Transferencia de la velocidad en un choque por medio de una varilla interpuesta (II)

Sea una varilla de masa m y longitud l, que puede girar alrededor de un eje perpendicular a la varilla y que pasa por su extremo O. Una partícula de masa m1 lleva una velocidad inicial v0 y que dista r1 de O choca con la varilla, inicialmente en reposo
La varilla a su vez, choca con otra partícula inicialmente en reposo, de masa m2 que dista r2 del eje de rotación
Los choques de la partícula de masa m1 con la varilla y de la varilla con la partícula de masa m2 se consideran en una primera aproximación al problema, elásticos
Se pide calcular las velocidades finales (inmediatamente después del choque) v1 y v2 de las partículas y la velocidad angular ω de rotación de la varilla.
Para resolver el problema aplicamos
- Conservación del momento angular
- Balance energético. Conservación de la energía cinética en el caso de choques elásticos
El momento lineal no se conserva ya que no es un sistema aislado, la varilla está sujeta en el eje O

Comparando la situación inicial y final, en este problema tenemos dos ecuaciones pero tres incógnitas:
- la velocidad v1 de la partícula de masa m1 después del choque
- la velocidad v2 de la partícula de masa m2 después del choque
- La velocidad angular ω de la varilla
Pero solamente disponemos de dos ecuaciones, estamos en un problema similar a la estática de una escalera apoyada en paredes perpendiculares
Para resolver el problema, supondremos que se producen dos choques consecutivos:
- de la partícula de masa m1 con la varilla
- de la varilla con la partícula de masa m2
Aplicando el teorema de Steiner, calculamos el momento de inercia de la varilla respecto de un eje perpendicular que pasa por su extremo O
Choques elásticos
Primer choque

Conservación del momento angular
Conservación de la energía cinética
El momento angular inicial (respecto de O) es
El momento angular después del choque es
Despejamos la velocidad angular de rotación de la varilla
La energía cinética inicial es
La energía cinética después del choque es
La conservación de la energía conduce a una ecuación de segundo grado en v1
cuya solución es
La primera solución corresponde a la identidad v1=v0. La solución es
Segundo choque

Conservación del momento angular
Conservación de la energía cinética
El momento angular inicial (respecto de O) es
El momento angular después del choque es
Despejamos la velocidad angular de rotación de la varilla
La energía cinética inicial es
La energía cinética después del choque es
La conservación de la energía conduce a una ecuación de segundo grado en v2
La solución v2=0 es la identidad, luego
La velocidad angular de rotación después del choque, ω=0 si
El segundo miembro es el momento de inercia de la varilla
El análisis estará completo siempre que la varilla después del segundo choque no vuelva a chocar con la primera partícula de masa m1 y velocidad v1. No sucederá si ωr1>v1
La energía cinética no se conserva
Volvemos a resolver el problema, sustituyendo la ecuación de la conservación de la energía, por el balance energético en términos del coeficiente de restitución e
Supondremos que existen dos coeficientes de restitución:
- e1 para describir el choque de la partícula de masa m1 con la varilla (primer choque)
- e2 para describir el choque de la varilla con partícula de masa m2 (segundo choque)
Primer choque

Conservación del momento angular
Balance energético
Despejamos la velocidad angular ω1 de la varilla y la velocidad final v1 de la partícula de masa m1, en el sistema de dos ecuaciones
Segundo choque

Conservación del momento angular
Balance energético
Resolvemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: la velocidad final de rotación de la varilla ω y la velocidad final v2 de la partícula de masa m2
Choques elásticos
Para los choque elástico, e1=e2=1
Comprobamos que se obtienen las expresiones del apartado titulado 'Choques elásticos'
Primer choque
Segundo choque
Choques completamente inelásticos
Para resolver los choques completamente inelásticos no vale con poner e1=e2=0, en las fórmulas generales. Es preciso volver a describir los dos choques consecutivos
Primer choque

Conservación del momento angular
Balance energético
Despejamos la velocidad angular ω1 de la varilla después del choque. La velocidad de la partícula de masa m1 es v1=ω1r1
Segundo choque
Conservación del momento angular
Balance energético
Despejamos la velocidad angular ω de la varilla después del choque. La velocidad de la partícula de masa m2 es v2=ω2r1
Referencias
Kirk T. McDonald. An Ill-Posed Problem in Rigid-Body Dynamics. June 11, 2011