El péndulo balístico

En esta versión solamente es aplicable el principio de conservación del momento angular, ya que el sistema no es aislado sin embargo, el momento de las fuerzas exteriores respecto del eje de rotación O es nulo.

M ext = dL dt M ext =0L=cte

Principio de conservación del momento angular

Como el momento angular inicial y final son iguales, despejamos la velocidad angular ω, justamente después del choque.

ω= mvd I 0

El momento lineal del sistema no se conserva

El momento lineal inicial del sistema formado por la bala y el péndulo en reposo es

pi=mv

El momento lineal final del sistema es

pf=(m+M)vf

Como la varilla no tiene masa y la bala impacta en el centro del cilindro, el centro de masa del sistema está en el centro del cilindro ycm=d. La velocidad final del c.m. del sistema es

vf=ω·d

Para otros casos no tan simples, se calcula el centro de masa del sistema ycm. La velocidad final del c.m. sería vf=ω·ycm

Δp= p f p i =(m+M) mvd 1 2 M r 2 +(M+m) d 2 dmv

Si el radio r es cero, el cilindro se convierte en una masa puntual M, el momento lineal se conserva Δp=0. El principio de conservación del momento lineal y del momento angular dan los mismos resultados.

Fuerzas interiores y exteriores

Una fuerza horizontal F actúa en el eje O del péndulo durante el tiempo Δt que dura el choque. El impulso de esta fuerza exterior F produce un cambio en el momento lineal del sistema. Si suponemos que F es constante durante este corto intervalo de tiempo,

F·Δt= Δp

El sentido de F será el indicado en la figura, si el momento lineal aumenta y el contrario, si disminuye.

Durante el mismo tiempo Δt, la fuerza interna f que ejerce el cilindro sobre la bala, hace que ésta disminuya su velocidad de v a vf=ω·d.

f·Δt= mωd-mv

Balance energético

La energía perdida en la colisión es la diferencia entre estas dos energías. En la parte izquierda, observamos que la mayor parte de la energía cinética de la bala se convierte en energía de deformación cuando la bala se incrusta con el cilindro y solamente, una pequeña parte de la energía inicial se convierte en energía cinética de rotación del sistema formado por la varilla, el cilindro y la bala.

Movimiento después del choque

Dinámica de rotación

Después del choque tenemos un sólido rígido en rotación alrededor de un eje fijo que pasa por O.

La ecuación de la dinámica de rotación es M=I0·α

M es el momento del peso que actúa en el centro de masa del sólido. Como la varilla tiene masa despreciable y la bala se aloja en el centro del cilindro, el centro de masa del sistema coincide con el centro del cilindro, a una distancia d del eje de rotación.

-(M+m)·g·d·sinθ =I0·α

Como la aceleración angular no es constante, resolvemos la ecuación diferencial de segundo orden por procedimientos numéricos.

d 2 θ d t 2 + (m+M)gd I 0 sinθ=0

con las condiciones iniciales siguientes: en el intante t=0, θ=0, dθ/dt=ω, velocidad angular después del choque.

Sin embargo, es mucho más fácil aplicar el principio de conservación de la energía para obtener información sobre el comportamiento del sólido en rotación.

Principio de conservación de la energía

La energía cinética después del choque se convierte en energía potencial

1 2 I 0 ω 2 =(M+m)ghh=ddcosθ

Conocido el ángulo θ de máxima desviación del péndulo balístico, calculamos la velocidad de la bala antes del choque.

Puede ocurrir que la velocidad de la bala sea tan grande que el péndulo empiece a dar vueltas. Para que esto ocurra, la energía del péndulo después del choque tiene que ser mayor que la energía potencial del cilindro y de la bala correspondiente a una altura 2d.

1 2 I 0 ω 2 (M+m)g·2d 

Mientras que una masa puntual en movimiento circular no puede tener una velocidad nula en el punto más alto de su trayectoria, un sólido rígido en rotación puede tener una velocidad angular nula. Esta es la diferencia esencial entre las dos versiones del péndulo balístico.

