Cohete en rotación

Comenzaremos con una aplicación del principio de conservación del momento angular

Un disco de masa md y radio R, puede girar con velocidad angular ω0 alrededor de un eje perpendicular al plano del disco y que pasa por su centro.

Tiene un dispositivo situado a una distancia r del eje que dispara un proyectil de masas m con velocidad u (relativa al disco) haciendo un ángulo θ con la dirección radial.

Calcular la velocidad angular ω del disco inmediatamente después del disparo

Tomamos el sentido de las agujas del reloj como positivo.

El momento angular inicial es

L=( 1 2 m d R 2 +m r 2 ) ω 0

En la figura, se muestra las componentes de la velocidad del proyectil respecto del laboratorio

El momento angular final

L=( 1 2 m d R 2 )ω+mr( u+ωrsinθ )

Igualando el momento angular inicial al final, despejamos la velocidad angular ω final

( 1 2 m d R 2 +m r 2 ) ω 0 =( 1 2 m d R 2 )ω+mr( usinθ+ωr ) ω= ω 0 mrusinθ 1 2 m d R 2 +m r 2

El disco se frena. El ángulo θ=90°, es el óptimo para que se frene el disco. En cambio, si θ=0° el disco no disminuye su velocidad. Por otra parte, la distancia r=R, situando el dispositivo en el borde del disco, es la opción mas favorable

ω= ω 0 m 1 2 m d +m u R

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

En la parte superior izquierda, se proporciona el dato de la velocidad angular final del disco ω



Formulación discreta de las ecuación del movimiento del cohete

Un cohete en rotación, expulsa una fracción m de su combustible a intervalos de tiempos fijos (por ejemplo, cada segundo), con una velocidad u respecto del cohete. Consideraremos que la velocidad u es constante en el sistema de referencia que se mueve con el cohete

Para calcular la velocidad angular del cohete a medida que va expulsando el combustible aplicamos el principio de conservación del momento angular.

De la descripción discreta a la continua.

Podemos escribir, la velocidad angular final ωn de esta forma más conveniente

ω n =m u R i=1 n 1 M0nm+im = u R i=1 n m M f +im

Donde Mf=md/2

En el límite, cuando el cohete pierde masa de forma continua, n es grande y m es una cantidad infinitesimal, por ejemplo, dx. La velocidad angular final es

ω= u R 0 M 0 M f dx M f +x = u R ln( M 0 M f )

La diferencia entre M0 y Mf es el combustible quemado por el cohete

Un cohete de empuje constante

Consideremos un cohete de masa inicial M que lleva una velocidad angular ω. En el instante t+Δt, se expulsa una masa Δμ con una velocidad constante u relativa al cohete, como consecuencia la masa restante (M-Δμ) del cohete se incrementa su velocidad angular en ω+Δω.

L(t)=( 1 2 m d +m ) R 2 ω L(t+Δt)=( 1 2 m d +mΔμ ) R 2 ( ω+Δω )+R·Δμ( R( ω+Δω )u )= ( 1 2 m d +m ) R 2 ω+( 1 2 m d +m ) R 2 Δω R 2 ωΔμ+ R 2 ωΔμ+ R 2 Δμ·ΔωuR·Δμ= ( 1 2 m d +m ) R 2 ω+( 1 2 m d +m ) R 2 ΔωuR·Δμ

Se ha despreciado el producto Δμ·Δω

El momento angular en el instante t es igual al momento angular en el instante t+Δt

ΔL=L(t+Δt)L(t)=( 1 2 m d +m ) R 2 ΔωuR·Δμ=0

En el límite cuando Δt→0

M dω dt u R dμ dt =0

La masa del sistema formado por el cohete M y el combustible expulsado μ es constante M0=M+μ, por lo que dμ+dM=0. La masa del cohete disminuye en dM y aumenta la masa del combustible expulsado en la misma cantidad.

M dω dt + u R dM dt =0

Eliminando dt de la ecuación diferencial

dω= u R dM M ω= u R M 0 M f dM M = u R ln M f M 0 = u R ln M 0 M f

Obtenemos el mismo resultado que con la formación discreta

Referencias

Carl E Mungan. The rotational rocket. Phys. Educ. 58 (2023) 033001