Choque de un disco contra una pared rígida

Las fuerzas que actúan sobre la pelota son: el peso mg, la fuerza normal o reacción del suelo N, y la fuerza de rozamiento Fr=μN. Durante el choque el peso mg es despreciable frente a la fuerza normal N.

Consideremos una pelota de tenis que se deja caer desde un metro de altura, que tiene un coeficiente de restitución de e=0.78 y que el tiempo de contacto de la pelota con el suelo es de Δt=0.005 s. La velocidad de la pelota antes del choque es uy y la velocidad de la pelota después del choque es vy=–e·uy. La aceleración es

a y = u y (e u y ) Δt = 2gh (1+e) Δt =1600 m/s 2

mucho mayor que la aceleración de la gravedad g=9.8 m/s2 . Como

may=N-mg

Por tanto, el peso mg se puede despreciar frente a la fuerza normal N.

En general, es bastante complicado el análisis del choque de una pelota con el suelo, ya que la pelota modifica en mayor o menor grado su forma esférica durante el choque. Por otra parte, una pelota no es un cuerpo homogéneo, sino una capa esférica delgada hecha de goma en cuyo interior hay aire a presión. Para evitar estas complicaciones, en esta página vamos a estudiar el choque de un disco indeformable con una pared rígida.

Modelo simple de choque de un disco con una pared rígida

Definimos el coeficiente de restitución e como

e= v 1 v 2 u 1 u 2

donde v1 y v2 son las velocidades del las partículas después del choque y u1 y u2 las velocidades antes del choque.

La partícula 2 es ahora la pared cuya velocidad antes y después del choque es cero u2=v2=0

El disco se acerca hacia la pared con una velocidad u1=u·cosθ y se aleja de la pared con una velocidad v1=-v·cosφ .

La relación entre velocidades será

u·sinθ =v·sinφ
u·e·cosθ =v·cosφ .

La relación entre los ángulos de incidencia θ y reflexión φ  es 

tanθ =e·tanφ

Conocido el coeficiente de restitución e y el ángulo de incidencia θ, calculamos el ángulo de reflexión φ. Conocida la velocidad de la partícula incidente u, obtenemos la velocidad de la partícula reflejada v.

Choque de un disco con una pared rígida

  1. De la definición de coeficiente de restitución tenemos
  2. e·u·cosθ =v·cosφ  (1)

  3. Momento angular respecto de P, punto de contacto con la pared rígida.
  4. Como las fuerzas que ejerce la pared sobre el disco actúan en P. El momento de dichas fuerzas respecto de P es cero. El momento angular respecto de dicho punto será constante.

    M ext = dL dt M ext =0L=cte

    La constancia del momento angular para un disco de momento de inercia I=mr2/2, que gira con velocidad angular ω en el sentido indicado después del choque, se escribe

    r·mv·sinφ +I·ω =r·mu·sinθ   

    rω=2sinθ  -2sinφ   (2)

Tenemos dos ecuaciones y tres incógnitas

Precisamos una ecuación más para resolver el problema.

Fuerzas sobre el disco

El disco permanece en contacto con la pared un tiempo pequeño Δt. Las fuerzas sobre el disco son:

vP=vx-ω r

Inicialmente la velocidad de traslación del c.m. es vx=sinθ y la velocidad angular de rotación es ω=0. La fuerza de rozamiento disminuirá la velocidad de traslación del c.m. e incrementará la velocidad de rotación. Al final del intervalo de tiempo Δt pueden ocurrir dos casos:

  1. El disco no desliza
  2. La velocidad del punto P de contacto entre el disco y la pared es cero.

    vP=v·sinφ-ωr=0   (3)

    Resolviendo un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas

    Estas tres ecuaciones nos permiten determinar la velocidad del disco después del choque v, su velocidad angular de rotación ω y el ángulo φ que forma con la dirección normal a la pared, con los datos de la velocidad inicial u y del ángulo de incidencia θ .

    Despejamos rω de la ecuación (3) y sustituimos en la ecuación (2)

    sinφ  =(2/3)·u·sinθ
    cosφ  =e·u·cosθ

    tanφ= 2tanθ 3e

    La velocidad angular de rotación ωr se despeja en las ecuación (3)

    ω r=(2/3)sinθ .

    Balance energético

    La energía cinética inicial del disco es

    E i = 1 2 m u 2

    La energía cinética final del disco es

    E f = 1 2 m v 2 + 1 2 I ω 2 = 1 2 m v 2 + 1 4 m ( ωr ) 2

    La energía Q perdida en la colisión es

    Q= E f E i = 1 2 m u 2 ( e 2 1+( 2 3 e 2 ) sin 2 θ )

  3. El disco desliza
  4. La pared ejerce sobre el disco dos fuerzas, la reacción N y la fuerza F que se opone a que el disco deslice sobre la pared y que es de sentido contrario a vP>0, la velocidad del punto de contacto entre el disco y la pared. La fuerza de rozamiento F disminuirá la velocidad de traslación del c.m. y aumentará la velocidad angular de rotación. En este caso, el intervalo de tiempo Δt que dura el choque no es suficiente para que se establezca el equilibrio entre traslación y rotación vP=0.

