Simulación de los giros del patinador de hielo.

M ext = dL dt M ext =0L=cte

Para un sólido rígido que gira alrededor de un eje principal de inercia L=I·ω.

El aumento de la velocidad angular se explica por la disminución del momento de inercia.

El principio de conservación del momento angular para el patinador se escribe I1·ω1=I2·ω2

Como el momento de inercia I2<I1 por estar los brazos  más cerca del eje de rotación del cuerpo, la velocidad angular se incrementa ω21.

Conservación del momento angular

En la figura, vemos el sistema formado por

Inicialmente, el sistema gira alrededor del eje que pasa por O, con velocidad angular constante ω0. Un dispositivo mantiene sujetas las dos masas deslizantes a una distancia r0 del eje. Vamos a determinar la velocidad angular de rotación cuando se liberan las dos masas deslizantes.

El momento angular inicial es

L=( I v +m r 0 2 ) ω 0

El momento angular final, cuando las dos masas deslizantes se encuentran en el origen r=0, es

L=Iv·ω

Al disminuir el momento de inercia, aumenta la velocidad angular de rotación ω>ω0.

ω= I v +m r 0 2 I v ω 0

Movimiento de las masas deslizantes

Vamos a estudiar el movimiento de las dos masas deslizantes, desde el estado inicial al final.

Nos situamos en el Sistema de Referencia no inercial que gira con la varilla con velocidad angular ω. Sobre cada una de las masas (m/2), situadas a una distancia r del eje de rotación, se ejercen las siguientes fuerzas:

Bajo la acción de estas fuerzas la masa m/2 experimenta una aceleración a en la dirección radial, a lo largo de la varilla

La segunda ley de Newton se escribe

m 2 a= m 2 ω 2 rkr

Ahora bien, la velocidad angular de rotación ω, no es constante, su dependencia con r se obtiene de la conservación del momento angular L=(Iv+mr2)ω,

m 2 a= m 2 L 2 ( I v +m r 2 ) 2 rkr

La ecuación diferencial que describe el movimiento de una masa en la dirección radial, es decir, en el Sistema de Referencia que se mueve con la varilla es

d 2 r d t 2 = r L 2 ( I v +m r 2 ) 2 2k m r

Integramos esta ecuación diferencial mediante procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=0, la velocidad radial de la masa dr/dt=0, y su distancia al eje r=r0.

r0=0.8; %posicón inicial de las masas deslizantes
w0=1;  %velocidad angular inicial
m=0.5; %masa de los dos bloques
Iv=1/12; %momento de inercia de la varilla
k=1; %constante del muelle
L=(m*r0*r0+Iv)*w0; %momento angular
x0=zeros(1,2);
x0(1)=r0;  %posición de partida
x0(2)=0;
f=@(t,x) [x(2);x(1)*L^2/(Iv+m*x(1)^2)^2-2*k*x(1)/m]; 
tspan=[0 4];
[t,x]=ode45(f,tspan,x0);
plot(t,x(:,1))
grid on
xlabel('t')
ylabel('r');
title('Posición radial en función del tiempo')
figure
plot(t,w0*(Iv+m*r0^2)./(Iv+m*x(:,1).^2))
grid on
xlabel('t')
ylabel('\omega');
title('Velocidad angular en función del tiempo')

Conocida la distancia r de las masas deslizantes al eje de rotación en el instante t, se calcula la velocidad angular ω de rotación sabiendo que el momento angular L permanece constante.

( I v +m r 2 )ω=( I v +m r 0 2 ) ω 0

Curvas de energía potencial

La energía inicial del sistema, cuando las masas se encuentran sujetas, es la suma de

La suma de los dos primeros términos, es la energía cinética de rotación del sistema formado por la varilla y las dos masas.

E=2·( 1 2 m 2 ω 0 2 r 0 2 )+ 1 2 I v ω 0 2 +2( 1 2 k r 0 2 )= 1 2 (m r 0 2 + I v ) ω 0 2 +k r 0 2

Cuando se liberan las dos masas y se encuentran a una distancia r del eje de rotación. La energía del sistema formado por la varilla, las dos masas y los dos muelles elásticos iguales, se escribe en coordenadas polares

E= 1 2 m( ( dr dt ) 2 + r 2 ( dθ dt ) 2 )+ 1 2 I v ω 2 +k r 2

Teniendo en cuanta que el momento angular es constante, expresamos la energía E del sistema en función de r y de su derivada dr/dt,

