Sea un cono de altura h y radio de la base R. Supongamos que se ha hecho una ranura a lo largo del cono, desde el vértice a la base, señalada por la línea de color rojo en la figura.

El cono gira alrededor del eje Z con velocidad angular ω₀. Una partícula de masa m se suelta en el vértice deslizando por la ranura sin rozamiento alguno, tal como se indica en la figura. Vamos a estudiar el movimiento de la partícula y del cono y calcularemos la velocidad angular del cono cuando la partícula llege a su base

El momento de inercia del cono macizo alrededor del eje Z es I₀=3MR²/10. Siendo M la masa del cono

En el instante t=0, la partícula de masa m se encuentra en el vértice del cono que gira con velocidad angular ω₀. El momento angular es I₀ω₀ y la energía inicial del sistema es

${\displaystyle E=\frac{1}{2}{I}_0{\omega }_0^2}$

En el instante t, la velocidad angular de rotación alrededor del eje Z del cono es ω. La partícula se ha desplazado x a lo largo de la ranura, su distancia al eje de rotación es xsinθ. Su velocidad tiene dos componentes: una v paralela a la ranura, y otra ωxsinθ correspondiente a la rotación alrededor del eje Z con velocidad angular ω.

Se conserva el momento angular del sistema formado por el cono y la partícula

${\displaystyle I_0{\omega }_0=\left(I_0+m{x}^2{\sin }^2\theta \right)\omega }$

Se conserva la energía (suma de la energía cinética de la partícula, de rotación del cono y la energía potencial correspondiente a una altura xcosθ)

${\displaystyle \frac{1}{2}{I}_0{\omega }_0^2=\frac{1}{2}m\left(v^2+{\omega }^2{x}^2{\sin }^2\theta \right)+\frac{1}{2}{I}_0{\omega }^2-mgx\cos \theta }$

Cuando la partícula llega a la base del cono, xsinθ=R, xcosθ=h, la velocidad angular ω del cono es

${\displaystyle \omega =\frac{I_0{\omega }_0}{I_0+m{R}^2}}$

La velocidad final v de la partícula a lo largo de la ranura es

${\displaystyle v^2=\frac{I_0{\omega }_0^2{R}^2}{I_0+m{R}^2}+2gh}$

Ecuación del movimiento

En el sistema de referencia no inercial en rotación del cono. Las fuerzas que actúan sobre la partícula son:

• El peso, mg
• La reacción de la ranura, N
• La fuerza centrífuga, $\overrightarrow{F_c}=-m\overrightarrow{\omega }\times \left(\overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{r}\right)$, cuyo módulo es mω²xsinθ.
• La fuerza de Coriolis, $\overrightarrow{F_{co}}=-2m\overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{v}$, es perpendicular al plano del dibujo y dirigida hacia el lector. No contribuye al movimiento de la partícula. Se anula con la fuerza de reacción de sentido contrario, proporcionada por la ranura

La ecuación del movimiento a lo largo de la ranura es

${\displaystyle \begin{array}{l}m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=mg\cos \theta +\left(m{\omega }^{2}x\sin \theta \right)\sin \theta \\ \frac{d^{2}x}{d{t}^2}=g\cos \theta +{\left(\frac{I_0{\omega }_0}{I_0+m{x}^2{\sin }^2\theta }\right)}^{2}x{\sin }^2\theta \end{array}}$

El ángulo girado por el cono φ en función del tiempo es

${\displaystyle \frac{d\phi }{dt}=\frac{I_0{\omega }_0}{I_0+m{x}^2{\sin }^2\theta }}$

Tenemos que resolver un sistema de dos ecuaciones diferenciales, con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=0, x=0 y dx/dt=0, la partícula parte del vértice del cono en reposo. El ángulo inicial girado por el cono, φ=0

Considermos un cono de masa M=1, altura h=1 y ángulo θ=45°. El cono gira inicialmente con velocidad angular ω₀=10 rad/s, cuando la partícula de masa m=0.5 kg se encuentra en el vértice del cono. La partícula empieza a deslizar sin rozamiento por la ranura. Representamos el cono y la trayectoria de la partícula sobre su suerficie, resolviendo el sistema de dos ecuaciones diferenciales mediante la función ode45 de MATLAB

theta=pi/4; %ángulo del cono
h=1;  %altura del cono
I0=3*h^2*tan(theta)^2/10; %momento de inercia del cono, M=1
m=0.5; %masa partícula
w0=10; %velocidad angular inicial de rotación

opts=odeset('events',@(t,x) cono_gira_ode45(t,x,h,theta));
fg=@(t,x)[x(2); 9.8*cos(theta)+x(1)*sin(theta)^2*
(I0*w0/(I0+m*x(1)^2*sin(theta)^2))^2; I0*w0/(I0+m*x(1)^2*sin(theta)^2)];
[t,x]=ode45(fg,[0,10],[0,0,0], opts);
xp=x(:,1).*cos(x(:,3))*sin(theta);
yp=x(:,1).*sin(x(:,3))*sin(theta);
zp=h-x(:,1)*cos(theta);
fprintf('tiempo: %1.2f, velocidad angular: %1.2f, velocidad partícula: 
%1.2f\n',t(end),I0*w0/(I0+m*x(end,1)^2*sin(theta)^2),x(end,2))

hold on
view(250,30)
%superficie cónica
phi=linspace(0,2*pi,40);
r=linspace(0,h/cos(theta));
[phi,r]=meshgrid(phi,r);
x=r.*cos(phi)*sin(theta);
y=r.*sin(phi)*sin(theta);
z=h-r*cos(theta);
h1=mesh(x,y,z);
set(h1,'EdgeColor',[0.6,0.6,0.6], 'FaceAlpha',0.5,'EdgeAlpha',0.5)

%trayectoria
h1=line(xp,yp,zp);
set(h1,'Color',[.7,0,0],'LineWidth',1.5)
 
hold off
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Movimiento en una superficie cónica')

Cuando la partícula llega a la base del cono

tiempo: 0.47, velocidad angular: 3.75, velocidad partícula: 7.56

Definimos una función para que interrumpa el proceso de integración cuando la partícula llegue a la base del cono x=h/cosθ

function [detect,stopin,direction]=cono_gira_ode45(~,x, h, theta)
    detect=x(1)-h/cos(theta); 
    stopin=1;
    direction=1; 
end

Actividades

Se introduce

• El ángulo θ del cono, en el control titulado Angulo
• La masa m de la partícula, en el control titulado Masa
• La masa del cono se ha fijado en M=1 kg
• la altura del cono se ha fijado en h=1 m
• La velocidad angular inicial de rotación se ha fijado en ω₀=10 rad/s

Observamos el movimiento de la partícula sobre la superficie del cono

En la parte izquierda se proporcionan los datos de

• El tiempo t
• El desplazamiento x de la partícula a lo largo de la ranura en la superficie del cono
• La velocidad v de la partícula en su movimiento a lo largo de la ranura
• La velocidad angular ω de rotación del cono
• La energía del sistema que deberá permanecer constante e igual a la energía inicial

Referencias

Lim Yung-kuo. Problems and Solutions on Mechanics. World Scientific (1994). Problem 1174, pp. 283-284