Cohete en rotación

Comenzaremos con una aplicación del principio de conservación del momento angular
Un disco de masa md y radio R, puede girar con velocidad angular ω0 alrededor de un eje perpendicular al plano del disco y que pasa por su centro.
Tiene un dispositivo situado a una distancia r del eje que dispara un proyectil de masas m con velocidad u (relativa al disco) haciendo un ángulo θ con la dirección radial.
Calcular la velocidad angular ω del disco inmediatamente después del disparo
Tomamos el sentido de las agujas del reloj como positivo.

El momento angular inicial es
En la figura, se muestra las componentes de la velocidad del proyectil respecto del laboratorio
El momento angular final
Igualando el momento angular inicial al final, despejamos la velocidad angular ω final
El disco se frena. El ángulo θ=90°, es el óptimo para que se frene el disco. En cambio, si θ=0° el disco no disminuye su velocidad. Por otra parte, la distancia r=R, situando el dispositivo en el borde del disco, es la opción mas favorable
Actividades
Se introduce
- El ángulo θ de la velocidad del proyectil respecto de la dirección radial, en el control titulado Angulo
- La velocidad u de disparo, respecto del disco, en el control titulado Velocidad
- El cociente md/m entre la masa del disco y la del proyectil, en el control titulado Cociente
- La distancia r del dispositivo de disparo al eje del disco, en el control titulado Distancia
- El radio del disco se ha fijado, R=1 m
- La velocidad angular inicial, se ha fijado en ω0= 1 rad/s
Se pulsa el botón titulado Nuevo
En la parte superior izquierda, se proporciona el dato de la velocidad angular final del disco ω
Formulación discreta de las ecuación del movimiento del cohete
Un cohete en rotación, expulsa una fracción m de su combustible a intervalos de tiempos fijos (por ejemplo, cada segundo), con una velocidad u respecto del cohete. Consideraremos que la velocidad u es constante en el sistema de referencia que se mueve con el cohete
Para calcular la velocidad angular del cohete a medida que va expulsando el combustible aplicamos el principio de conservación del momento angular.
Primer disparo
Segundo disparo
Tercer disparo
Ultimo disparo, n. Velocidad angular final del disco

En el borde del disco de masa md y radio R, hay n proyectiles de masa m cada uno, que se van disparando con velocidad u relativa al disco en la dirección perpendicular a la radial
En la figura, se muestra la situación inicial y final tras el primer disparo. Aplicando el principio de conservación del momento angular
Donde M0=md/2+n·m
De la descripción discreta a la continua.
Podemos escribir, la velocidad angular final ωn de esta forma más conveniente
Donde Mf=md/2
En el límite, cuando el cohete pierde masa de forma continua, n es grande y m es una cantidad infinitesimal, por ejemplo, dx. La velocidad angular final es
La diferencia entre M0 y Mf es el combustible quemado por el cohete
Un cohete de empuje constante
Consideremos un cohete de masa inicial M que lleva una velocidad angular ω. En el instante t+Δt, se expulsa una masa Δμ con una velocidad constante u relativa al cohete, como consecuencia la masa restante (M-Δμ) del cohete se incrementa su velocidad angular en ω+Δω.
Se ha despreciado el producto Δμ·Δω
El momento angular en el instante t es igual al momento angular en el instante t+Δt
En el límite cuando Δt→0
La masa del sistema formado por el cohete M y el combustible expulsado μ es constante M0=M+μ, por lo que dμ+dM=0. La masa del cohete disminuye en dM y aumenta la masa del combustible expulsado en la misma cantidad.
Eliminando dt de la ecuación diferencial
Obtenemos el mismo resultado que con la formación discreta
Referencias
Carl E Mungan. The rotational rocket. Phys. Educ. 58 (2023) 033001