Consideremos una partícula de masa m con velocidad inicial u que choca con sólido rígido en reposo formado por dos partículas iguales A y B de masa M situadas en los extremos de una varilla rígida de longitud 2L y de masa despreciable, tal como se muestra en la figura.

Supondremos que la partícula de masa m choca con la partícula A más cercana. El movimiento del sistema está contenido en una superficie plana en la que se supone que no hay rozamiento.

En la figura de la izquierda, se muestra la situación inicial y en la de la derecha la situación final: la partícula lleva una velocidad v y el sólido describe un movimiento de rotación alrededor de su centro de masas con velocidad angular ω y su centro de masas se traslada con velocidad V_c.

El sistema formado por la partícula y sólido es aislado, la resultante de las fuerzas exteriores es cero, por lo que son aplicables los principios de conservación del momento lineal y angular.

• Principio de conservación del momento lineal

${\displaystyle \overrightarrow{F_{ext}}=\frac{d\overrightarrow{P}}{dt}\overrightarrow{F_{ext}}=0\overrightarrow{P}=\text{cte}}$

mu=2MV_c+mv

• Principio de conservación del momento angular

${\displaystyle \overrightarrow{M_{ext}}=\frac{d\overrightarrow{L}}{dt}\overrightarrow{M_{ext}}=0\overrightarrow{L}=\text{cte}}$

El momento angular respecto del c.m. antes y después del choque es
mu·Lsinθ=mvLsinθ+I_cω

donde I_c=2ML²es el momento de inercia de las dos partículas A y B respecto de un eje perpendicular a la varilla y que pasa por el c.m. y ω es la velocidad angular de rotación

La definición de coeficiente de restitución e nos proporciona la tercera ecuación

La velocidad de la partícula de masa m antes del choque es u y después del choque es v

La partícula A antes del choque está en reposo, después del choque, la componente horizontal de su velocidad es Vc+ωLsinθ

• la velocidad relativa de acercamiento es u-0
• la velocidad relativa de alejamiento es v-( Vc+ωLsinθ)

El coeficiente de restitución e se define

v-( Vc+ωLsinθ)=-e(u-0)

Después de algunas operaciones obtenemos

• La velocidad V_c de traslación del c.m. del sólido

${\displaystyle V_c=\frac{1+e}{2\frac{M}{m}+1+{\sin }^2\theta }u=fuf=\frac{1+e}{2q+1+{\sin }^2\theta }q=\frac{M}{m}}$

• La velocidad angular ω de rotación del sólido rígido de un eje que pasa por el c.m.

${\displaystyle \omega =\frac{f\sin \theta }{L}u}$

• La velocidad v de la partícula después del choque

${\displaystyle v=\left(1-2qf\right)u}$

El balance energético de la colisión es

${\displaystyle \begin{array}{l}{E}_i=\frac{1}{2}m{u}^2\\ E_f=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}2M{V}_c^2+\frac{1}{2}{I}_c{\omega }^2\\ \Delta E=E_f-E_i=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}2M{V}_c^2+\frac{1}{2}2M{L}^2{\omega }^2=\\ \frac{1}{2}m{\left(1-2qf\right)}^2{u}^2+\frac{1}{2}2M{f}^2{u}^2+\frac{1}{2}2M{L}^2\frac{f^2{\sin }^2\theta }{L^2}{u}^2-\frac{1}{2}m{u}^2=\\ \frac{1}{2}m{u}^2\left(2q(2q+1+{\sin }^2\theta )f^2-4qf\right)=\\ \frac{1}{2}m{u}^2\frac{2q(e^2-1)}{2q+1+{\sin }^2\theta }\end{array}}$

Ejemplo:

• Velocidad inicial de la partícula u=1.0 m/s
• Cociente de masas q=M/m=1.5
• Ángulo que forma la varilla con la horizontal θ=30º
• Coeficiente de restitución e=0.7
• Longitud de la varilla que une las partículas A y B del sólido 2L=1.0 m