Ejemplos

  1. Choque. Principio de conservación del momento angular
  2. Momento de inercia I0= 0.426 kgm2

    Momento angular inicial 0.2·10·0.5=1 kg·m2/s
    Momento angular final I0·ω

    Conservación del momento angular ω =2.35 rad/s

  3. Movimiento después del choque. Principio de conservación de la energía
  4. La energía cinética después del choque se transforma en energía potencial, cuando se alcanza la máxima desviación del péndulo

    1 2 1.7· ( 2.35 ) 2 =1.7·9.8·hh=0.07m

    Una vez calculado h se obtiene el ángulo de desviación θ=30.8º

Ejemplo 2º

Con estos datos, vamos a calcular la velocidad que deberá llevar la bala para que el péndulo se desplace 180º, se ponga en posición vertical.

  1. Movimiento después del choque. Principio de conservación de la energía
  2. La energía potencial de la bala y cilindro en dicha posición es 1.7·9.8·2·0.5=16.66 J

    La energía cinética después del choque será 1 2 I 0 ω 2 =16.66ω=8.85rad/s

  3. Choque. Principio de conservación del momento angular
  4. 0.2·v·0.5=I0·ω

    Despejando v=37.66 m/s

    Introducimos este valor en el control titulado Velocidad bala y pulsamos el botón titulado Nuevo, observamos que el péndulo llega a la posición vertical sin sobrepasarla. Incrementamos en una centésima la velocidad de la bala v=37.67 m/s y vemos que el péndulo empieza a dar vueltas.

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón Nuevo

Se observa sobre la escala angular graduada el máximo desplazamiento del péndulo. Su valor numérico se muestra en la esquina superior izquierda. También podemos ver a la izquierda, un gráfico que muestra el balance energético de la colisión.



Fuerzas sobre la barra en en eje de rotación

Si la varilla tiene masa despreciable, el centro de masas se encuentra en el centro del cilindro de masa M y radio r, donde también se encuentra alojada la bala de masa m.

En la figura de la izquierda, se muestra las fuerzas sobre el conjunto formado por la barra, el cilindro y la bala. En la figura de la derecha, la descomposición de dichas fuerzas según los ejes que se indican.

Hemos calculado la aceleración angular y la velocidad angular del sistema después del choque cuando la barra forma un ángulo θ con la vertical tal como se ve en la figura.

Siendo ω0 la velocidad angular del sólido inmediatamente después del choque

El centro de masas describe un arco de circunferencia de radio d, por tanto, tiene dos aceleraciones, una tangencial at y otra normal an.

En la figura de la izquierda, se han dibujado las fuerzas sobre el sistema. A la derecha, se ha sustituido el peso por sus componentes y se han dibujado las componentes tangencial y normal de la aceleración. A partir de este esquema, planteamos las ecuaciones del movimiento del centro de masas.

(M+m)·at=Ft-(M+m)sinθ
(M+m)·an=Fn-(M+m)cosθ

Teniendo en cuenta que en un movimiento circular

at=α ·d
an2·d

Despejamos Ft y Fn

Ft =(M+m)·α ·d +(M+m)sinθ
Fn =(M+m)·ω 2·d +(M+m)cosθ

La fuerza F sobre la barra en el eje de rotación es

F= F t 2 + F n 2 φ=θ+arctan F n F t

Ejemplo

Volvemos al ejemplo 1º

  1. Choque. Aplicando el principio de conservación del momento angular obtuvimos la velocidad angular del sistema después del choque
  2. ω0=2.35 rad/s

    El problema va a consistir ahora en calcular las fuerzas Ft y Fn en el eje O, cuando el ángulo θ =15º.

  3. Calculamos la aceleración angular α y la velocidad angular ω .
  4. 0.426α =-1.7·9.8·0.5 sin15º                α =-5.06 rad/s2

  5. Balance energético
  6. 1 2 0.426· 2.35 2 =1.7·9.8·0.5(1cos15º)+ 1 2 0.426· ω 2 ω=2.04rad/s

  7. Calculamos las componentes Ft y Fn de la fuerza en el eje O.
  8. Ft=(M+m)sinθ +(M+m)at= 1.7·9.8·sin15º-1.7·0.5·5.06=0.007 N
    Fn
    (M+m)cosθ +(M+m)·an =1.7·9.8·cos15º+1.7·0.5·2.042=19.65 N

  9. La fuerza F sobre la barra en el eje de rotación
  10. Módulo F=19.65 N
    Ángulo que forma con el eje X, φ=105º