Una partícula desliza a lo largo de la generatriz de un cono que gira
Sea un cono de altura h y radio de la base R. Supongamos que se ha hecho una ranura a lo largo del cono, desde el vértice a la base, señalada por la línea de color rojo en la figura.
El cono gira alrededor del eje Z con velocidad angular ω0. Una partícula de masa m se suelta en el vértice deslizando por la ranura sin rozamiento alguno, tal como se indica en la figura. Vamos a estudiar el movimiento de la partícula y del cono y calcularemos la velocidad angular del cono cuando la partícula llege a su base
El momento de inercia del cono macizo alrededor del eje Z es I0=3MR2/10. Siendo M la masa del cono
En el instante t=0, la partícula de masa m se encuentra en el vértice del cono que gira con velocidad angular ω0. El momento angular es I0ω0 y la energía inicial del sistema es
En el instante t, la velocidad angular de rotación alrededor del eje Z del cono es ω. La partícula se ha desplazado x a lo largo de la ranura, su distancia al eje de rotación es xsinθ. Su velocidad tiene dos componentes: una v paralela a la ranura, y otra ωxsinθ correspondiente a la rotación alrededor del eje Z con velocidad angular ω.
Se conserva el momento angular del sistema formado por el cono y la partícula
Se conserva la energía (suma de la energía cinética de la partícula, de rotación del cono y la energía potencial correspondiente a una altura xcosθ)
Cuando la partícula llega a la base del cono, xsinθ=R, xcosθ=h, la velocidad angular ω del cono es
La velocidad final v de la partícula a lo largo de la ranura es
Ecuación del movimiento

En el sistema de referencia no inercial en rotación del cono. Las fuerzas que actúan sobre la partícula son:
- El peso, mg
- La reacción de la ranura, N
- La fuerza centrífuga, , cuyo módulo es mω2xsinθ.
- La fuerza de Coriolis, , es perpendicular al plano del dibujo y dirigida hacia el lector. No contribuye al movimiento de la partícula. Se anula con la fuerza de reacción de sentido contrario, proporcionada por la ranura
La ecuación del movimiento a lo largo de la ranura es
El ángulo girado por el cono φ en función del tiempo es
Tenemos que resolver un sistema de dos ecuaciones diferenciales, con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=0, x=0 y dx/dt=0, la partícula parte del vértice del cono en reposo. El ángulo inicial girado por el cono, φ=0
Considermos un cono de masa M=1, altura h=1 y ángulo θ=45°. El cono gira inicialmente con velocidad angular ω0=10 rad/s, cuando la partícula de masa m=0.5 kg se encuentra en el vértice del cono. La partícula empieza a deslizar sin rozamiento por la ranura. Representamos el cono y la trayectoria de la partícula sobre su suerficie, resolviendo el sistema de dos ecuaciones diferenciales mediante la función ode45 de MATLAB
theta=pi/4; %ángulo del cono h=1; %altura del cono I0=3*h^2*tan(theta)^2/10; %momento de inercia del cono, M=1 m=0.5; %masa partícula w0=10; %velocidad angular inicial de rotación opts=odeset('events',@(t,x) cono_gira_ode45(t,x,h,theta)); fg=@(t,x)[x(2); 9.8*cos(theta)+x(1)*sin(theta)^2* (I0*w0/(I0+m*x(1)^2*sin(theta)^2))^2; I0*w0/(I0+m*x(1)^2*sin(theta)^2)]; [t,x]=ode45(fg,[0,10],[0,0,0], opts); xp=x(:,1).*cos(x(:,3))*sin(theta); yp=x(:,1).*sin(x(:,3))*sin(theta); zp=h-x(:,1)*cos(theta); fprintf('tiempo: %1.2f, velocidad angular: %1.2f, velocidad partícula: %1.2f\n',t(end),I0*w0/(I0+m*x(end,1)^2*sin(theta)^2),x(end,2)) hold on view(250,30) %superficie cónica phi=linspace(0,2*pi,40); r=linspace(0,h/cos(theta)); [phi,r]=meshgrid(phi,r); x=r.*cos(phi)*sin(theta); y=r.*sin(phi)*sin(theta); z=h-r*cos(theta); h1=mesh(x,y,z); set(h1,'EdgeColor',[0.6,0.6,0.6], 'FaceAlpha',0.5,'EdgeAlpha',0.5) %trayectoria h1=line(xp,yp,zp); set(h1,'Color',[.7,0,0],'LineWidth',1.5) hold off grid on xlabel('x') ylabel('y') zlabel('z') title('Movimiento en una superficie cónica')
Cuando la partícula llega a la base del cono
tiempo: 0.47, velocidad angular: 3.75, velocidad partícula: 7.56
Definimos una función para que interrumpa el proceso de integración cuando la partícula llegue a la base del cono x=h/cosθ
function [detect,stopin,direction]=cono_gira_ode45(~,x, h, theta) detect=x(1)-h/cos(theta); stopin=1; direction=1; end
Actividades
Se introduce
- El ángulo θ del cono, en el control titulado Angulo
- La masa m de la partícula, en el control titulado Masa
- La masa del cono se ha fijado en M=1 kg
- la altura del cono se ha fijado en h=1 m
- La velocidad angular inicial de rotación se ha fijado en ω0=10 rad/s
Observamos el movimiento de la partícula sobre la superficie del cono
En la parte izquierda se proporcionan los datos de
- El tiempo t
- El desplazamiento x de la partícula a lo largo de la ranura en la superficie del cono
- La velocidad v de la partícula en su movimiento a lo largo de la ranura
- La velocidad angular ω de rotación del cono
- La energía del sistema que deberá permanecer constante e igual a la energía inicial
Referencias
Lim Yung-kuo. Problems and Solutions on Mechanics. World Scientific (1994). Problem 1174, pp. 283-284