Dos partículas de masa m deslizan sin rozamiento a lo largo de una varilla de longitud 2b. La varilla gira alrededor de un eje vertical perpendicular a la varilla y que pasa por el punto medio.

Inicialmente, las partículas están sujetas a una distancia b/2 del eje y el sistema gira con velocidad angular constante ω₀. Las partículas se sueltan y deslizan sin rozamiento, a lo largo de la varilla con velocidad radial v (a lo largo de la varilla) y la varilla gira con velocidad angular ω

Cuando alcanzan los extremos de la varilla, rebotan invirtiendo el sentido de su velocidad (choque elástico). La velocidad radial v de las partículas disminuye hasta que se detienen en la posición de partida r=b/2, comenzando un nuevo ciclo

Conservación de la energía

Igualamos la energía inicial de las dos partículas cuando se encuentran en la posición inicial b/2, a la energía cuando se encuentran en la posición r

${\displaystyle \begin{array}{l}2\left(\frac{1}{2}m\frac{b^2}{4}{\omega }_0^2\right)=2\left(\frac{1}{2}m{r}^2{\omega }^2\right)+2\left(\frac{1}{2}m{v}^2\right)\\ \frac{b^2}{4}{\omega }_0^2=r^2{\omega }^2+v^2\end{array}}$

Conservación del momento angular

Las fuerzas externas actúan en el eje de rotación, por lo que el momento angular se conserva

${\displaystyle \begin{array}{l}2\left(m\frac{b^2}{4}{\omega }_0\right)=2\left(m{r}^2\omega \right)\\ \frac{b^2}{4}{\omega }_0=r^2\omega \end{array}}$

En este sistema de dos ecuaciones, despejamos la velocidad radial v y la velocidad angular ω

${\displaystyle \begin{array}{l}\omega =\frac{b^2}{4r^2}{\omega }_0\\ v=\frac{b}{2}{\omega }_0\sqrt{1-\frac{b^2}{4r^2}}\end{array}}$

Comprobamos que en la posición r=b/2, v=0 y ω=ω₀

Movimiento hacia los extremos de la varilla

Describimos el movimiento de las partículas desde la posición inicial r=b/2 a la posición extrema r=b

Distancia al eje

Integramos la segunda ecuación para obtener la distancia r de las partículas al eje de rotación en función del tiempo.

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{dr}{dt}=\frac{b}{2}{\omega }_0\sqrt{1-\frac{b^2}{4r^2}}\\ {\displaystyle \underset{b/2}{\overset{r}{\int }}\frac{dr}{\sqrt{1-\frac{b^2}{4r^2}}}}=\frac{b}{2}{\omega }_0{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}dt}\\ {\displaystyle \underset{b/2}{\overset{r}{\int }}\frac{2r·dr}{\sqrt{4r^2-b^2}}}=\frac{b}{2}{\omega }_0{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}dt}\end{array}}$

Efectuamos el cambio de variable

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}u=4r^2-b^2\\ du=8r·dr\end{array}\\ \frac{1}{4}{\displaystyle \int \frac{du}{\sqrt{u}}}=\frac{\sqrt{u}}{2}=\frac{\sqrt{4r^2-b^2}}{2}\end{array}}$

El resultado es

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{\sqrt{4r^2-b^2}}{2}-0=\frac{b}{2}{\omega }_{0}t\\ r=\frac{b}{2}\sqrt{1+{\omega }_0^2{t}^2}\end{array}}$

El tiempo que tarda la partícula en alcanzar el extremo de la varilla r=b es

${\displaystyle \begin{array}{l}b=\frac{b}{2}\sqrt{1+{\omega }_0^2{t}^2}\\ t=\frac{\sqrt{3}}{{\omega }_0}\end{array}}$