${\displaystyle \begin{array}{l}f=\frac{1+e}{2q+1+{\sin }^2\theta }=\frac{1+0.7}{2·1.5+1+{\sin }^{2}30}=0.4\\ V_c=fu=0.4·1=0.4\text{m/s}\\ \omega =\frac{f\sin \theta }{L}u=\frac{0.4\sin 30}{0.5}=0.4\text{rad/s}\\ v=(1-2qf)u=(1-2·1.5·0.4)·1=-0.2\text{m/s}\end{array}}$

Balance energético

$$\begin{gathered} {\displaystyle \begin{array}{l}{E}_i=\frac{1}{2}m{u}^2=\frac{1}{2}1·1^2=0.5\text{J}\\ E_f=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}2M{V}_c^2+\frac{1}{2}{I}_c{\omega }^2=\frac{1}{2}1·{0.2}^2+\frac{1}{2}2·1.5·{0.4}^2+\frac{1}{2}(2·1.5·{0.5}^2){0.4}^2= \\ 0.32\text{J}\\ \Delta E=E_f-E_i=0.32-0.5=-0.18\text{J}\\ \Delta E=\frac{1}{2}m{u}^2\frac{2q(e^2-1)}{2q+1+{\sin }^2\theta }=\frac{1}{2}1·1^2\frac{2·1.5({0.7}^2-1)}{2·1.5+1+{\sin }^{2}30}=-0.18\text{J}\end{array}} \end{gathered}$$

Caso particular

Como caso particular tenemos aquél en el que θ=0. Esto es equivalente al choque de dos partículas una de masa m y velocidad u y otra de masa 2M inicialmente en reposo.

Las ecuaciones que describen este choque son

• Conservación del momento lineal
  mu=2MV_c+mv
• Definición de coeficiente de restitución
  v-V_c=-e·u

Despejamos las incógnitas v y V_c

${\displaystyle \begin{array}{l}{V}_c=\frac{1+e}{1+2q}u\\ v=V_c-eu=\frac{1-2qe}{1+2q}u\end{array}}$

Actividades

Se introduce

• El cociente q=M/m, en el control titulado Cociente masas M/m.
• El coeficiente de restitución e, en el control titulado Coef. de restitución.
• La longitud de la varilla 2L se mantiene fija e igual a 1 m.
• La velocidad u de la partícula incidente se mantiene fija e igual a 1.0 m/s.

Se pulsa el botón titulado Nuevo

La partícula incidente se mueve hacia la partícula A del sólido. Choca y observamos el movimiento de la partícula incidente (de color rojo) después del choque, y el movimiento de traslación y de rotación del sólido.

En la parte superior derecha, se nos proporciona los datos relativos a las velocidades

• v de la partícula después del choque
• V_c de traslación del c.m. del sólido
• ω de rotación del sólido alrededor de un eje que pasa por el c.m.

En la parte inferior izquierda, se representa un diagrama en forma de tarta que muestra como se distribuye la energía después del choque. Los sectores representan:

• La energía cinética de la partícula incidente después del choque $E_1=\frac{1}{2}m{v}^2$ (en color rojo).
• La energía cinética de traslación del c.m. del sólido $E_2=\frac{1}{2}M{V}_c^2$ (en color azul).
• La energía cinética de rotación del sólido $E_3=\frac{1}{2}{I}_c{\omega }^2$ (en color gris)

Si el choque es elástico, la energía inicial es igual a la final. Si el choque no es elástico la energía inicial es mayor que la final. Un círculo de mayor radio de color gris claro indica la energía inicial y el de menor radio dividido en sectores la energía final.

La partícula se pega al sólido

Principio de conservación del momento lineal

mu=(2M+m)V_c

Donde V_c es la velocidad del centro de masas que ahora no coincide con la mitad de la varilla O, sino que está situado a una distancia

${\displaystyle h=\frac{m}{2M+m}L}$

Principio de conservación del momento angular

Calculamos el momento angular respecto del centro de masas.

