Movimiento sobre la cúpula semiesférica

con rozamiento

Dibujamos las fuerzas que actúan sobre la partícula, cuando se ha desplazado un ángulo θ.

La partícula describe un movimiento circular con aceleración tangencial at y aceleración normal an. Estas aceleraciones se determinan aplicando la segunda ley de Newton

Combinando estas dos ecuaciones obtenemos la ecuación diferencial del movimiento

a t =R d 2 θ d t 2 a n = v 2 R =R ( dθ dt ) 2 F r =μN d 2 θ d t 2 = g R sinθ μ R ( g cosθR ( dθ dt ) 2 )

que se resuelve por procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales t=0, θ=0, dθ/dt=v0/R. Donde v0 es la velocidad inicial. En un apartado más abajo, resolveremos utilizando MATLAB la ecuación del movimiento

La partícula se detiene o deja de tener contacto con la cúpula

Las aceleraciones tangencial y normal se expresan en función de la velocidad v del siguiente modo

a t = dv dt = dv dθ dθ dt = dv dθ v R = 1 2R d v 2 dθ a n = v 2 R

Despejando la reacción N en la segunda ecuación del movimiento y sustituyéndola en la primera, obtenemos la ecuación diferencial de primer orden

1 2R d v 2 dθ =g(sinθμcosθ)+μ v 2 R

Llamando x= v 2 Rg nos queda la ecuación diferencial

dx dθ 2μx=2(sinθμcosθ)

La solución de la ecuación diferencial se compone de dos términos:

La solución particular x1=Asinθ+Bcosθ

Introduciendo la solución particular en la ecuación diferencial obtenemos los valores de los coeficientes A y B

A= 6μ 4 μ 2 +1 B= 4 μ 2 2 4 μ 2 +1

Buscamos la solución de la ecuación diferencial homogénea

dx dθ 2μx=0 dx x =2μ·dθ dx x = 2μ·dθ

Integrando ambos miembros obtenemos lnx=2μθ+cte, o bien,  x2=C·exp(2μθ)

La solución completa es x=x1+x2

x=Cexp(2μθ)+ 6μ·sinθ+(4 μ 2 2)cosθ 4 μ 2 +1

La constante C se determina a partir de las condiciones iniciales, para θ=0, v=v0

Finalmente, la ecuación que nos proporciona la velocidad v en función del ángulo θ, es

v 2 Rg = v 0 2 Rg exp(2μθ)+ (4 μ 2 2)( cosθexp(2μθ) )6μ·sinθ 4 μ 2 +1

Sea una cúpula semiesférica de radio R=1, la velocidad inicial en la posición θ=0, es v0=2 m/s, el coeficiente de rozamiento es μ=0.4. Representamos v2/(Rg) en función del ángulo θ

mu=0.4; %coeficiente de rozamiento
v0=2; %velocidad inicial para theta=0,

v2=@(x) v0^2*exp(2*mu*x*pi/180)/(R*9.8)+((4*mu^2-2)*(cos(x*pi/180)
-exp(2*mu*x*pi/180))-6*mu*sin(x*pi/180))/(4*mu^2+1);
fplot(v2,[0,pi/2]*180/pi)
grid on
xlabel('\theta')
ylabel('v^2/Rg')
title('Velocidad')

La partícula no se detiene

Representamos la reacción de la cúpula N/mg en función del ángulo θ

R=1; %radio
mu=0.4; %coeficiente de rozamiento
v0=2; %velocidad inicial para theta=0,

v2=@(x) v0^2*exp(2*mu*x*pi/180)/(R*9.8)+((4*mu^2-2)*(cos(x*pi/180)-
exp(2*mu*x*pi/180))-6*mu*sin(x*pi/180))/(4*mu^2+1);
N=@(x) cos(x*pi/180)-v2(x);

fplot(N, [0,pi/2]*180/pi)
grid on
xlabel('\theta')
ylabel('N/mg')
title('Normal')

Para el ángulo cercano a 45° la reacción N se hace cero. Calculamos este ángulo con la función fzero de MATLAB

>> fzero(N,[0,pi/2]*180/pi)
ans =   45.2367

Cambiamos el coeficiente de rozamiento μ=1, observamos que la reacción del plano N no se hace nula

Sin embargo, la velocidad se hace nula para un ángulo próximo a 20° que calculamos con la función fzero de MATLAB

>> fzero(v2,[0,pi/2]*180/pi)
ans =   19.1566

Velocidad inicial crítica y ángulo crítico

Fijamos el coeficiente de rozamiento, por ejemplo, μ=1, y vamos cambiando la velocidad inicial v0 con el que lanzamos la partícula en la posición θ=0.

