Sean dos discos de masas m₁ y m₂ y radios r₁ y r₂, que pueden girar alrededor de ejes paralelos que pasan por sus centros, tal como se muestra en la figura.

En la situación inicial, el primer disco gira alrededor de su eje con velocidad angular inicial ω₀. El segundo disco está en reposo. Se acercan los dos discos, manteniendo paralelos sus ejes hasta que sus bordes entran en contacto. En el punto de contacto se originan dos fuerzas iguales y de sentido contrario debido al deslizamiento de una superficie sobre de la otra.

También se han dibujado las fuerzas sobre los ejes de cada uno de los discos, necesarias para impedir la traslación de los mismos.

• La fuerza F de color azul en el borde del primer disco, cuyo momento es F·r₁ frena el este disco, disminuyendo su velocidad angular de rotación ω₁.
• La fuerza F de color rojo en el borde del segundo disco, cuyo momento es F·r₂ acelera el este disco, aumentando su velocidad angular de rotación ω₂.

Cuando se cumpla la igualdad de las velocidades en el punto de contacto de ambos discos, no habrá deslizamiento entre las dos superficies y los discos girarán con velocidades angulares finales constantes.

Ecuaciones del movimiento

La ecuación del movimiento del primer disco de momento de inercia I₁ es

${\displaystyle I_1{\alpha }_1=-F{r}_1}$

La velocidad angular disminuye

${\displaystyle {\omega }_1={\omega }_0-\frac{F{r}_1}{I_1}t}$

La ecuación del movimiento del segundo disco de momento de inercia I₂ es

${\displaystyle I_2{\alpha }_2=-F{r}_2}$

La velocidad angular aumenta (en valor absoluto)

${\displaystyle {\omega }_2=-\frac{F{r}_2}{I_2}t}$

Cuando se cumpla la igualdad de velocidades en el punto de contacto, no habrá deslizamiento entre las superficies.

ω₁·r₁=-ω₂·r₂

Los discos girarán alrededor de sus ejes con velocidad angular constante. El tiempo t que tarda en alcanzarse esta velocidad es

${\displaystyle \left({\omega }_0-\frac{F{r}_1}{I_1}t\right)r_1=r_2\frac{F{r}_2}{I_2}t}$

Designando por t_f este tiempo

${\displaystyle t_f=\frac{I_1{I}_2}{(I_1{r}_2^2+I_2{r}_1^2)F}{r}_1{\omega }_0}$

La velocidad angular final constante de cada unos de los discos es

${\displaystyle {\omega }_{1f}=\frac{I_1{r}_2^2}{(I_1{r}_2^2+I_2{r}_1^2)}{\omega }_0{\omega }_{2f}=-\frac{I_1{r}_1{r}_2}{(I_1{r}_2^2+I_2{r}_1^2)}{\omega }_0}$

Variación del momento angular

El momento angularinicial es L_i=I₁·ω₀

El momento angular final L_f=I₁·ω_1f+I₂·ω_2f

Ambos momentos angulares como puede comprobarse no son iguales. La variación de momento angular se puede calcular a partir del impulso angular

${\displaystyle \begin{array}{l}\Delta L_1=I_1{\omega }_1-I_1{\omega }_0={\displaystyle \underset{0}{\overset{t_f}{\int }}(-F·r_1)dt}\\ \Delta L_2=I_2{\omega }_2={\displaystyle \underset{0}{\overset{t_f}{\int }}(-F·r_2)dt}\end{array}}$

Si consideramos a los dos discos como un sistema, observamos dos clases de fuerzas

• Las fuerzas interiores o de interacción mutua entre los dos discos, que actúan en el punto de contacto y que son iguales, y de sentido contrario.

• Las fuerzas exteriores que actúan en cada uno de los ejes de los discos, necesarias para impedir el movimiento de traslación de los discos.

El momento de las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema no es cero. Ya que dichos momentos los hemos de calcular con respecto de un único punto. Elijamos el centro del primer disco

M_ext=F·0 -F·(r₁+r₂)=-F·r₁-F·r₂

El impulso angular, como podemos comprobar, es igual a la variación del momento angular total final menos el inicial.

${\displaystyle {\displaystyle \underset{0}{\overset{t_f}{\int }}{M}_{ext}·dt}=-{\displaystyle \underset{0}{\overset{t_f}{\int }}F·r_{1}dt-}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t_f}{\int }}F·r_{2}dt}=(I_1{\omega }_1+I_2{\omega }_2)-I_1{\omega }_0}$

La consecuencia de que el momento de las fuerzas exteriores no sea cero es que el momento angular total no permanece constante. Habitualmente olvidamos dibujar las fuerzas sobre los ejes de rotación lo equivocadamente nos conduce a aplicar el principio de conservación del momento angular a este sistema.

