Caída de la bola

El centro de masas de la bola desciende una altura h, como consecuencia su velocidad al llegar al suelo y=0 es

${\displaystyle \begin{array}{l}y=h+\frac{1}{2}(-g)t^2\\ v=(-g)t\end{array}\}v=-\sqrt{2gh}}$

Choque de la bola con el suelo

La bola antes del choque tiene una velocidad:

• angular de rotación, ω₀
• de traslación de su c.m., $v_y=-\sqrt{2gh}$

Después del choque la bola tendrá una

• Velocidad angular de rotación, ω
• Las componentes de la velocidad de traslación de su c.m. serán: v_0x y v_0y

Coeficiente de restitución

De la definición de coeficiente de restitución e obtenemos la componente v_0y de la velocidad después del choque vale

${\displaystyle v_{0y}=e\sqrt{2gh}}$

Conservación del momento angular

Como las fuerzas que ejerce la pared sobre bola actúan en el punto de contacto P. El momento de dichas fuerzas respecto de P es cero. El momento angular respecto de dicho punto será constante.

Para una bola de radio r y momento de inercia I=2mr²/5.

• El momento angular inicial respecto de P es

-Iω₀

• El momento angular final respecto de P

-Iω-mv_0xr

La conservación del momento angular se escribe

Iω₀ =Iω+mv_0xr

Fuerzas sobre la bola

Las fuerzas sobre la bola en el momento del choque son:

• La reacción del suelo N
• El peso mg que es muy pequeño comparado con N, tal como se explicó en la página anterior.
• La fuerza de rozamiento que se opone a la velocidad del punto P de contacto de la bola con el suelo, como consecuencia disminuirá la velocidad de rotación ω e incrementará la velocidad v_x de traslación del c.m.

v_P=v_x-ωr

La bola permanece en contacto con el suelo un tiempo pequeño Δt. Al final de este intervalo de tiempo pueden ocurrir dos casos:

1. La bola rueda sin deslizar

Para que le bola ruede sin deslizar, la velocidad del punto P de contacto de la bola con el suelo deberá ser nula.

v_0x= ωr

De la conservación del momento angular

Iω₀ =Iω+mωr²

Las velocidades finales después del choque son

${\displaystyle \omega =\frac{2}{7}{\omega }_0{v}_{0x}=\frac{2}{7}r{\omega }_0}$

2. La bola desliza

Si la fuerza de rozamiento no tiene tiempo suficiente para establecer el equilibrio entre rotación y traslación, es decir, v_P<0, el punto de contacto P desliza sobre el suelo.

• La reacción N actuando durante un intervalo de tiempo Δt, modifica la componente vertical de la velocidad de la bola.
• La fuerza de rozamiento F_r actuando durante un intervalo de tiempo Δt, modifica la componente horizontal de la velocidad de la bola.

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\Delta t}{\int }}N·dt}=m{v}_{0y}-m\left(-\sqrt{2gh}\right)=m(1+e)\sqrt{2gh}\\ {\displaystyle \underset{0}{\overset{\Delta t}{\int }}{F}_r·dt}=m{v}_{0x}\end{array}}$

Como el punto P desliza sobre el suelo, F_r=μN

Llegamos a la relación

${\displaystyle v_{0x}=\mu (1+e)\sqrt{2gh}}$

De la conservación del momento angular

Iω₀ =Iω+mv_0xr

${\displaystyle \omega ={\omega }_0-\frac{5\mu (1+e)\sqrt{2gh}}{2r}}$

Para que esta solución sea válida se tiene que cumplir que v_P<0, es decir que ωr>v_0x

${\displaystyle \begin{array}{l}\left({\omega }_0-\frac{5\mu (1+e)\sqrt{2gh}}{2r}\right)r>\mu (1+e)\sqrt{2gh}\\ {\omega }_{0}r>\frac{7}{2}\mu (1+e)\sqrt{2gh}\end{array}}$

Balance energético del choque entre la bola y el suelo rígido

La energía cinética inicial de la bola es

${\displaystyle E_i=mgh+\frac{1}{2}\left(\frac{2}{5}m{r}^2\right){\omega }_0^2}$

La energía cinética final de la bola es

${\displaystyle E_f=\frac{1}{2}m{v}_{0x}^2+\frac{1}{2}m{v}_{0y}^2+\frac{1}{2}I{\omega }^2=\frac{1}{2}m{v}_{0x}^2+e^{2}mgh+\frac{1}{2}\frac{2}{5}m{r}^2{\omega }^2}$

En el primer caso,

${\displaystyle Q=E_f-E_i=-\frac{1}{7}m{r}^2{\omega }_0^2-(1-e^2)mgh}$

En el segundo caso

${\displaystyle Q=E_f-E_i=-(1-e^2)mgh+\frac{7}{2}m{\mu }^2{\left(1+e\right)}^{2}gh-mr\mu (1+e){\omega }_0\sqrt{2gh}}$

Tiro parabólico

Una vez que la bola ha chocado con el suelo, describe una trayectoria parabólica. Las ecuaciones del movimiento son.

