Conservación del momento lineal y angular en las colisiones de dos discos (I)
En la figura, se muestra un esquema de la colisión de dos discos de masas m1 y m2 y radios r1 y r2, respectivamente. El segundo disco está en reposo , mientras que el primero lleva una velocidad antes del choque. El choque está caracterizado por el denominado parámetro de impacto b, que es la distancia entre la dirección de la velocidad del primer disco y el centro del segundo disco en reposo.
Después del choque, el primer disco se mueve con velocidad haciendo un ángulo φ1 con eje horizontal (dirección de la velocidad del disco incidente) y a su vez, gira alrededor de un eje perpendicular al disco y que pasa por su centro, con velocidad angular ω1. El segundo disco, se mueve con velocidad haciendo un ángulo φ2 con el eje horizontal y a su vez, gira alrededor de de un eje perpendicular al disco y que pasa por su centro, con velocidad angular ω2.
Tenemos que despejar seis incógnitas del sistema de ecuaciones que describe el choque entre dos discos:
- Los módulos de las velocidades de los c.m. de los discos después del choque v1 y v2, y sus direcciones φ1 y φ2
- Las velocidades angulares de rotación de cada uno de los discos alrededor de un eje perpendicular al disco y que pasa por el c.m. ω1 y ω2.
Choques frontales
Los choques frontales son las más fáciles de describir ya que solamente, precisan la aplicación del principio de conservación del momento lineal y la definición de coeficiente de restitución.
m1u1 =m1v1+m2v2 (1)
-e·u1=v1-v2p (2)
Choques oblicuos
Parámetro de impacto

Se denomina parámetro de impacto b, a la distancia entre la dirección de la velocidad u1 del primer disco y el centro del segundo disco en reposo. Relacionamos el parámetro de impacto b y el ángulo θ que forma la dirección de la velocidad u1 del primer disco y la recta que pasa por los centros de ambos discos, cuando entran en contacto en el momento del choque, tal como se puede apreciar en la figura.
b=(r1+r2)·sinθ
Conservación del momento lineal
-
a lo largo del eje X
-
a lo largo del eje Y
m1u1 =m1v1x+m2v2x (1)
0=m1v1y+m2v2y (2)
Conservación del momento angular
- Se conserva el momento angular del disco 1 respecto del punto de contacto P.
- Se conserva el momento angular del disco 2 respecto del punto de contacto P.
-m1·r1·u1sinθ= I1ω1- m1·r1·(v1xsinθ+ v1ycosθ) (3)
0=I2ω2 +m2·r2·(v2xsinθ+ v2ycosθ) (4)
Balance energético. Coeficiente de restitución
La definición de coeficiente de restitución es
(5)
Cuando los discos están en contacto
-
No hay deslizamiento
- Hay deslizamiento
- La reacción N,
- La fuerza de rozamiento F
- La reacción N,
- La fuerza de rozamiento F
Consideremos el caso de que no hay deslizamiento de un disco respecto del otro en el punto de contacto P. Las velocidades de los dos discos en el punto de contacto P serán iguales.
r1ω1+v1xsinθ+ v1ycosθ= -r2ω2 + v2xsinθ+ v2ycosθ (6)
Las fuerzas sobre el disco azul en el punto de contacto son:
Si las superficie lateral del disco azul desliza sobre la del rojo, la relación entre ambas fuerzas es F=μ·N
La fuerza N actuando durante el pequeño intervalo de tiempo Δt en el que los discos están en contacto modifica la componente del momento lineal del disco en la dirección de dicha fuerza. Lo mismo cabe decir de la fuerza F.
μ(v1ysinθ-v1xcosθ+u1cosθ)=- v1xsinθ-v1ycosθ+u1sinθ (6)
Las fuerzas sobre el disco rojo en el punto de contacto son:
iguales y de sentido contrario a las que se ejercen sobre el disco azul.
μ(v2xcosθ-v2ysinθ)=v2xsinθ+v2ycosθ (7)
Resolución del sistema de ecuaciones
Llamamos M=m1/m2
El momento de inercia de un sólido rígido en rotación alrededor de un eje fijo es
I=kmr2 con k=1/2 para un disco
El sistema de seis ecuaciones con seis incógnitas se escribe.