E= 1 2 m ( dr dt ) 2 + 1 2 (m r 2 + I v ) L 2 ( I v +m r 2 ) 2 +k r 2 = 1 2 m ( dr dt ) 2 + 1 2 L 2 I v +m r 2 +k r 2

Dividimos la energía E entre las dos masas iguales, podemos considerar que cada una de ellas se mueve en un potencial efectivo

V ef (r)= 1 4 L 2 I v +m r 2 + 1 2 k r 2

La fuerza resultante sobre cada una de las masas se obtiene derivando la energía potencial y cambiando de signo.

f(r)= d V ef (r) dr = m 2 L 2 ( I v +m r 2 ) 2 rkr= m 2 ω 2 rkr

que como vemos es la diferencia entre la fuerza centrífuga y la fuerza que ejerce el muelle comprimido.

En la figura, tenemos la representación del potencial efectivo de las dos masas que salen de la posición inicial r0, con velocidad radial dr/dt=0. Si su energía total es E (recta horizontal), las masas llegan al origen r=0 al cabo de un cierto tiempo.

Cuando las masas están a una distancia r del origen, se representa mediante un segmento vertical rojo su energía potencial efectiva y mediante un segmento de color azul, la energía cinética correspondiente a su movimiento en la dirección radial, a lo largo de la varilla.

Observaremos que la velocidad angular de rotación ω, crece hasta que se hace máxima cuando las masas se pegan al eje.

En la figura, tenemos una situación distinta, las masas salen de la posición inicial r0, con velocidad radial dr/dt=0. Si su energía total es E, no alcanzan el eje de rotación, sino que se aproximan al mismo a una distancia r1, cambian el sentido de la velocidad, se alejan del eje hasta que alcanzan la posición inicial de partida y así, continúan oscilando en la dirección radial.

Observaremos que la velocidad angular de rotación ω, crece hasta que se hace máxima cuando las masas se acercan al eje y luego, disminuye cuando se alejan del eje.

Calculamos la distancia r1 poniendo dr/dt=0 en la expresión de la energía total E. Obtenemos una ecuación de cuarto grado en r que reducimos a una ecuación de segundo grado, cuyas soluciones son r0 y r1. Véase el ejemplo 2 más abajo.

Si la constante elástica, k es pequeña y las masas son grandes, cuando se liberan, se mueven alejándose del eje central hasta que llegan a los extremos de la varilla.

Ejemplos

Ejemplo 1:

Observamos que al cabo de un cierto tiempo, las masas se quedan pegadas al eje de rotación

Ejemplo 2:

Con los mismos datos del ejemplo anterior, cambiamos el momento angular, variando la distancia al eje de rotación de las dos masas r0=0.9.

La energía del sistema formado por las dos masas, la varilla y los dos muelles es

E= 1 2 (m r 0 2 + I v ) ω 0 2 +k r 0 2 = 1 2 ( 0.5· 0.9 2 + 1 12 )· 1 2 +1· 0.9 2 =1.05J

Las dos masas se mueven hacia el origen, pero retroceden cambiando el sentido de su velocidad radial cuando se encuentran a la distancia r1 que se calcula poniendo dr/dt=0 en la expresión de la energía total E en función de r.

E= 1 2 L 2 I v +m r 2 +k r 2

Después de algunas operaciones, nos queda la ecuación

2mkr4+2(Ivk-mE)r2+L2-2IvE=0

Con los datos de este ejemplo

r4-0.8875r2+0.0628=0

Sustituyendo x=r2 tenemos una ecuación de segundo grado cuyas raíces son x1=0.81, y x2=0.0775, o sus correspondientes r1=0.9, y r2=0.28.

Ejemplo 3:

Observamos que las dos masas se alejan del eje, hasta que llegan a los extremos de la varilla.

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Observamos la rotación del sistema, con velocidad angular ω0=1 rad/s, las dos masas están separadas una distancia r0 del eje de rotación mediante un dispositivo.

A la derecha, se representa la energía potencial efectiva Vef(r) y la energía total E del sistema mediante una recta horizontal. La curva y la recta se encuentran en el punto de abscisa r0.

Se pulsa el botón titulado Libera

Observamos el movimiento de las masas a lo largo de la varilla. En la parte superior izquierda, se proporciona los datos de sus distancias al eje y de la velocidad angular de rotación ω del sistema.



Referencias

Kalotas T. M. Lee A.R.. A simple device to illustrate angular momentum conservation and instability. Am. J. Phys. 58 (1) January 1990, pp. 80-81