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{a}_x=0\\ a_y=-g\end{array}\{\begin{array}{l}{v}_x=v_{0x}\\ v_y=v_{0y}+(-g)t\end{array}\{\begin{array}{l}x=v_{0x}t\\ y=v_{0y}t+\frac{1}{2}(-g)t^2\end{array}}$

La altura máxima se calcula con v_y=0

${\displaystyle y=\frac{1}{2}\frac{v_{0y}^2}{g}=e^{2}h}$

El alcance se calcula con y=0. Hay dos posibles resultados, dependiendo del valor de v_0x

${\displaystyle x=\frac{2v_{0x}{v}_{0y}}{g}\{\begin{array}{l}\frac{4}{7}r{\omega }_{0}e\sqrt{\frac{2h}{g}}\\ 4\mu e(1+e)h\end{array}}$

Ejemplos

Ejemplo 1.

• Coeficiente de rozamiento, μ=0.1
• Coeficiente de restitución, e=0.9
• Velocidad angular inicial de rotación, ω₀=30 rad/s
• Radio de la esfera, r=0.1 m
• Altura de caída, h=1.0 m

Calculamos las componentes de la velocidad después del choque y la velocidad angular de rotación.

La componente vertical vale

${\displaystyle \begin{array}{l}{v}_{0y}=e\sqrt{2gh}\\ v_{0y}=0.9\sqrt{2·9.8·1.0}=3.98\text{m/s}\end{array}}$

Calculamos la velocidad angular inicial crítica

${\displaystyle \begin{array}{l}{\omega }_{0c}r=\frac{7}{2}\mu (1+e)\sqrt{2gh}\\ {\omega }_{0c}=\frac{7}{2}\frac{0.1·(1+0.9)\sqrt{2·9.8·1.0}}{0.1}=29.44\text{rad/s}\end{array}}$

Como ω₀>ω_0c la componente horizontal de la velocidad v_0x y la velocidad angular de rotación ω valen, respectivamente,

$$\begin{gathered} {\displaystyle \begin{array}{l}\omega ={\omega }_0-\frac{5\mu (1+e)\sqrt{2gh}}{2r}{v}_{0x}=\mu (1+e)\sqrt{2gh}\\ \omega =30-\frac{5·0.1(1+0.9)\sqrt{2·9.8·1.0}}{2·0.1}=8.97\text{rad/s} \\ {v}_{0x}=0.1(1+0.9)\sqrt{2·9.8·1.0}=0.84\text{m/s}\end{array}} \end{gathered}$$

El alcance es

${\displaystyle x=\frac{2v_{0x}{v}_{0y}}{g}=\frac{2·0.84·3.98}{9.8}=0.684\text{m}}$

Ejemplo 2.

• Cambiamos la velocidad angular inicial de rotación, ω₀=20 rad/s

Como ω₀<ω_0c la bola al final del choque rueda sin deslizar, la velocidad del punto de contacto P con el suelo es v_P=0. La componente horizontal de la velocidad v_0x y la velocidad angular de rotación ω valen, respectivamente

${\displaystyle \begin{array}{l}\omega =\frac{2}{7}{\omega }_0{v}_{0x}=\frac{2}{7}r{\omega }_0\\ \omega =\frac{40}{7}\text{rad/s}{v}_{0x}=\frac{4}{7}\text{m/s}\end{array}}$

El alcance es

${\displaystyle x=\frac{2v_{0x}{v}_{0y}}{g}=\frac{2·0.57·3.98}{9.8}=0.465\text{m}}$

Actividades

Se introduce

• El coeficiente de rozamiento μ, en el control titulado Coef. rozamiento.
• El coeficiente de restitución e, en el control titulado Restitución
• La velocidad angular inicial de rotación de la bola ω₀, en el control titulado V. angular.
• Se ha fijado el radio de la bola r=0.1 m=10 cm y la altura de caída del centro de la bola h=1.0 m

Se pulsa el botón titulado Nuevo

El programa interactivo calcula inmediatamente después del choque de la bola con el suelo

• La componente horizontal de la velocidad del c.m. de la bola, v_0x
• La componente vertical de la velocidad del c.m. de la bola, v_0y
• La velocidad angular de rotación, ω

Podemos observar el movimiento de la bola, medir su alcance y altura máxima. Detenemos la bola en el segundo rebote.