Desplazamiento angular

Determinamos el desplazamiento angular de la varilla θ en función del tiempo

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d\theta }{dt}=\frac{b^2}{4r^2}{\omega }_0\\ \frac{d\theta }{dt}=\frac{{\omega }_0}{1+{\omega }_0^2{t}^2}\\ {\displaystyle \underset{0}{\overset{\theta }{\int }}d\theta }={\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{{\omega }_{0}dt}{1+{\omega }_0^2{t}^2}}\end{array}}$

Efectuamos el cambio de variable

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}u={\omega }_{0}t\\ du={\omega }_{0}dt\end{array}\\ {\displaystyle \int \frac{{\omega }_{0}dt}{1+{\omega }_0^2{t}^2}=}{\displaystyle \int \frac{du}{1+u^2}=}\arctan u\end{array}}$

El resultado es

${\displaystyle \theta =\arctan \left({\omega }_{0}t\right)}$

En el tiempo que la partícula se desplaza hasta el extremo, $t=\frac{\sqrt{3}}{{\omega }_0}$, el desplazamiento angular de la varilla es

${\displaystyle \theta =\arctan \left({\omega }_0\frac{\sqrt{3}}{{\omega }_0}\right)=\frac{\pi }{3}}$

Movimiento hacia el punto de partida

Describimos el movimiento de las partículas desde la posición en el extremo r=b a la posición de partida r=b/2

Distancia al eje

Como el choque de las partículas con los extremos es elástico, las velocidades de las partículas cambian de sentido y el tiempo que tarda en regresar a la posición r=b/2 será el mismo como vamos a comprobar

Integramos la velocidad radial

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{dr}{dt}=-\frac{b}{2}{\omega }_0\sqrt{1-\frac{b^2}{4r^2}}\\ {\displaystyle \underset{b}{\overset{r}{\int }}\frac{dr}{\sqrt{1-\frac{b^2}{4r^2}}}}=-\frac{b}{2}{\omega }_0{\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}dt},t_0=\frac{\sqrt{3}}{{\omega }_0}\\ {\displaystyle \underset{b}{\overset{r}{\int }}\frac{2r·dr}{\sqrt{4r^2-b^2}}}=-\frac{b}{2}{\omega }_0{\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}dt}\end{array}}$

Efectuamos el cambio de variable

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}u=4r^2-b^2\\ du=8r·dr\end{array}\\ \frac{1}{4}{\displaystyle \int \frac{du}{\sqrt{u}}}=\frac{\sqrt{u}}{2}=\frac{\sqrt{4r^2-b^2}}{2}\end{array}}$

El resultado es

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{\sqrt{4r^2-b^2}}{2}-\frac{b\sqrt{3}}{2}=-\frac{b}{2}{\omega }_0\left(t-t_0\right)\\ \sqrt{4r^2-b^2}=b\sqrt{3}-b{\omega }_0\left(t-t_0\right)\\ 4r^2-b^2=3b^2+b^2{\omega }_0^2{\left(t-t_0\right)}^2-2\sqrt{3}{b}^2{\omega }_0\left(t-t_0\right)\\ r=\frac{b}{2}\sqrt{4+{\omega }_0^2{\left(t-\frac{\sqrt{3}}{{\omega }_0}\right)}^2-2\sqrt{3}{\omega }_0\left(t-\frac{\sqrt{3}}{{\omega }_0}\right)}\\ r=\frac{b}{2}\sqrt{13+{\omega }_0^2{t}^2-4\sqrt{3}{\omega }_{0}t}\end{array}}$

En el instante $t=2\frac{\sqrt{3}}{{\omega }_0}$, r=b/2, es la posición de partida

Desplazamiento angular

Determinamos el desplazamiento angular de la varilla θ en función del tiempo

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d\theta }{dt}=\frac{b^2}{4r^2}{\omega }_0\\ \frac{d\theta }{dt}=\frac{{\omega }_0}{13+{\omega }_0^2{t}^2-4\sqrt{3}{\omega }_{0}t}\\ {\displaystyle \underset{{\theta }_0}{\overset{\theta }{\int }}d\theta }={\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\frac{{\omega }_{0}dt}{13+{\omega }_0^2{t}^2-4\sqrt{3}{\omega }_{0}t}},t_0=\frac{\sqrt{3}}{{\omega }_0},{\theta }_0=\frac{\pi }{3}\end{array}}$

