Conservación del momento lineal y angular en las colisiones de dos discos (I)

En la figura, se muestra un esquema de la colisión de dos discos de masas m1 y m2 y radios r1 y r2, respectivamente. El segundo disco está en reposo u2=0, mientras que el primero lleva una velocidad u1 antes del choque. El choque está caracterizado por el denominado parámetro de impacto b, que es la distancia entre la dirección de la velocidad u1 del primer disco y el centro del segundo disco en reposo.

Después del choque, el primer disco se mueve con velocidad v1 haciendo un ángulo φ1 con eje horizontal (dirección de la velocidad u1 del disco incidente) y a su vez, gira alrededor de un eje perpendicular al disco y que pasa por su centro, con velocidad angular ω1.El segundo disco, se mueve con velocidad v2 haciendo un ángulo φ2 con el eje horizontal y a su vez, gira alrededor de de un eje perpendicular al disco y que pasa por su centro, con velocidad angular ω2.

Tenemos que despejar seis incógnitas del sistema de ecuaciones que describe el choque entre dos discos:

Choques frontales

Los choques frontales son las más fáciles de describir ya que solamente, precisan la aplicación del principio de conservación del momento lineal y la definición de coeficiente de restitución.

m1u1 =m1v1+m2v2           (1)

 -e·u1=v1-v2p                 (2)

v 1 = (Me) M+1 u 1 v 2 = M(1+e) M+1 u 1 M= m 1 m 2

Choques oblicuos

Parámetro de impacto

Se denomina parámetro de impacto b, a la distancia entre la dirección de la velocidad u1 del primer disco y el centro del segundo disco en reposo. Relacionamos el parámetro de impacto b y el ángulo θ que forma la dirección de la velocidad u1 del primer disco y la recta que pasa por los centros de ambos discos, cuando entran en contacto en el momento del choque, tal como se puede apreciar en la figura.

b=(r1+r2)·sinθ

Conservación del momento lineal

Conservación del momento angular

Balance energético. Coeficiente de restitución

La definición de coeficiente de restitución es

e= ( v 1x cosθ v 1y sinθ)( v 2x cosθ v 2y sinθ) u 1 cosθ                  (5)

Cuando los discos están en contacto

Resolución del sistema de ecuaciones

Llamamos M=m1/m2

El momento de inercia de un sólido rígido en rotación alrededor de un eje fijo es

I=kmr2 con k=1/2 para un disco

El sistema de seis ecuaciones con seis incógnitas se escribe.

Mv1x+v2x= Mu1+u2         (1)

Mv1y+v2y=0                      (2)

v1xsinθ+ v1ycosθ-kr1ω1= u1sinθ            (3)

v2xsinθ+ v2ycosθ +kr2ω2 =0                     (4)

-v1xcosθ + v1ysinθ+v2xcosθ-v2ysinθ=eu1cosθ           (5)

v1xsinθ+ v1ycosθ - v2xsinθ-v2ycosθ +r1ω1+r2ω2 =0      (6)   No desliza

(- μcosθ+sinθ)v1x+(μsinθ +cosθ) v1y=u1(sinθ- μcosθ)   (6) Desliza

Para resolver el sistema de ecuaciones lineales, cambiamos el orden de las ecuaciones para evitar que los elementos de la diagonal de la matriz cuadrada (más abajo) sean nulos

Se resuelve el sistema de ecuaciones se evalúa el primer y segundo miembro de la ecuación (6) caso "desliza"

A=μ(v1ysinθ-v1xcosθ+u1cosθ)
B=- v1xsinθ-v1ycosθ+u1sinθ

Si A>B se mantiene el resultado, en caso contrario se resuelve el sistema alternativo

(- μcosθ+sinθ)v1x+(μsinθ +cosθ) v1y=u1(sinθ- μcosθ)    (6)
Mv1y+v2y=0                                                                       (2)
Mv1x+v2x= Mu1+u2                                                           (1)
-v1xcosθ + v1ysinθ+v2xcosθ-v2ysinθ=eu1cosθ                  (5)
v1xsinθ+ v1ycosθ-kr1ω1= -u1sinθ                                     (3)
v2xsinθ+ v2ycosθ +kr2ω2 =0                                              (4)

En forma matricial escribimos el sistema

( -μcosθ+sinθ μsinθ+cosθ 0 0 0 0 0 M 0 1 0 0 M 0 1 0 0 0 cosθ sinθ cosθ sinθ 0 0 sinθ cosθ 0 0 k 0 0 0 sinθ cosθ 0 k )( v 1x v 1y v 2x v 2y r 1 ω 1 r 2 ω 2 )=( u 1 (sinθμcosθ) 0 M u 1 e u 1 cosθ u 1 sinθ 0 )