Mv1x+v2x= Mu1+u2 (1)
Mv1y+v2y=0 (2)
v1xsinθ+ v1ycosθ-kr1ω1= u1sinθ (3)
v2xsinθ+ v2ycosθ +kr2ω2 =0 (4)
-v1xcosθ + v1ysinθ+v2xcosθ-v2ysinθ=eu1cosθ (5)
v1xsinθ+ v1ycosθ - v2xsinθ-v2ycosθ +r1ω1+r2ω2 =0 (6) No desliza
(- μcosθ+sinθ)v1x+(μsinθ +cosθ) v1y=u1(sinθ- μcosθ) (6) Desliza
Para resolver el sistema de ecuaciones lineales, cambiamos el orden de las ecuaciones para evitar que los elementos de la diagonal de la matriz cuadrada (más abajo) sean nulos
No desliza
v1xsinθ+ v1ycosθ - v2xsinθ- v2ycosθ +r1ω1+r2ω2 =0 (6)
Mv1y+v2y=0
(2)
Mv1x+v2x= Mu1+u2
(1)
-v1xcosθ + v1ysinθ+v2xcosθ-v2ysinθ=eu1cosθ
(5)
v1xsinθ+ v1ycosθ-kr1ω1= -u1sinθ
(3)
v2xsinθ+ v2ycosθ +kr2ω2=0
(4)
En forma matricial escribimos el sistema
Se resuelve el sistema de ecuaciones se evalúa el primer y segundo miembro de la ecuación (6) caso "desliza"
A=μ(v1ysinθ-v1xcosθ+u1cosθ)
B=- v1xsinθ-v1ycosθ+u1sinθ
Si A>B se mantiene el resultado, en caso contrario se resuelve el sistema alternativo
- Desliza
(- μcosθ+sinθ)v1x+(μsinθ +cosθ) v1y=u1(sinθ-
μcosθ) (6)
Mv1y+v2y=0
(2)
Mv1x+v2x= Mu1+u2
(1)
-v1xcosθ + v1ysinθ+v2xcosθ-v2ysinθ=eu1cosθ
(5)
v1xsinθ+ v1ycosθ-kr1ω1= -u1sinθ
(3)
v2xsinθ+ v2ycosθ +kr2ω2 =0
(4)
En forma matricial escribimos el sistema
Comprobamos que la solución es correcta en este caso, verificándose la ecuación
μ(v2xcosθ-v2ysinθ)=v2xsinθ+v2ycosθ (7)
Procedimiento de cálculo
Llamamos M a la matriz, X al vector columna de las incógnitas y B al vector columna de los términos independientes
M·X=B
Despejamos el vector columna de las incógnitas
X=M-1·B
M-1 es la matriz inversa de M. En sintaxis de MATLAB
X=M\B
M=1; %cociente m1/m2 entre las masas de los discos u1=3.5; %velocidad inicial del primer disco (el segundo en reposo) e=0.94; %coeficiente de restitución mu=0.1; %coeficiente de rozamiento ang=48.6*pi/180; %ángulo incidente k=0.5; %momento de inercia de los discos (1/2)mr^2 if ang==0 %choques frontales v1=(M-e)*u1/(1+M); v2=M*(1+e)*u1/(1+M); fi1=.0; fi2=0.0; w1=0.0; w2=0.0; else matriz=[[sin(ang), cos(ang), -sin(ang), -cos(ang), 1, 1]; [0, M, 0, 1, 0, 0]; [M, 0, 1, 0, 0, 0]; [-cos(ang), sin(ang), cos(ang), -sin(ang),0, 0]; [sin(ang), cos(ang), 0, 0, -k, 0]; [0, 0, sin(ang), cos(ang), 0, k]]; vector=[0,0,M*u1, e*u1*cos(ang),u1*sin(ang),0]'; solucion=matriz\vector; V1x=solucion(1); V1y=solucion(2); V2x=solucion(3); V2y=solucion(4); w1=solucion(5); w2=solucion(6); A=mu*(V1y*sin(ang)-(V1x-u1)*cos(ang)); B=u1*sin(ang)-V1x*sin(ang)-V1y*cos(ang); if A<B matriz(1,1)=sin(ang)-mu*cos(ang); matriz(1,2)=cos(ang)+mu*sin(ang); matriz(1,3)=0; matriz(1,4)=0; matriz(1,5)=0; matriz(1,6)=0; vector(1)=-mu*u1*cos(ang)+u1*sin(ang); solucion=matriz\vector; V1x=solucion(1); V1y=solucion(2); V2x=solucion(3); V2y=solucion(4); w1=solucion(5); w2=solucion(6); end v1=sqrt(V1x*V1x+V1y*V1y); fi1=atan2(V1y,V1x); v2=sqrt(V2x*V2x+V2y*V2y); fi2=atan2(V2y,V2x); end Q=M*v1*v1/2+M*k*w1*w1/2+v2*v2/2+k*w2*w2/2-M*u1*u1/2; fprintf('Disco 1: velocidad v1=%1.3f, rotación w1=%1.3f, ángulo fi1=%2.2f\n',v1,w1,fi1*180/pi) fprintf('Disco 2: velocidad v2=%1.3f, rotación w2=%1.3f, ángulo fi2=%2.2f\n',v2,w2,fi2*180/pi) fprintf('Energía perdida Q=%1.3f\n',Q)
Disco 1: velocidad v1=2.402, rotación w1=-0.449, ángulo fi1=39.74 Disco 2: velocidad v2=2.256, rotación w2=-0.449, ángulo fi2=-42.89 Energía perdida Q=-0.594
Ejemplo
Comprobaremos, la conservación del momento lineal y del momento angular de los discos, a partir de los datos suministrados por el programa interactivo.