En la figura, se representa (en color rojo) la velocidad de la partícula v en función del ángulo θ, para varias velocidad iniciales v0=2.2, 2.21, 2.22… 2.29 m/s. En color azul, se representa la velocidad de la partícula v en función del ángulo θ para la velocidad inicial v0=2.2522046 m/s. Se ha fijado el radio de la cúpula R=1.0 m y el coeficiente de rozamiento, μ=1.

Existe una velocidad inicial crítica v0,c para el cual la velocidad v de la partícula presenta un mínimo v=0 en el ángulo θc denominado ángulo crítico (véase la curva de color azul).

v 2 ( θ c )=0 ( d v 2 dθ ) θ c =0

Tenemos un sistema de dos ecuaciones, haciendo operaciones y simplificando llegamos a la siguiente relación

tanθc=μ

Empleando las relaciones trigonométricas

cosθ= 1 1+ tan 2 θ sinθ= tanθ 1+ tan 2 θ

calculamos la velocidad inicial crítica v0,c en θ=0 para la cual la partícula se detiene en θc.

v 0,c 2 Rg = 2 1+4 μ 2 ( 2 μ 2 1+ μ 2 +1 exp(2μarctanμ) )

Ejemplo

Para μ=1, y R=1

En la figura se representa v0,c en función del coeficiente de rozamiento μ

Como apreciamos en la gráfica, lim μ v 0,c Rg =1.0

La curva de color rojo divide el plano (μ, v0) en dos regiones. Fijado el valor de μ

Utilizando MATLAB

Integramos la ecuación diferencial de primer orden utilizando dsolve. En este caso la variable x=v2/(Rg), y el ángulo θ se representa por la letra t.

Obtenemos las expresión de x para el caso en el que el coeficiente μ=1 de la fuerza de rozamiento

Representamos en la misma ventana gráfica x en función del ángulo t, en radianes, para varios valores de la velocidad inicial v0 o de la condición inicial x0

Calculamos mediante solve el valor de la velocidad inicial crítica para el ángulo θc tal que tanθc=μ

syms mu x0 t;
x=dsolve('Dx-2*mu*x=2*(sin(t)-mu*cos(t))','x(0)=x0');
x=subs(x,mu,1)
xf=[2.20 2.22 2.24 2.26 2.28 2.30].^2/9.8;
hold on
for i=1:length(xf)
    xx=subs(x,x0,xf(i));
    ezplot(xx,[0,50*pi/180]);
   
end
xlabel('\theta(radianes)')
ylabel('v^2/(Rg)')
title('Movimiento en un cúpula')
grid on
hold off
%calcula la velocidad inicial crítica para el ángulo t tal que tan(t)=mu
vc=sqrt(9.8*solve(subs(x,t,atan(1)),x0));
double(vc)

ans =2.2522

Solución numérica de la ecuación del movimiento

Primero, calculamos el ángulo límite para el cual la partícula se detiene v=0, o bien, la reacción de la cúpula N=0. Después, resolvemos la ecuación diferencial del movimiento que se ha deducido al principio de esta página.