Efectuamos el cambio de variable

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}u={\omega }_{0}t\\ du={\omega }_{0}dt\end{array}\\ {\displaystyle \int \frac{du}{{\left(u-2\sqrt{3}\right)}^2+1}=\arctan \left(u-2\sqrt{3}\right)}\end{array}}$

El resultado es

${\displaystyle \begin{array}{l}\theta -{\theta }_0=\arctan \left({\omega }_{0}t-2\sqrt{3}\right)-\arctan \left({\omega }_0{t}_0-2\sqrt{3}\right)\\ \theta =\frac{\pi }{3}+\arctan \left({\omega }_{0}t-2\sqrt{3}\right)+\arctan \left(\sqrt{3}\right)=\frac{2\pi }{3}+\arctan \left({\omega }_{0}t-2\sqrt{3}\right)\end{array}}$

En el instante $t=2\frac{\sqrt{3}}{{\omega }_0}$, θ=2π/3

El tiempo que tarda la varilla en completar una vuelta es

${\displaystyle \frac{2\pi }{\frac{\pi }{3}}\frac{\sqrt{3}}{{\omega }_0}=6\frac{\sqrt{3}}{{\omega }_0}}$

Gráficas

• Representamos la velocidad angular ω de rotación en función del tiempo, durante un periodo

${\displaystyle \begin{array}{l}0\to \frac{\sqrt{3}}{{\omega }_0},\omega =\frac{{\omega }_0}{1+{\omega }_0^2{t}^2}\\ \frac{\sqrt{3}}{{\omega }_0}\to \frac{2\sqrt{3}}{{\omega }_0},\omega =\frac{{\omega }_0}{13+{\omega }_0^2{t}^2-4\sqrt{3}{\omega }_{0}t}\end{array}}$

w0=1; %velocidad angular inicial
b=1; %distancia a los extremos de la varilla
hold on
fplot(@(t) w0./(1+w0^2*t.^2),[0,sqrt(3)/w0])
fplot(@(t) w0./(13+w0^2*t.^2-4*sqrt(3)*w0*t),[sqrt(3)/w0,2*sqrt(3)/w0])
line([sqrt(3)/w0,sqrt(3)/w0],[0.2,1],'lineStyle','--')
hold off
grid on
xlabel('t')
ylabel('\omega')
title('Velocidad angular de rotación')



A medida que las partículas se alejan del eje de rotación, el momento de inercia va aumantando y la velocidad angular va disminyendo. Cuando las partículas alcanzan el extremos de la varilla, la velocidad angular es mínima

• Representamos la velocidad radial v en función del tiempo, durante un periodo

${\displaystyle \begin{array}{l}0\to \frac{\sqrt{3}}{{\omega }_0},v=\frac{b}{2}{\omega }_0\sqrt{1-\frac{b^2}{4r^2}},v=\frac{b{\omega }_0^{2}t}{2\sqrt{1+{\omega }_0^2{t}^2}}\\ \frac{\sqrt{3}}{{\omega }_0}\to \frac{2\sqrt{3}}{{\omega }_0},v=-\frac{b}{2}{\omega }_0\sqrt{1-\frac{b^2}{4r^2}},v=-\frac{b}{2}{\omega }_0\sqrt{1-\frac{1}{13+{\omega }_0^2{t}^2-4\sqrt{3}{\omega }_{0}t}}\end{array}}$

w0=1;
b=1;
hold on
fplot(@(t) b*w0^2*t./(2*sqrt(1+w0^2*t.^2)),[0,sqrt(3)/w0])
fplot(@(t) -b*w0*sqrt(1-1./(13+w0^2*t.^2-4*sqrt(3)*w0*t))/2,
[sqrt(3)/w0,2*sqrt(3)/w0])
line([sqrt(3)/w0,sqrt(3)/w0],[-0.5,0.5],'lineStyle','--')
hold off
grid on
xlabel('t')
ylabel('v')
title('Velocidad radial')