Balance energético

Energía cinética de rotación, inicial

${\displaystyle E_i=\frac{1}{2}{I}_1{\omega }_0^2}$

La energía final

${\displaystyle E_f=\frac{1}{2}{I}_1{\omega }_{1f}^2+\frac{1}{2}{I}_2{\omega }_{2f}^2}$

La variación de energía cinética es

${\displaystyle \Delta E_k=-\frac{1}{2}\frac{I_2{I}_1{r}_1^2}{(I_1{r}_2^2+I_2{r}_1^2)}{\omega }_0^2}$

Calculamos el trabajo del momento de las fuerzas interiores o de interacción entre los discos F iguales y de sentido contrario que actúan en el punto de contacto. Las fuerzas exteriores que actúan en los ejes de los discos no realizan trabajo alguno.

${\displaystyle W={\displaystyle \underset{0}{\overset{{\theta }_{1f}}{\int }}(-F{r}_1)d\theta +}{\displaystyle \underset{0}{\overset{{\theta }_{2f}}{\int }}(-F{r}_2)d\theta }=-F(r_1{\theta }_{1f}+r_2{\theta }_{2f})}$

Calculamos mediante las ecuaciones  de la Cinemática, el ángulo girado por cada una de las ruedas desde el momento en que entran en contacto hasta el instante t_f, en el que las velocidades angulares de los discos se hacen constantes.

${\displaystyle {\theta }_{1f}={\omega }_0{t}_f-\frac{1}{2}\frac{F{r}_1}{I_1}{t}_f^2{\theta }_{2f}=-\frac{1}{2}\frac{F{r}_2}{I_2}{t}_f^2}$

Después de hacer algunas operaciones, comprobaremos que el trabajo realizado por las fuerzas interiores es igual a la variación de energía cinética

W=ΔE_k

Ejemplos

Ejemplo1:

• Radios de los discos r₁=1.0 m, r₂=0.5 m
• Masas de los discos m₁=1.0 kg, m₂=0.8 kg
• Fuerza de rozamiento entre las superficies en contacto, F=0.1 N
• Velocidad angular inicial del disco izquierdo, ω₀=2 rad/s

Los momentos de inercia de los discos se calculan mediante la fórmula I=mr²/2, I₁=0.5 kg·m², I₂=0.1 kg·m². Calculamos

• La velocidad angular de cada uno de los discos en función del tiempo

${\displaystyle \begin{array}{l}{\omega }_1={\omega }_0-\frac{F{r}_1}{I_1}t{\omega }_1=2-0.2t\\ {\omega }_2=-\frac{F{r}_2}{I_2}t{\omega }_2=-0.5t\end{array}}$

Los discos alcanzan una velocidad angular constante cuando se cumpla que

ω₁·r₁=-ω₂·r₂             (2-0.2·t)·1=-(-0.5·t)·0.5      t_f=4.44 s

La velocidad angular final de los discos es

ω_1f=2-0.2·4.44=1.11 rad/s
ω_2f=-0.5·4.44=-2.22 rad/s

• El ángulo girado por el primer disco hasta el instante t_f =4.44 s es

${\displaystyle {\theta }_{1f}={\omega }_0{t}_f-\frac{1}{2}\frac{F{r}_1}{I_1}{t}_f^2{\theta }_{1f}=\text{2·4}\text{.44-}\frac{\text{1}}{\text{2}}\frac{\text{0}\text{.1·1}}{\text{0}\text{.5}}\text{ 4}{\text{.44}}^{\text{2}}=\text{6}\text{.91}\text{rad }}$

El ángulo girado por el segundo disco hasta dicho instante es

${\displaystyle {\theta }_{2f}=-\frac{1}{2}\frac{F{r}_2}{I_2}{t}_f^2=-\frac{1}{2}\frac{0.1·0.5}{0.1}{4.44}^2=-4.94\text{rad}}$

• Los momentos angulares inicial y final son

L_i=I₁·ω₀=0.5·2=1 kgm²/s
L_f=I₁ω_1f+I₂·ω_2f=0.5·1.11+0.1·(-2.22)=0.33 kgm²/s

La variación de momento angular es

ΔL=L_f-L_i=0.33-1=-0.67 kgm²/s

• El momento de las fuerzas exteriores es

M_ext= -F·(r₁+r₂)=-0.1(1+0.5)=-0.15 N·m

• El impulso angular es

M_ext·t_f=-0.15·4.44=-0.67 kgm²/s

El impulso angular de las fuerzas exteriores es igual a la variación del momento angular.

