Las partículas deslizantes, de masa m/2 cada una, están unidas mediante cuerdas a un bloque de masa M que cuelga, tal como se muestra en la figura.

Inicialmente, se fijan las masas puntuales a una distancia r₀ del eje de rotación y el sistema gira con velocidad angular ω₀. Se liberan las masas deslizantes mediante algún dispositivo y se observa el movimiento del sistema.

Momento angular

El momento angular inicial es el producto del momento de inercia por la velocidad angular ω₀. El momento de inercia es la suma del momento de inercia de la varilla que supondremos despreciable y el de las dos masas deslizantes iguales que distan r₀ del eje de rotación

${\displaystyle L=I_0{\omega }_0=2\left(\frac{m}{2}{r}_0^2{\omega }_0\right)=m{r}_0^2{\omega }_0}$

El momento angular, cuando las masas deslizantes se encuentran a una distancia r del eje de rotación, vale

L=mr²ω

Como las fuerzas que actúan sobre el sistema pasan por el eje de rotación. La constancia del momento angular implica que cuando las masas deslizantes se alejan del eje de rotación la velocidad angular ω disminuye y cuando se acercan ω aumenta.

${\displaystyle \omega =\frac{L}{m{r}^2}={\left(\frac{r_0}{r}\right)}^2{\omega }_0}$

Movimiento de las masas deslizantes

Para estudiar el movimiento de las dos masas deslizantes y del bloque que cuelga, nos situamos en el Sistema de Referencia no inercial que gira con la varilla con velocidad angular ω. Consideremos el sistema formado por una masa deslizante situada a una distancia r del eje de rotación y medio bloque que cuelga.

• El bloque que cuelga ejerce una fuerza Mg/2
• La fuerza centrífuga F_c=(m/2)ω²r.

Bajo la acción de estas fuerzas, las masas deslizantes experimentan una aceleración a=d²r/dt² en la dirección radial, a lo largo de la varilla; el bloque se mueve verticalmente con la misma aceleración. La segunda ley de Newton se escribe

${\displaystyle \begin{array}{l}\left(\frac{m}{2}+\frac{M}{2}\right)\frac{d^{2}r}{d{t}^2}=\frac{m}{2}{\omega }^{2}r-\frac{M}{2}g\\ \frac{d^{2}r}{d{t}^2}=\frac{L^2}{m(m+M)r^3}-\frac{M}{m+M}g\end{array}}$

Resolvemos esta ecuación diferencial mediante procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=0, la velocidad radial de la masa deslizante es dr/dt=0, y su distancia al eje r=r₀.

r0=0.6; %posicón inicial de las masas deslizantes
w0=1;  %velocidad angular inicial
L=r0^2*w0; %momento angular
M=0.5; %masa del bloque que cuelga
x0=zeros(1,2);
x0(1)=r0;  %posición de partida
x0(2)=0;
f=@(t,x) [x(2);L^2/((1+M)*x(1)^3)-M*9.8/(1+M)]; 
tspan=[0 2];
[t,x]=ode45(f,tspan,x0);
plot(t,x(:,1))
grid on
xlabel('t')
ylabel('r');
title('Posición radial en función del tiempo')
figure
plot(t,w0*r0^2./x(:,1).^2)
grid on
xlabel('t')
ylabel('\omega');
title('Velocidad angular en función del tiempo')

Conocida la distancia r de las masas deslizantes al eje de rotación en el instante t, se calcula la velocidad angular ω de rotación sabiendo que el momento angular L permanece constante.

La posición de equilibrio r_e, cuando la fuerza neta sobre la masa deslizante es cero, es

${\displaystyle r_e^3=\frac{L^2}{mMg}}$

Curvas de energía potencial

La energía inicial del sistema, cuando las masas se encuentran sujetas, es la suma de

• la energía cinética de las dos masas deslizantes que se mueven con velocidad tangencial ω₀·r₀.
• la energía potencial del bloque de masa M que está a una altura r₀ sobre el origen.