• El momento angular inicial es mu(L-h)sinθ
• El momento angular final es el sistema formado por el sólido y la partícula pegada a su extremo describiendo un movimiento de rotación  alrededor de un eje que pasa por el c.m.

${\displaystyle \left(2M{L}^2+2M{h}^2+m{(L-h)}^2\right)\omega }$

2ML²+2Mh² es el momento de inercia del sólido respecto de un eje que pasa por el c.m. (teorema de Steiner)

Igualando el momento angular inicial al final, despejamos la velocidad angular de rotación

${\displaystyle \begin{array}{l}mu(L-h)\sin \theta =\left(2M{L}^2+2M{h}^2+m{(L-h)}^2\right)\omega \\ \omega =\frac{m\sin \theta }{2(M+m)L}u\end{array}}$

Choque de una partícula con un sólido rígido

Un bloque de masa M y longitud d, descansa sobre dos apoyos situados en sus extremos. Una bala de masa m y velocidad v se incrusta en el extremo derecho del bloque.

Justamente después del choque, el centro de masa del sistema bloque-bala se mueve con velocidad inicial V, y gira alrededor de un eje que pasa por el centro de masa con velocidad angular ω.

Sistema aislado

Supongamos que el sistema formado por el bloque y la bala es aislado

El centro de masas del sistema se encuentra a una distancia x_c del extremo izquierdo

${\displaystyle x_c=\frac{M\frac{d}{2}+md}{M+m}=\frac{M+2m}{2\left(M+m\right)}d}$

El momento de inercia reespecto del eje que pasa por el c.m. es

${\displaystyle I=\frac{1}{12}M{d}^2+M{\left(x_c-\frac{d}{2}\right)}^2+m{\left(d-x_c\right)}^2=\left(\frac{M}{12}+\frac{mM}{4\left(M+m\right)}\right)d^2=\frac{M^2+4mM}{12\left(M+m\right)}{d}^2}$

Conservación del momento lineal y del momento angular respecto del centro de masas

${\displaystyle \{\begin{array}{l}\left(M+m\right)V=mv\\ I\omega =mv\left(d-x_c\right)\end{array}}$

Despejamos la velocidad V del c.m. y de la velocidad angular de rotación ω alrededor de un eje que pasa por el c.m.

${\displaystyle V=\frac{m}{M+m}v,\omega =\frac{6m}{M+4m}\frac{v}{d}}$

Sistema no aislado

El sistema formado por el bloque y la bala no es aislado, ya que en el momento del choque el apoyo izquierdo ejerce una fuerza F

Cuando la bala impacta en el bloque, el movimiento de rotación en sentido contrario a las agujas del reloj del bloque hace que el apoyo ejerza una fuerza F sobre el bloque, lo que produce un impulso.

La fuerza F tiene la misma dirección que la velocidad V del c.m., esto origina la altura extra que alcanza el bloque que rota. La misma fuerza F causa un impulso angular que se opone a la velocidad angular de rotación ω.

• Movimiento de traslación. El impulso de la fuerza F, cambia el momento lineal del conjunto bala-bloque

${\displaystyle \left(M+m\right)V-mv={\displaystyle \underset{0}{\overset{\Delta t}{\int }}F·dt}}$

• Movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masas

${\displaystyle I\omega -mv\left(d-x_c\right)=-{\displaystyle \underset{0}{\overset{\Delta t}{\int }}\left(F{x}_c\right)·dt}}$

En el sistema de dos ecuaciones eliminamos el impulso de la fuerza F desconocida

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}\left(M+m\right)V-mv={\displaystyle \underset{0}{\overset{\Delta t}{\int }}F·dt}\\ \frac{I\omega -mv\left(d-x_c\right)}{x_c}=-{\displaystyle \underset{0}{\overset{\Delta t}{\int }}F·dt}\end{array}\\ \left(M+m\right)V-mv+\frac{I\omega -mv\left(d-x_c\right)}{x_c}=0\end{array}}$

