ocurrir dos casos:

Supongamos que que la partícula prosigue el camino de vuelta hasta la posición θ2. Si se cumple que tan|θ2|≥μ, se inicia por segunda vez su camino de ida. En caso contrario, se detiene permanentemente.

Supongamos que la partícula parte de la posición θ0. Para calcular la posición de parada θ1 se pone v=0 en la ecuación y se calcula la raíz de la ecuación trascendente.

{ 2μ 1+ μ 2 sin(2θ)+ 1 μ 2 1+ μ 2 cos(2θ)1+ exp( 2μ( θ 0 θ) )( 2μ 1+ μ 2 sin(2 θ 0 ) 1 μ 2 1+ μ 2 cos(2 θ 0 )+1 ) }=0

o bien,

( 2μ 1+ μ 2 sin( 2 θ 0 ) 1 μ 2 1+ μ 2 cos( 2 θ 0 )+1 )exp( 2μ θ 0 )= ( 2μ 1+ μ 2 sin( 2θ ) 1 μ 2 1+ μ 2 cos( 2θ )+1 )exp( 2μθ )

Si se cumple que tan|θ1|≥μ la partícula continúa moviéndose hacia la izquierda, en caso contrario, se detiene permanentemente.

Supongamos que la partícula realiza el camino de vuelta, la fuerza de rozamiento cambia de signo, por lo que en la ecuación anterior cambiamos +μ por – μ. La posición de de parada θ2, es la raíz de la ecuación trascendente

( 2μ 1+ μ 2 sin( 2 θ 1 ) 1 μ 2 1+ μ 2 cos( 2 θ 1 )+1 )exp( 2μ θ 1 )= ( 2μ 1+ μ 2 sin( 2θ ) 1 μ 2 1+ μ 2 cos( 2θ )+1 )exp( 2μθ )

Si se cumple que tan|θ2|≥μ la partícula continúa moviéndose hacia la derecha, en caso contrario, se detiene permanentemente.

Supongamos que la partícula vuelve a realizar el camino de ida, la fuerza de rozamiento cambia de signo, por lo que en la ecuación anterior cambiamos +μ por – μ. La posición de parada θ3, es la raíz de la ecuación trascendente

( 2μ 1+ μ 2 sin( 2 θ 2 ) 1 μ 2 1+ μ 2 cos( 2 θ 2 )+1 )exp( 2μ θ 2 )= ( 2μ 1+ μ 2 sin( 2θ ) 1 μ 2 1+ μ 2 cos( 2θ )+1 )exp( 2μθ )

y así, sucesivamente…

R=1;
x0=-89*pi/180;  %ángulo de partida
mu=0.1;  %coeficiente de rozamiento

while tan(abs(x0))>abs(mu)
    f=@(x)  exp(2*mu*x)*((2*mu*sin(2*x)-(1-mu^2)*cos(2*x))/(1+mu^2)+1);
    g=@(x) f(x)-f(x0);
    x0=fzero(g,0); %ángulo de llegada
    disp(4*R*sin(x0))
    mu=-mu;
end
  2.8765
  -1.9300
   1.0765
  -0.2690

Balance energético

El trabajo de la fuerza de rozamiento es la diferencia entre la energía final y la energía inicial

W r = E f E i =( 1 2 m v 2 +mgy )mg y 0 = ( 1 2 m v 2 +mgR( 1cos(2θ) ) )mgR( 1cos(2 θ 0 ) )= 1 2 m v 2 +mgRcos(2 θ 0 )mgRcos(2θ)

Sustituyendo la larga expresión de v2 en esta ecuación se calcula el trabajo de la fuerza de rozamiento cuando la partícula se desplaza desde la posición θ0 a θ.