Datos relativos a los discos
- Las masas de los discos, m1=1, m2=1, por lo que M=m1/m2=1
- Los radios de los discos r1=1, r2=1
- Discos ambos de acero, e=0.94 y μ =0.10
Antes del choque
- Velocidad inicial u1=3.5 del primer disco
- Parámetro de impacto b=1.5, por lo que sinθ=1.5/(1+1), θ=48.60º
Después del choque
- Velocidad del primer disco v1=2.40, dirección φ1=39.75º (por encima de la horizontal)
- Velocidad del segundo disco v2=2.26, dirección φ2=-42.88º (por debajo de la horizontal)
- Velocidad angular del primer disco r1·ω1=-0.45, o bien ω1=-0.45 (gira en el sentido de las agujas del reloj)
- Velocidad angular del segundo disco r2·ω2=-0.45, o bien ω2=-0.45
Conservación del momento lineal
- Antes del choque
- Después del choque
Conservación del momento angular
- Se conserva el momento angular del disco 1 respecto del punto de contacto P.
- Se conserva el momento angular del disco 2 respecto del punto de contacto P.
Balance energético

El momento lineal inicial del primer disco (el segundo está inicialmente en reposo) es igual a la suma vectorial de los momentos lineales de los discos después del choque.
m1u1=m1v1cosφ1+m2v2cosφ2
0=m1v1sinφ1+m2v2sinφ2
Eje X: 1·3.5=3.5
Eje Y: 0.0
Eje X: 1·2.40·cos39.75+1·2.26·cos(-42.88)=3.49
Eje Y: 1·2.40·sin39.75+2·2.26·sin(-42.88)=0.003≈ 0.0
El momento lineal se conserva
-m1·r1·u1sinθ= I1ω1- m1·r1·v1sin(θ+φ1)
-1·1·3.5·sin48.60=1·12·(-0.45)/2-1·1·2.40·sin(48.60+39.75)
(Las velocidades angulares son positivas en el sentido contrario al de las agujas del reloj)
0=I2ω2 +m2·r2·v2sin(θ+φ1)
0=1·12·(-0.45)/2-1·1·2.26·sin(48.60+-42.88)
Energía inicial
Ei=6.125
Energía final
Ef=5.535
Energía perdida en la colisión Q=Ef-Ei=-0.590
Ejemplo 2º Choques frontales
Datos relativos a los discos
- Masas de los discos m2=1, m1=0.5, por lo que M=m1/m2=0.5
- Discos ambos de acero, e=0.94
Antes del choque
- Velocidad inicial u1=3.5 del primer disco
- Parámetro de impacto b=0.0, por lo que θ=0º
Después del choque
- Velocidad del primer disco v1=-1.03
- Velocidad del segundo disco v2=2.26,
- Conservación del momento lineal
- Antes del choque
- Después del choque
- Balance energético
Eje X: 1.3.5=3.5
Eje X: -1·1.03+2·2.26=3.49
Se conserva el momento lineal
Antes del choque
Después del choque
Energía perdida en la colisión Q=Ef-Ei=-0.243