• La energía cinética inicial es

${\displaystyle E_i=\frac{1}{2}{I}_1{\omega }_0^2=\frac{1}{2}0.5·2^2=1\text{J}}$

La energía cinética final es

${\displaystyle E_f=\frac{1}{2}{I}_1{\omega }_{1f}^2+\frac{1}{2}{I}_2{\omega }_{2f}^2=\frac{1}{2}0.5·{1.11}^2+\frac{1}{2}0.1·{2.22}^2=0.56\text{J}}$

La variación de energía es

ΔE=E_f-E_i=-0.44 J

• El trabajo realizado por las fuerzas de rozamiento en el punto de contacto es

${\displaystyle W=(-F{r}_1){\theta }_{1f}+(-F{r}_2){\theta }_{2f}=(-0.1·1)·6.91+(-0.1·0.5)·(-4.94)=-0.44\text{J}}$

El trabajo de dichas fuerzas es igual a la variación de la energía cinética del sistema formado por los dos discos.

Ejemplo 2:

• Radios de los discos r₁=1.0 m, r₂=1.0 m
• Masas de los discos m₁=1.0 kg, m₂=1.0 kg
• Fuerza de rozamiento entre las superficies en contacto, F=0.1 N
• Velocidad angular inicial del disco izquierdo, ω₀=2 rad/s

Los momentos de inercia de los discos se calculan mediante la fórmula I=mr²/2, I₁=0.5 kg·m², I₂=0.5 kg·m². Calculamos

• La velocidad angular de cada uno de los discos en función del tiempo

 ω₁=2-0.2·t
 ω₂=-0.2·t

Los discos alcanzan una velocidad angular constante cuando se cumpla que

ω₁·r₁=-ω₂·r₂             (2-0.2·t)·1=-(-0.2·t)·1      t_f=5 s

La velocidad angular final de los discos es

ω_1f=2-0.2·5=1 rad/s
ω_2f=-0.2·5=-1 rad/s

• Los ángulos girados por los discos hasta el instante t_f =5 s son

θ_1f=7.5 rad
θ_2f=-2.5 rad

• Los momentos angulares inicial y final son

L_i=I₁·ω₀=0.5·2=1 kgm²/s
L_f=I₁ω_1f+I₂·ω_2f=0.5·1+0.5·(-1)=0 kgm²/s

La variación de momento angular es

ΔL=L_f-L_i=0-1=-1 kgm²/s

• El momento de las fuerzas exteriores es

M_ext= -F·(r₁+r₂)=-0.1(1+1)=-0.2 N·m

• El impulso angular es

M_ext·t_f=-0.2·5=-1 kgm²/s

El impulso angular de las fuerzas exteriores es igual  a la variación del momento angular.

• Las energías cinéticas inicial y final

E_i= 1 J
E_f=0.5 J

La variación de energía es

ΔE=E_f-E_i=-0.5 J

• El trabajo realizado por las fuerzas de rozamiento en el punto de contacto es

${\displaystyle W=(-F{r}_1){\theta }_{1f}+(-F{r}_2){\theta }_{2f}=(-0.1·1)·7.5+(-0.1·1)·(-2.5)=-0.5\text{J}}$

El trabajo de dichas fuerzas es igual a la variación de la energía cinética del sistema formado por los dos discos.

Actividades

Se introduce

• El radio r₁ del disco izquierdo (en cm), en el control titulado Radio izquierdo.
• El radio r₂ del disco derecho (en cm), en el control titulado Radio derecho.
• La masa m₁ del disco izquierdo se ha fijado en 1 kg
• La masa m₂ del disco derecho (en kg), en el control titulado Masa derecha
• La velocidad angular inicial de rotación ω₀ (en rad/s), en el control titulado V. angular.
• La fuerza de rozamiento F (en N), cuando los bordes de los discos deslizan al entrar en contacto.

Se pulsa el botón titulado Nuevo y a continuación, ►.

Observamos que el disco izquierdo empieza a girar alrededor de su eje, el disco derecho permanece en reposo.

Se pulsa el botón titulado Acopla.

Los bordes de ambos discos entran en contacto, actúa la fuerza de rozamiento F, disminuyendo la velocidad angular de rotación del primer disco y aumentando la del segundo. Al cabo de cierto tiempo t_f los discos giran con velocidades angulares constantes ω_1f y ω_2f.

A la izquierda, se representa, dos barras verticales de color.

En la primera, se efectúa el balance energético.

• la energía del disco de la izquierda (en color rojo)
• la del disco de la derecha (en color azul).

La energía total del sistema formado por los dos discos, vemos que disminuye hasta que se alcanza un valor constante en el instante t_f.

La segunda barra representa el momento angular

• el momento angular del disco izquierdo (en color rojo), su signo es positivo
• el momento angular del disco derecho (en color azul), su signo es negativo

El momento angular total es la diferencia entre las longitudes de la barra de color rojo y de color azul. Comprobamos que el momento angular disminuye hasta el instante t_f a partir del cual permanece constante.

Referencias

Robinson W, Watson B. A misuse of angular momentum conservation. Am. J. Phys. 53 (1) January 1985. pp. 82-83