El trabajo de la fuerza de rozamiento se puede calcular también de forma directa

d W r =μN·ds=μ( mgcosθ+m v 2 R )·ds= μ( mgcosθ+m v 2 R )·4Rcosθ·dθ

Sustituyendo la larga expresión de v2 en esta ecuación, e integrando respecto del parámetro θ, obtenemos la expresión del trabajo de la fuerza de rozamiento entre las posiciones θ0 y θ

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Comprobar que el periodo de una oscilación es

P=4π R g =4π 1.0 9.8 =4.0s

es independiente de la posición inicial de partida

Observamos el movimiento de la partícula sobre la superficie cóncava en forma de cicloide, se marcan los puntos de retorno o las posiciones para los cuales la velocidad de la partícula es cero. Cuando en una de estas posiciones se cumple que tan|θi|<μ la partícula se para definitivamente. θi es el ángulo que forma la recta tangente a la cicloide en el punto de parada.

El programa interactivo, nos describe de forma cualitativa los cambios energéticos que experimenta la partícula. El círculo de mayor radio, representa la energía inicial, que se va perdiendo a causa del trabajo de la fuerza de rozamiento (en color negro). A su vez, la energía de la partícula se transforma de cinética en potencial y viceversa, tal como indican los sectores rojo y azul del círculo de menor radio que representa la energía total de la partícula en cada instante.

En la parte superior, se proporcionan los datos del tiempo t, la posición de la partícula medido por la longitud del arco s a lo largo de la cicloide y la velocidad v de la partícula.


Braquistócrona

Se trata de encontrar la curva que hace que una partícula caiga bajo la acción de la gravedad en un tiempo mínimo. Utilizaremos el cálculo variacional para obtener la ecuación de la curva

La partícula parte del origen con velocidad v=0. Cuando ha descendido una altura y, su velocidad es v, que se calcula aplicando el principio de conservación de la energía

1 2 m v 2 +mg(y)=0 v= 2gy

El tiempo que tarda la partícula en ir de A a B es la suma

I(y)= A B dt = A B ds v = 1 2g A B 1+ y ˙ 2 dx y

Aplicando la ecuación de Euler-Lagrange a la función f que no depende de x

f(x,y, y ˙ )= 1+ y ˙ 2 y

por lo que utilizamos la segunda versión de dicha ecuación

f y ˙ = y ˙ y 1+ y ˙ 2 d dx ( y ˙ f y ˙ f )=0 y ˙ 2 y 1+ y ˙ 2 1+ y ˙ 2 y =C

El resultado es

1 y 1+ y ˙ 2 =C dy dx = ky y y ky dy+ C 1 =x

Hacemos el cambio de variable

y=k sin 2 θ dy=2ksinθcosθ·dθ y ky dy =2k tanθ sinθcosθ·dθ=2k sin 2 θ·dθ=k ( 1cos(2θ) )dθ = k( θ 1 2 sin(2θ) ) x=k( θ 1 2 sin(2θ) )+ C 1

La constante C1 se determina sabiendo que la trayectoria pasa por el origen (x=0, y=0). Teniendo en cuenta que y=0, entonces k sin 2 θ=0 , tendremos que θ=0, lo que implica que C1=0

x=k( θ 1 2 sin(2θ) ) y= k 2 ( 1cos(2θ) )

Llamando R=k/2 y φ=2θ

x=R( φsinφ ) y=R( 1cosφ )

Que son las ecuaciones paramétricas de la curva denominada cicloide

Vamos a determinar los valores de a y φ para que la cicloide pase por el punto (x1, y1). Para ello, hay que resolver la ecuación trascendente

y 1 x 1 = 1cosφ φsinφ

Representamos las cicloides que parten del origen y pasan por los puntos (2,2), (1.5,1.5) y (1,2)

x1=[2,1.5,2];
y1=[2,1.5,1];
hold on
for i=1:length(x1)
    f=@(x) (1-cos(x))/(x-sin(x))-y1(i)/x1(i);
    phi=fzero(f,pi);
    a=y1(i)/(1-cos(phi));
    xp=@(th) a*(th-sin(th));
    yp=@(th) a*(1-cos(th));
    fplot(xp,yp,[0,2*pi])
    plot(x1(i),y1(i),'o','markersize',3,'markeredgecolor','r',
'markerfacecolor','r')
end
set (gca,'Ydir','reverse')
axis equal
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('cicloides')

Referencias

Villanueva J. Z. Note on the rough cycloidal slide track. Am. J. Phys. 53 (5) May 1985, pp. 490-491