    La fuerza N actuando durante el pequeño intervalo de tiempo Δt que el disco está en contacto con la pared modifica la componente normal del momento lineal del disco. De modo análogo, el impulso de la fuerza F modifica la componente paralela al plano del momento lineal del disco.

    0 Δt N·dt =mvcosφ(mucosθ) 0 Δt F·dt =mvsinφmusinθ

    Teniendo en cuenta la relación entre ambas fuerzas, F=μ·N, obtenemos la ecuación que sustituye a (3)

    -mv·sinφ +mu·sinθ (mv·cosφ +mu·cosθ )   (3)

    Resolviendo un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas

    Sustituimos cosφ de la ecuación (1) en la (3)

    sinφ =u·sinθ -μ u(1+e)·cosθ
    cosφ =e·u·cosθ

    Dividiendo miembro a miembro por la ecuación (1), nos permite establecer la relación entre el ángulo de incidencia θ , y el reflejado φ

    tanφ= 1 e ( tanθμ(1+e) )

    Una vez calculado el ángulo φ,  despejamos la velocidad angular del disco rω de la ecuación (2)

    rω=2sinθ  -2sinφ =2μ (1+ecosθ

    Balance energético

    La energía perdida en la colisión Q vale

    Q= 1 2 m v 2 + 1 2 ( 1 2 m r 2 ) ω 2 1 2 m u 2 = 1 2 m u 2 ( ( e 2 +3 μ 2 (1+e) 2 1 ) cos 2 θμ(1+e)sin2θ )

Ángulo crítico

Cuando el disco no desliza vP=0, la relación entre la fuerza F y la reacción N es desconocida. La relación entre el ángulo reflejado y el incidente como hemos visto es

tanφ= 2 3e tanθ

Cuando el disco desliza vP≠ 0, la relación entre ambas fuerzas es F=μ·N,

tanφ= 1 e ( tanθμ(1+e) )

El ángulo crítico incidente θc será aquél en la que el disco comienza a deslizar cumpliéndose ambas condiciones a la vez (supondremos que el coeficiente de rozamiento estático y dinámico son iguales). Por tanto,

tanθc=3μ (1+e)

Caso particular: Choque elásticos

Cuando μ =0 y e=1,

El ángulo crítico θL=0. Para cualquier ángulo incidente θ estamos en el caso el disco desliza

Ejemplos

En la tabla tenemos los datos correspondientes al coeficiente de rozamiento μ y al coeficiente de restitución e.

Materiales Coef. restitución e Coef. de rozamiento μ
Acero-acero 0.94 0.10
Aluminio-aluminio 0.61 0.12
Latón-latón 0.57 0.11
Acero-latón 0.65 0.10
Aluminio-latón 0.55 0.10
Acero-aluminio 0.62 0.09

Fuente: Doménech A, Doménech M.T. Colisiones inelásticas de esferas. Revista Española de Física 4, 3 (1990) págs. 52-56.

Elegimos, acero-acero

El ángulo crítico es

tanθc=3μ (1+e)       θc=8.8º

El ángulo θ c el disco desliza

  1. El ángulo después del choque se obtiene con la fórmula
  2. tanφ= 1 e ( tanθμ(1+e) )

    El valor de φ=40.61º

  3. Calculamos la velocidad v después del choque mediante
  4. cosφ =e·u·cosθ

    Se despeja v=3.06

  5. La velocidad angular de rotación ω (o mejor ), se obtiene mediante la relación
  6. =2μ (1+ecosθ

    Se obtiene =0.96

    La velocidad del punto P de contacto entre el disco y la pared es vP=v·sinφ -rω>0, por tanto, el disco desliza.

  7. La energía perdida en el choque es la diferencia entre la energía final (de traslación y de rotación) y la inicial (de traslación).
  8. Q=-1.2m

El ángulo θ c el disco no desliza.

  1. El ángulo después del choque se obtiene con la fórmula
  2. tanφ= 2 3e tanθ

    El valor de φ=3.55º

  3. Calculamos la velocidad después del choque mediante el coeficiente de restitución
  4. cosφ =e·u·cosθ

    Se despeja v=3.28

  5. La velocidad angular de rotación ω (o mejor ), se obtiene mediante la relación
  6. =(2u/3sinθ

    =0.203

    La velocidad del punto P de contacto entre el disco y la pared es vP=v·sinφ-rω=0, por tanto, el disco no desliza.

  7. La energía perdida en la colisión es
  8. Q=-072·m

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

El programa interactivo calcula la velocidad del disco después del choque v, su velocidad angular de rotación ω y el ángulo φ que forma con la dirección normal a la pared, con los datos de la velocidad inicial u y del ángulo incidente θ .




Referencias

Doménech A, Doménech M.T. Analysis of two-disc collisions. Eur. J. Phys. 14 (1993), pp. 177-183.