${\displaystyle E=\frac{1}{2}(m{r}_0^2){\omega }_0^2+Mg{r}_0}$

Al cabo de un cierto tiempo t, las masas deslizantes distan r del eje de rotación y la varilla gira con velocidad angular ω=dθ/dt. Cada una de las masas lleva una velocidad en la dirección radial v_r=dr/dt y en la dirección tangencial v_θ=r(dθ/dt). El bloque se mueve con velocidad v_r=dr/dt. La energía total del sistema es

${\displaystyle E=\frac{1}{2}M{\left(\frac{dr}{dt}\right)}^2+\frac{1}{2}m\left\{{\left(\frac{dr}{dt}\right)}^2+r^2{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2\right\}+Mgr}$

• El primer término, es la energía cinética del bloque
• El segundo término, es la energía cinética de las masas deslizantes
• El tercer término, es la energía potencial del bloque que cuelga

Teniendo en cuenta que el momento angular es constante, la energía E del sistema en función de r y de su derivada dr/dt, es

${\displaystyle E=\frac{1}{2}(m+M){\left(\frac{dr}{dt}\right)}^2+\frac{L^2}{2m{r}^2}+Mgr}$

Si dividimos la energía E entre las dos masas iguales, podemos considerar que cada una de ellas se mueve en un potencial efectivo

${\displaystyle V_{ef}(r)=\frac{L^2}{4m{r}^2}+\frac{M}{2}gr}$

La fuerza resultante sobre cada una de las masas deslizantes y medio bloque se obtiene derivando la energía potencial y cambiando de signo.

${\displaystyle f(r)=-\frac{d{V}_{ef}(r)}{dr}=\frac{L^2}{2m{r}^3}-\frac{M}{2}g=\frac{m}{2}{\omega }^{2}r-\frac{M}{2}g}$

que como vemos es la diferencia entre la fuerza centrífuga y la fuerza que ejerce el medio bloque que cuelga.

En la figura, vemos la representación gráfica de la energía potencial efectiva V_ef(r) cuando las  masas deslizantes salen de la posición inicial r₀, con velocidad radial nula dr/dt=0. Si su energía total es E (recta horizontal), las masas llegan a la posición de retorno r₁ al cabo de un cierto tiempo, cambian el sentido de la velocidad radial y regresan a la posición r₀, oscilando con un determinado periodo.

La posición de retorno r₁ se calcula resolviendo la ecuación V_ef(r)=E

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{L^2}{4m{r}^2}+\frac{M}{2}gr=\frac{L^2}{4m{r}_0^2}+\frac{M}{2}g{r}_0\\ Mg{r}^3-\left(\frac{L^2}{2m{r}_0^2}+Mg{r}_0\right)r^2+\frac{L^2}{2m}=0\end{array}}$

Como una de las raíces es r₀, la ecuación cúbica se transforma en una ecuación de segundo grado

${\displaystyle (r-r_0)\left(Mg{r}^2-\frac{L^2}{2m{r}_0^2}r-\frac{L^2}{2m{r}_0}\right)=0}$

La raíz positiva de la ecuación de segundo grado es

${\displaystyle r_1=r_0\frac{m{r}_0{\omega }_0^2}{4Mg}\left(1+\sqrt{1+\frac{8Mg}{m{r}_0{\omega }_0^2}}\right)}$

Como vemos en la figura, la curva de la energía potencial efectiva presenta un mínimo, en la posición r_e. Este mínimo se obtiene igualando la derivada primera de V_ef(r)  a cero, es decir, cuando f(r)=-dV_ef(r)/dr=0

${\displaystyle r_e^3=\frac{L^2}{mMg}}$

Ejemplo

• Masa de las partículas deslizantes, m/2=0.5 kg

• Masa del bloque que cuelga, M=0.5 kg

• Velocidad angular inicial de rotación, ω₀=1.0 rad/s

• Las masas deslizantes se liberan cuando su distancia al eje de rotación es r₀=0.6 m

