Analogía con el choque frontal elástico

Consideremos un disco de masa M y de radio R, que gira alrededor de un eje que pasa por su centro. Dos partículas iguales de masa m, están sujetas en los extremos de uno de sus diámetros. Se pone el disco en rotación, a continuación se liberan las partículas de su sujeción pero permanecen unidas al eje del disco mediante dos hilos inextensibles de longitud (l+R) tal como se muestra en la figura.

Choques frontales elásticos

Sea un choque frontal elástico entre dos partículas, estando inicialmente en reposo la segunda u2=0

  1. Sea aplica el principio de conservación del momento lineal
  2. m1u1 =m1v1+m2v2

  3. La energía cinética inicial es igual a la final
  4. 1 2 m 1 u 1 2 = 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2

Dadas las velocidades u1 y u2 de las partículas m1 y m2 antes del choque, calculamos las velocidades de las partículas v1 y v2 después del choque, resolviendo este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

v 1 = m 1 m 2 m 1 + m 2 u 1 v 2 = 2 m 1 u 1 m 1 + m 2

Después del choque, la primera partícula:

La situación inicial y final del sistema

A medida que las partículas describen un movimiento en espiral hacia fuera, la velocidad angular de rotación del disco disminuye, hasta que finalmente:

Las dos partículas se mueven en el sentido inicial en una trayectoria circular de radio (R+l).

En este apartado, vamos a comparar la situación inicial y la final y luego, analizaremos la evolución desde el estado inicial al final

Situación inicial

Las dos partículas de masa m están sujetas al borde del disco de masa M y radio R. Sea ω0 la velocidad angular inicial de rotación alrededor del eje que pasa por el centro del disco

Situación final

El disco gira con velocidad angular ωd, y las dos partículas describen una trayectoria circular de radio l+R, con velocidad angular ωp.

Las fuerzas exteriores actúan en el eje del disco. El sistema no es aislado, pero el momento de las fuerzas exteriores respecto del eje de rotación es Mext=0. El momento angular L respecto del eje de rotación permanece constante. Como no hay trabajo de las fuerza interiores (se supone que la cuerda que une las partículas es inextensible y está tensa en todo momento), la energía inicial es igual a la final.

Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas similar al que describe un choque frontal elástico.

c ω 0 =a ω d +b ω p a= 1 2 M R 2 b=2m ( R+l ) 2 c ω 0 2 =a ω d 2 +b ω p 2 c= 1 2 M R 2 +2m R 2

La solución de este sistema de dos ecuaciones es

ω d = ca abc(a+bc) a(a+b) ω 0 ω p = cb+ abc(a+bc) b(a+b) ω 0

Estudiamos este último caso: ωd es nula cuando c2a2=abc(a+b-c), despejamos b de la ecuación de segundo grado

b2-b(c-a)-ca=0

La solución positiva es b=c, o bien

4m M = R 2 (R+l) 2 R 2

Esta es la relación entre las magnitudes que describen el sistema, para que el disco se detenga ωd=0 en la situación final.

Evolución desde el estado inicial al final

En la figura, se muestra las distintas etapas del movimiento, desde la situación inicial a la final, que iremos analizando a lo largo de este apartado.

La fuerza centrífuga hace que las partículas, una vez liberadas de su sujeción en el borde del disco, describan un movimiento en forma de espiral.

Analizamos el sistema en el instante t en el que una de las partículas está en la posición dada por la distancia radial r, y por el ángulo θ que hace con el eje X (coordenadas polares). La otra partícula está en la posición opuesta tal como se aprecia en la figura.

Descomponemos el vector velocidad de la partícula vp en la dirección radial vr y en la dirección tangencial vθ=r·ωp. Donde vr=dr/dt y vθ=r·dθ/dt. Supongamos que la velocidad angular del disco en este instante es ωd.

Primera etapa del movimiento

El punto D del borde del disco y la partícula situada en P están unidos por una porción de cuerda inextensible. Sabiendo que la velocidad del punto D del borde del disco es R·ωd, relacionamos la velocidad angular del disco ωd con las componentes de la velocidad vp de la partícula. Para ello, proyectamos las velocidades del punto P y del punto D a lo largo de la recta que une el punto P y D

R·ωd=r·ωp·sinδ-vr·cosδ,   (3)

donde sinδ=R/r

Tenemos tres ecuaciones con tres incógnitas:

Se despeja ωp y ωd de la primera y tercera ecuación, en función de r y vr

ω p = dθ dt = 2L+MR· v r ·cosδ r(4mr+MR sin δ) ω d = 2L sin δ4mr· v r ·cosδ R(4mr+MR sin δ)

Se introduce las expresiones de ωp y de ωd en la segunda ecuación, y después de un intenso trabajo realizando operaciones algebraicas, despejamos vr.

v r = dr dt = 2E(4m r 2 +M R 2 )2 L 2 2m r 2 (M+4m)

Para calcular la posición (r, θ) de las partículas, se resuelve el sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden mediante procedimientos numéricos

dr dt =f(r) dθ dt =g(r)

Como vemos en la parte derecha de la figura, la posición angular del diámetro del disco está relacionada con la posición angular de la partícula (se ha tomado lR/2, pero puede generalizarse para cualquier l).

θ+(π/2)+φ.

En el triángulo rectángulo que forma la posición P de la partícula, el punto D de contacto de la cuerda con el disco y el centro O del disco (véase de la parte izquierda de la figura)

tanδ= R lRφ φ= l R 1 tanδ sin δ= R r

Situación inicial

En el instante inicial t=0, la partícula se encuentra en θ=0, y r=R. Con estas condiciones iniciales vr=0, por lo que lo procedimiento numérico no progresa. En la simulación, se toma como condiciones iniciales t=0, θ=0, y r=R+ΔR, siendo ΔR una cantidad pequeña, una milésima del valor de R.