Comprobamos que la solución es correcta en este caso, verificándose la ecuación

μ(v2xcosθ-v2ysinθ)=v2xsinθ+v2ycosθ                       (7)

Procedimiento de cálculo

Llamamos M a la matriz, X al vector columna de las incógnitas y B al vector columna de los términos independientes

M·X=B

Despejamos el vector columna de las incógnitas

X=M-1·B

M-1 es la matriz inversa de M. En sintaxis de MATLAB

X=M\B

M=1; %cociente m1/m2 entre las masas de los discos
u1=3.5; %velocidad inicial del primer disco (el segundo en reposo)
e=0.94; %coeficiente de restitución
mu=0.1; %coeficiente de rozamiento
ang=48.6*pi/180; %ángulo incidente 
k=0.5; %momento de inercia de los discos (1/2)mr^2
if ang==0   %choques frontales
     v1=(M-e)*u1/(1+M);
     v2=M*(1+e)*u1/(1+M);
     fi1=.0;
     fi2=0.0;
     w1=0.0;
     w2=0.0;    
else
    matriz=[[sin(ang), cos(ang), -sin(ang), -cos(ang), 1, 1];
        [0, M, 0, 1, 0, 0];
        [M, 0, 1, 0, 0, 0];
        [-cos(ang), sin(ang), cos(ang), -sin(ang),0, 0];
        [sin(ang), cos(ang), 0, 0, -k, 0];
        [0, 0, sin(ang), cos(ang), 0, k]];    
    
    vector=[0,0,M*u1, e*u1*cos(ang),u1*sin(ang),0]';
    solucion=matriz\vector;
   
    V1x=solucion(1);
    V1y=solucion(2);
    V2x=solucion(3);
    V2y=solucion(4);
    w1=solucion(5);
    w2=solucion(6);
    A=mu*(V1y*sin(ang)-(V1x-u1)*cos(ang));
    B=u1*sin(ang)-V1x*sin(ang)-V1y*cos(ang);
    if A<B
          matriz(1,1)=sin(ang)-mu*cos(ang);
          matriz(1,2)=cos(ang)+mu*sin(ang);
          matriz(1,3)=0;
          matriz(1,4)=0;
          matriz(1,5)=0;
          matriz(1,6)=0;
          vector(1)=-mu*u1*cos(ang)+u1*sin(ang);
          solucion=matriz\vector;
          V1x=solucion(1);
          V1y=solucion(2);
          V2x=solucion(3);
          V2y=solucion(4);
          w1=solucion(5);
          w2=solucion(6);
    end
    v1=sqrt(V1x*V1x+V1y*V1y);
    fi1=atan2(V1y,V1x);
    v2=sqrt(V2x*V2x+V2y*V2y);
    fi2=atan2(V2y,V2x);
end
Q=M*v1*v1/2+M*k*w1*w1/2+v2*v2/2+k*w2*w2/2-M*u1*u1/2;
fprintf('Disco 1: velocidad v1=%1.3f, rotación w1=%1.3f, 
ángulo fi1=%2.2f\n',v1,w1,fi1*180/pi)  
fprintf('Disco 2: velocidad v2=%1.3f, rotación w2=%1.3f, 
ángulo fi2=%2.2f\n',v2,w2,fi2*180/pi)
fprintf('Energía perdida Q=%1.3f\n',Q)
Disco 1: velocidad v1=2.402, rotación w1=-0.449, ángulo fi1=39.74
Disco 2: velocidad v2=2.256, rotación w2=-0.449, ángulo fi2=-42.89
Energía perdida Q=-0.594

Ejemplo

Comprobaremos,  la conservación del momento lineal y del momento angular de los discos, a partir de los datos suministrados por el programa interactivo.

Datos relativos a los discos

Antes del choque

Después del choque

  1. Conservación del momento lineal

  2. El momento lineal inicial del primer disco (el segundo está inicialmente en reposo) es igual a la suma vectorial de los momentos lineales de los discos después del choque.

    m1u1=m1v1cosφ1+m2v2cosφ2
    0=m1v1sinφ1+m2v2sinφ2

  3. Conservación del momento angular

  4. Balance energético

  5. Energía inicial E i = 1 2 m 1 u 1 2

    Ei=6.125

    Energía final E f = 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 + 1 2 I 1 ω 1 2 + 1 2 I 2 ω 2 2

    Ef=5.535

    Energía perdida en la colisión Q=Ef-Ei=-0.590

Ejemplo 2º Choques frontales

Datos relativos a los discos

Antes del choque

Después del choque

  1. Conservación del momento lineal
  2. Balance energético
  3. Antes del choque

    E i = 1 2 0.5· 3.5 2 =3.062

    Después del choque

    E f = 1 2 0.5· 1.03 2 + 1 2 1· 2.26 2 =2.819

    Energía perdida en la colisión Q=Ef-Ei=-0.243