R=1; %radio
mu=0.4; %coeficiente de rozamiento
v0=2; %velocidad incial
Vc=sqrt(R*9.8*2*(2*mu^2-1+sqrt(mu^2+1)*exp(-2*mu*atan(mu)))/(1+4*mu^2));

v2=@(x) v0^2*exp(2*mu*x)/(R*9.8)+((4*mu^2-2)*(cos(x)-exp(2*mu*x))
-6*mu*sin(x))/(4*mu^2+1);
N=@(x) cos(x)-v2(x);

if v0<Vc
    aLimite=fzero(v2,[0,pi/2]);
    opts=odeset('events',@(t,x) stop_cupula_1(t,x));
else
    aLimite=fzero(N,[0,pi/2]);
    opts=odeset('events',@(t,x) stop_cupula(t,x,aLimite));
end

x0=[0, v0];
f=@(t,x) [x(2);9.8*sin(x(1))/R-mu*(9.8*cos(x(1))-R*x(2)^2)/R]; 
tspan=[0,10]; 
[t,x]=ode45(f,tspan,x0,opts);

plot(t,x(:,1)*180/pi)
grid on
xlabel('t')
ylabel('\theta')
title('Cúpula semiesférica con rozamiento')

Definimos dos funciones para que el proceso de integración se detenga cuando N sea cero o cuando la velocidad dθ/dt sea cero.

function [value,isterminal,direction]=stop_cupula(~,x,xFin)
    value=xFin-x(1); 
    isterminal=1;
    direction=0; 
end
function [value,isterminal,direction]=stop_cupula_1(~,x)
    value=x(2); 
    isterminal=1;
    direction=0; 
end

Cuando μ=0.4 y v0=2. La partícula deja de tener contacto con la cúpula, N=0 cuando θ=45.2°

aLimite*180/pi
ans =   45.2367

Cambiamos el coeficiente de rozamiento μ=1, la partícula se detiene dθ/dt=0, para θ=19.2°.

>> aLimite*180/pi
ans =   19.1566

Balance energético

La energía de la partícula en la posición inicial es

Cuando la partícula se encuentra en la posición angular θ.

La fuerza de rozamiento Fr=μN, tiene la misma dirección (tangencial) que el desplazamiento, el arco R·dθ, pero de sentido contrario. El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento es.

W nc = 0 θ μN·Rdθ =μm 0 θ ( gRcosθ v 2 )dθ

El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento Wnc<0 también se puede calcular hallando la diferencia entre la energía final menos la energía inicial.

W nc =( 1 2 m v 2 +mgRcosθ )( 1 2 m v 0 2 +mgR )

Resulta

v 2 Rg v 0 2 Rg =2(1cosθ)2μ 0 θ ( cosθ v 2 Rg ) dθ x x 0 =2(1cosθ)2μ 0 θ ( cosθx )dθ

derivando con respecto a θ

dx dθ =2sinθ2μ(cosθx) dx dθ 2μx=2(sinθμcosθ)

La misma ecuación diferencial que obtuvimos por dinámica

Ejemplo 

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Observamos el movimiento de la partícula deslizando sobre la cúpula. Sobre la partícula se dibujan las fuerzas: peso mg, reacción N, y fuerza de rozamiento Fr.

En la parte superior derecha, se proporcionan los datos de

Cuando la reacción N se hace cero, se muestran los datos de la a velocidad v en la posición θc en la que la partícula deja de tener contacto con la cúpula semiesférica.

El círculo situado en la parte superior izquierda representa la energía total de la partícula, la porción de color rojo representa la energía cinética, y la porción azul, la energía potencial. Observamos que la energía potencial se va transformando en energía cinética, pero la suma de los valores de ambas clases de energía no se mantiene constante a lo largo de la trayectoria de la partícula si hay rozamiento. El trabajo de la fuerza de rozamiento viene indicado por la porción negra del círculo de mayor radio.

Mediante una línea roja a trazos se señala el ángulo límite, para el cual la reacción N=0 o la partícula se detiene, su velocidad v=0


Referencias

Mungan C. Sliding on the surface of a rough sphere. The Physics Teacher, Vol 41, September 2003, pp. 326-328

Este artículo está disponible en la dirección: https://www.usna.edu/Users/physics/mungan/Publications/Publications.php#fndtn-panel120162017

de Lange O. L. Pierrus J., Prior T., Mele E. J. Comment on “A block slipping on a sphere with friction: Exact and perturbative solutions”, by Tom Prior and E. J. Mele [Am. J. Phys. 75 (5) 423-426 (2007)] Am. J. Phys. 76 (1) January 2008.