Situación final

La cuerda se acaba de desenrollar del disco cuando la partícula dista del origen r2=R2+l2 o bien, cuando el ángulo δ, vale tanδ=R/l, o cuando φ=0.

Segunda etapa del movimiento

El punto D del borde del disco y la partícula situada en P están unidos por una porción de hilo inextensible. Sabiendo que la velocidad del punto D del borde del disco es R·ωd, relacionamos la velocidad angular del disco ωd con las componentes de la velocidad vp de la partícula. Para ello, proyectamos las velocidades del punto P y del punto D a lo largo de la recta que une el punto P y D.

R·ωd·cosφ=r·ωp·sinδ-vr·cosδ,   (3)

El ángulo φ es el que forma el hilo con la tangente al disco en el punto de contacto D.

Aplicando el teorema del seno y del coseno al triángulo POD, tenemos que

cosφ= r R sinδ R 2 = r 2 + l 2 2rlcosδ

Tenemos de nuevo tres ecuaciones con tres incógnitas, de las cuales las dos primeras no cambian ya que expresan la constancia del momento angular y de la energía cinética. Las incógnitas son, de nuevo,

Se despeja ωp y ωd de la primera y tercera ecuación, en función de r y vr

ω p = dθ dt = 2rLsinδ+M R 2 · v r ·cosδ r(4m r 2 +M R 2 )sinδ ω d = 2Lsinδ4mr· v r cosδ (4m r 2 +M R 2 )sinδ

Se introduce las expresiones de ωp y de ωd en la segunda ecuación, y después de un intenso trabajo realizando operaciones algebraicas, despejamos vr.

v r = dr dt = E(4m r 2 +M R 2 ) L 2 (4 m 2 r 2 +mM R 2 / sin 2 δ)

Para calcular la posición (r, θ) de la partícula se resuelve el sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden mediante procedimientos numéricos

dr dt =f(r) dθ dt =g(r)

La posición angular del diámetro del disco, como vemos en la figura es

θ+π-(π/2+φ+δ)= θ+π/2-φ-δ

con

cosδ= r 2 + l 2 R 2 2rl cosφ= r R sinδ

Tercera etapa del movimiento

Situación inicial

La situación inicial de la segunda etapa del movimiento, es la situación final de la primera etapa. En el instante t=t0, la distancia de la partícula al origen es r2=R2+l2, y forma un ángulo θ0 con el eje X.

Situación final

Se produce cuando la cuerda adopta la forma de un segmento de recta que pasando por el centro del disco une las dos partículas. Los enganches situados en la periferia del disco (en color azul en la simulación) dejan de actuar y el disco se mueve con una velocidad angular ωd final constante y las partículas se mueven en una trayectoria circular de radio (R+l) con velocidad angular final constante ωp.

Ejemplos

El momento angular es

L=( 1 2 1.0· 0.5 2 )1.0+2·0.07· 0.5 2 ·1.0=0.16 kgm 2 /s

La energía E del sistema es

E= 1 2 ( 1 2 1.0· 0.5 2 ) 1.0 2 +2· 1 2 0.07· 0.5 2 1.0 2 =0.08J

En la situación final, el disco gira con velocidad angular ωd, y las dos partículas describen una trayectoria circular de radio l+R=1.285 m, con velocidad angular ωp.

Planteamos las ecuaciones de constancia del momento angular y de la energía

0.16= 1 2 1.0· 0.5 2 · ω d +2·0.07· 1.285 2 · ω p 0.08= 1 2 ( 1 2 1.0· 0.5 2 )· ω d 2 +2· 1 2 0.07· 1.285 2 · ω p 2

Resolvemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

ωd=-0.227 rad/s y ωp=0.815 rad/s

Ejemplo 2:

La masa crítica de las partículas para la cual, el disco se detiene se obtiene de la relación

4m M = R 2 (R+l) 2 R 2 4m 1.0 = 0.5 2 1.285 2 0.5 2 m=0.0446kg

Comprobación. Para este valor de la masa m de cada una de las partículas

El momento angular del sistema será

L=0.1473 kgm2/s

La energía del sistema será

E=0.0736 J

Planteamos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas para calcular la velocidad angular del disco ωd, y la velocidad angular de las partículas ωp.

0.1473=0.125· ω d +0.1473· ω p 0.1473=0.125· ω d 2 +0.1473· ω p 2

Resolvemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

ωd=0.0 rad/s y ωp=1.0 rad/s

Se sugiere al lector que compruebe que cuando m=M/π=1.0/π=0.3183 kg, el disco invierte el sentido de su velocidad inicial de 1 rad/s.

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Observamos el movimiento del disco y de las partículas desde la situación inicial a la situación final. En la parte izquierda, se representa mediante un diagrama de barras la energía cinética y el momento angular del disco (en color azul), y de las dos partículas (en color rojo). El momento angular total permanece constante y también la energía. Se va transfiriendo energía y momento angular del disco hacia las partículas y eventualmente de las partículas al disco cuando éste invierte el sentido de  su movimiento.

En la parte derecha, se proporcionan los datos referentes a la velocidad angular de las partículas y del disco, del momento angular y de la energía del sistema formado por el disco y las partículas.

Referencias

Mungan C. The satellite derotator. The Physics Teacher, vol 40, September 2002, pp. 368-372

Este artículo está disponible en la dirección: https://www.usna.edu/Users/physics/mungan/Publications/Publications.php#fndtn-panel120162017

Physics demonstration experiments. Editado por Meiners, Ronald Press, New York 1970. Sección 13-7 Conservation of Angular Momentum.