Sabiendo que la velocidad del punto de apoyo P es nula, relacionamos las velocidades V de traslación del c.m. y ω

${\displaystyle \begin{array}{l}\overrightarrow{v_P}=\overrightarrow{V}+\overrightarrow{\omega }\times \left(\overrightarrow{r_P}-\overrightarrow{r_{cm}}\right)\\ \{\begin{array}{l}\overrightarrow{V}=V\widehat{j}\\ \overrightarrow{\omega }=\omega \widehat{k}\\ \overrightarrow{r_P}-\overrightarrow{r_{cm}}=-x_c\widehat{i}\end{array}\\ \overrightarrow{v_P}=V\widehat{j}-\omega x_c\widehat{j}\end{array}}$

La relación es

${\displaystyle \begin{array}{l}\overrightarrow{v_P}=0\\ V=\omega x_c\end{array}}$

Despejamos la velocidad V del c.m. y de la velocidad angular de rotación ω alrededor de un eje que pasa por el c.m.

${\displaystyle \begin{array}{l}\left(M+m\right)\omega x_c-mv+\frac{I\omega -mv\left(d-x_c\right)}{x_c}=0\\ \left(\left(M+m\right)x_c^2+I\right)\omega =mv{x}_c+mv\left(d-x_c\right)\\ \omega =\frac{mvd}{\left(M+m\right)x_c^2+I}=\frac{3m\left(M+m\right)}{M^2+4mM+3m^2}\frac{v}{d}\\ V=\omega x_c=\frac{3m\left(M+2m\right)}{2\left(M^2+4mM+3m^2\right)}v\end{array}}$

Representamos V/v en función de m/M

${\displaystyle \frac{V}{v}=\frac{3x\left(1+2x\right)}{2\left(1+4x+3x^2\right)},x=\frac{m}{M}}$

f=@(x) (3*x.*(1+2*x))./(2*(1+4*x+3*x.^2));
fplot(f,[0,1])
line([0,0.2],[0,3*0.2/2],'color','r')
grid on
xlabel('m/M')
ylabel('V/v')
title('Traslación del c.m.')

Aproximación, la masa de la bala m es mucho menor que la del bloque M

${\displaystyle \frac{V}{v}\approx \frac{3}{2}\frac{m}{M}}$

La línea de color rojo en la figura, de pendiente 3/2

Después del choque el centro de masas del bloque asciende una altura h

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{2}M{V}^2=Mgh\\ h=\frac{9}{8g}{\left(\frac{m}{M}v\right)}^2\end{array}}$

Si el sistema bloque-bala fuera aislado, entonces

${\displaystyle \begin{array}{l}V\approx \frac{m}{M}v\\ h\text{'}=\frac{1}{2g}{\left(\frac{m}{M}v\right)}^2\end{array}}$

El hecho de que el sistema bala-bloque no sea aislado, añade la altura extra que alcanza el bloque

${\displaystyle \frac{h}{h\text{'}}=\frac{9}{4}}$

Referencias

Mungan C. E. Collision of a ball with a barbell and related impulse problems. Eur. J. Phys. 28 (2007) 563-568.

Este artículo está disponible en la dirección: https://www.usna.edu/Users/physics/mungan/Publications/Publications.php#fndtn-panel120162017

E. Roger Cowley, George K. Horton, Brian E. Holton. Another Surprise in Mechanics. The Physics Teacher. Vol. 37, March 1999. pp. 188-191

WANG Cheng-hui，CHEN Shi MO Run-yang，BIAN Xiao-bing. Illustration of collisions between a material particle and a rigid body. College Physics. 2015, 34 (10)

Carl E. Mungan. Impulse and work for the bullet-block Veritasium video. letters to Editor, The Physics Teacher, Vol. 53, September 2015. pp. 325-326