Momento angular

${\displaystyle L=m{r}_0^2{\omega }_0=1.0·{0.6}^2·1.0=0.36{\text{kgm}}^{\text{2}}\text{/s}}$

La energía del sistema es

${\displaystyle E=\frac{1}{2}(m{r}_0^2){\omega }_0^2+Mg{r}_{0}E=\frac{1}{2}1·{0.6}^2·{1.0}^2+0.5·9.8·0.6=3.12\text{J}}$

Posición de equilibrio es

${\displaystyle r_e^3=\frac{L^2}{mMg}=\frac{{0.36}^2}{1.0·0.5·9.8}=0.298\text{m}=29.8\text{cm}}$

Posición de retorno dr/dt=0 de las masas deslizantes es

${\displaystyle \begin{array}{l}{r}_1=r_0\frac{m{r}_0{\omega }_0^2}{4Mg}\left(1+\sqrt{1+\frac{8Mg}{m{r}_0{\omega }_0^2}}\right)\\ r_1=0.6\frac{1.0·0.6·{1.0}^2}{4·0.5·9.8}\left(1+\sqrt{1+\frac{8·0.5·9.8}{1.0·0.6·{1.0}^2}}\right)=0.168\text{m}=16.8\text{cm}\end{array}}$

La velocidad angular ω₁ de rotación cuando las masas deslizantes se encuentran en esta posición es

${\displaystyle L=m{r}^2\omega {\omega }_1=\frac{0.36}{1.0·{0.168}^2}=12.76\text{rad/s}}$

Las masas deslizantes oscilan entre las posiciones r₀ y r₁.

Actividades

Se introduce

• La masa M del bloque que cuelga, en el control titulado Masa bloque

• La masa de las dos partículas deslizantes se ha fijado en m=1 kg, 0.5 kg cada una

• La velocidad angular inicial de rotación se ha fijado en ω₀=1 rad/s

• La distancia r₀ de las masas deslizantes al eje de rotación, en el control titulado Distancia al eje

Se pulsa el botón titulado Nuevo y a continuación, ►

Se observa el sistema en el estado inicial. Las masas deslizantes fijadas a la distancia r₀ del eje de rotación, el bloque a una altura r₀ por encima del origen. La varilla y las masas deslizantes están girando con velocidad angular uniforme de ω₀=1 rad/s.

Se pulsa el botón titulado Libera

Se liberan las masas deslizantes y se observa su movimiento a lo largo de la varilla y del bloque hacia arriba y hacia abajo. Se dibujan las fuerzas sobre una masa deslizante:

• La fuerza centrífuga, en color rojo

• La mitad del peso del bloque que cuelga, en color azul.

El programa interactivo resuelve la ecuación diferencial del movimiento de las masas deslizantes a lo largo de la dirección radial por el procedimiento de Runge-Kutta. Verifica que se cumple el principio de conservación de la energía, comparando la energía inicial del sistema E₀ y la energía E del sistema en el instante t.

Se denomina error relativo al cociente

${\displaystyle \frac{E-E_0}{E_0}}$

Si esta cantidad es mayor que el 1% ó 0.01 el programa interactivo se detiene, e invita al usuario a disminuir la masa del bloque.

Si se activa la casilla titulada Gráfica, vemos la curva de la energía potencial efectiva de una masa deslizante, V_ef(r) en función de la distancia r al eje de rotación. Para una energía total E de la masa deslizante (línea horizontal de color negro), se muestra:

• la energía potencial, un segmento vertical de color rojo

• la energía cinética correspondiente al movimiento en la dirección radial, un segmento de color azul.

En las posiciones extremas de retorno, la velocidad radial es cero.

En el mínimo, la masa deslizante está en equilibrio.

Referencias

Telfair D., Brooks J. T., Motion subject to a central force. An apparatus for demostrating orbital stability. Am. J. Phys. 30 (1962) pp.561-564