La velocidad radial v va aumentando, cuando las partículas alcanza los extremos, rebotan elásticamente y cambian el sentido de su velocidad

• Representamos la distancia de la partícula r al eje de rotación en función del tiempo, durante un periodo

${\displaystyle \begin{array}{l}0\to \frac{\sqrt{3}}{{\omega }_0},r=\frac{b}{2}\sqrt{1+{\omega }_0^2{t}^2}\\ \frac{\sqrt{3}}{{\omega }_0}\to \frac{2\sqrt{3}}{{\omega }_0},r=\frac{b}{2}\sqrt{13+{\omega }_0^2{t}^2-4\sqrt{3}{\omega }_{0}t}\end{array}}$

w0=1;
b=1;
hold on
fplot(@(t) b*sqrt(1+w0^2*t.^2)/2,[0,sqrt(3)/w0])
fplot(@(t) sqrt(13+w0^2*t.^2-4*sqrt(3)*w0*t)*b/2,[sqrt(3)/w0,2*sqrt(3)/w0])
line([sqrt(3)/w0,sqrt(3)/w0],[0.5,1],'lineStyle','--')
hold off
grid on
xlabel('t')
ylabel('r')
title('Distancia al eje de rotación')



• Representamos el desplazamiento angular θ de la varilla en función del tiempo, durante un periodo

${\displaystyle \begin{array}{l}0\to \frac{\sqrt{3}}{{\omega }_0},\theta =\arctan \left({\omega }_{0}t\right)\\ \frac{\sqrt{3}}{{\omega }_0}\to \frac{2\sqrt{3}}{{\omega }_0},\theta =\frac{2\pi }{3}+\arctan \left({\omega }_{0}t-2\sqrt{3}\right)\end{array}}$

w0=1;
b=1;
hold on
fplot(@(t) atan(w0*t),[0,sqrt(3)/w0])
fplot(@(t) 2*pi/3+atan(w0*t-2*sqrt(3)),[sqrt(3)/w0,2*sqrt(3)/w0])
line([sqrt(3)/w0,sqrt(3)/w0],[0,2],'lineStyle','--')
hold off
grid on
set(gca,'YTick',0:pi/12:3*pi/4)
set(gca,'YTickLabel',{'0','\pi/12','\pi/6','\pi/4','\pi/3','5\pi/12',
'\pi/2','7\pi/12','2\pi/3','3\pi/4'})
xlabel('t')
ylabel('\theta')
title('Desplazamiento angular')

Actividades

En esta animación se ha fijado

• la velocidad angular inicial de rotación ω₀=1 rad/2
• la longitud de la varilla, 2b=2 m, la distancia del eje a los extremos es b= 1 m
• Las partículas incialmente distan b/2=0.5 m del eje de rotación, en el instante t=0 se sueltan

En la parte superior izquierda se proporcionan los datos de

• la velocidad angular de rotación ω de la varilla
• La velocidad radial v (a lo largo de la varilla) de cada partícula
• La distancia r de la partícula al eje de rotación
• El tiempo t, durante un periodo, tomando t=0, cuando las partículas parten de la posición r=b/2

Se pulsa el botón titulado Nuevo, aparece la varilla de masa despreciable y las dos masas puntuales fijadas a la varilla, a una distancia b/2 del eje. Se pulsa el botón titulado Empieza, el sistema gira alrededor del eje vertical perpendicular a la varilla con velocidad angular constante ω₀, las partículas se sueltan y empiezan a moverse hacia los extremos de la varilla

Referencias

Physics Challenge for Teachers and Students. 2b or not 2b?. The Physics Teacher, Vol. 55, December 2017, pp. 587