Oscilaciones forzadas en un sistema formado por partículas unidas por muelles (I)

Una partícula unida a un muelle elástico

Escribimos la ecuación del movimiento aplicando la segunda ley de Newton y a continuación, otra ecuación equivalente en la que se ha sustituido k/m por el cuadrado de ω0 que es la frecuencia propia o natural del oscilador. Esta segunda forma es más general que la primera y es válida para cualquier tipo de oscilador

m d 2 x d t 2 =kx+ F 0 cos( ωt ) d 2 x d t 2 + ω 0 2 x= F 0 m cos( ωt )

En el estado estacionario, la solución de esta ecuación diferencial es de la forma x(t)=Acos(ωt)+Bsin(ωt). Calculamos los coeficientes A y B, introduciendo la solución en la ecuación diferencial

ω 2 ( Acos( ωt )+Bsin( ωt ) )+ ω 0 2 ( Acos( ωt )+Bsin( ωt ) )= F 0 m cos( ωt )

Que dan lugar al siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

{ ( ω 2 + ω 0 2 )A= F 0 m ( ω 2 + ω 0 2 )B=0

El resultado es el siguiente: B=0,

A= F 0 m( ω 0 2 ω 2 )

Representamos la amplitud A en función de x=ω/ω0

A= F 0 m ω 0 2 ( 1 x 2 )

fplot('1/(1-x^2)',[0,3])
ylim([-5,5])
grid on
xlabel('\omega/\omega_0')
ylabel('A')
title('Un oscilador')

Las amplitudes A se hace infinita, cuando el denominador se hace cero, ω/ω0=1

Dos osciladores acoplados

Escribimos la ecuación del movimiento aplicando la segunda ley de Newton y a continuación, otra ecuación equivalente en la que se ha sustituido k/m por el cuadrado de ω0 que es la frecuencia propia o natural del oscilador.

{ m d 2 x 1 d t 2 =k x 1 +k( x 2 x 1 )+ F 0 cos( ωt ) m d 2 x 2 d t 2 =k x 2 k( x 2 x 1 ) { d 2 x 1 d t 2 +2 ω 0 2 x 1 ω 0 2 x 2 = F 0 m cos( ωt ) d 2 x 2 d t 2 ω 0 2 x 1 +2 ω 0 2 x 2 =0

En el estado estacionario, la solución de este sistema de dos ecuaciones diferenciales tiene la forma x1(t)=A1cos(ωt)+B1sin(ωt) y x2(t)=A2cos(ωt)+B2sin(ωt). Calculamos los coeficientes A1, B1, A2 y B2, introduciendo las soluciones x1(t) y x2(t) en el segundo sistema de ecuaciones diferenciales.

{ ω 2 ( A 1 cos( ωt )+ B 1 sin( ωt ) )+ ω 0 2 ( 2( A 1 cos( ωt )+ B 1 sin( ωt ) )( A 2 cos( ωt )+ B 2 sin( ωt ) ) )= F 0 m cos( ωt ) ω 2 ( A 2 cos( ωt )+ B 2 sin( ωt ) )+ ω 0 2 ( ( A 1 cos( ωt )+ B 1 sin( ωt ) )+2( A 2 cos( ωt )+ B 2 sin( ωt ) ) )=0

Que dan lugar al siguiente sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas

{ ( 2 ω 0 2 ω 2 ) A 1 ω 0 2 A 2 = F 0 m ω 0 2 A 1 +( 2 ω 0 2 ω 2 ) A 2 =0 ( 2 ω 0 2 ω 2 ) B 1 ω 0 2 B 2 =0 ω 0 2 B 1 +( 2 ω 0 2 ω 2 ) B 2 =0

syms w w0 F0 m;
A=[(2*w0^2-w^2),-w0^2,0,0; -w0^2,(2*w0^2-w^2),0,0; 0,0 (2*w0^2-w^2),
-w0^2;0,0,-w0^2,(2*w0^2-w^2)];
b=[F0/m;0;0;0];
X=A\b
X =
 -(F0*(w^2 - 2*w0^2))/(m*(w^4 - 4*w^2*w0^2 + 3*w0^4))
            (F0*w0^2)/(m*(w^4 - 4*w^2*w0^2 + 3*w0^4))
                                                    0
                                                    0

El resultado es el siguiente: B1=0, B2=0

A 1 = ( 2 ω 0 2 ω 2 ) F 0 m( ω 4 4 ω 0 2 ω 2 +3 ω 0 4 ) A 2 = ω 0 2 F 0 m( ω 4 4 ω 0 2 ω 2 +3 ω 0 4 )

Representamos las amplitudes A1 y A2 en función de x=ω/ω0

A 1 = ( 2 x 2 ) F 0 m ω 0 2 ( x 4 4 x 2 +3 ) A 2 = F 0 m ω 0 2 ( x 4 4 x 2 +3 )

A1=@(x) (2-x^2)/(x^4-4*x^2+3);
A2=@(x) 1/(x^4-4*x^2+3);
hold on
fplot(A1,[0,3]);
fplot(A2,[0,3]);
hold off
ylim([-5,5])
grid on
legend('A_1', 'A_2')
xlabel('\omega/\omega_0')
ylabel('A_1, A_2')
title('Dos osciladores')

Las amplitudes A1 y A2 se hacen infinitas, cuando el denominador se hace cero

>> solve(x^4-4*x^2+3)
ans =
       -1
        1
  3^(1/2)
 -3^(1/2)

Las raíces positivas son ω/ω0=1, ω/ω0= 3

La amplitud A1 se hace cero para ω/ω0= 2

En la figura, apreciamos los intervalos de frecuencias en los que A1>0 es decir, el movimiento de la primera partícula está en fase con la fuerza oscilante, x1(t)=A1cos(ωt) y los intervalos de frecuencias en los que A1<0 es decir, el movimiento de la primera partícula está en oposición fase con la fuerza oscilante, x1(t)=|A1|cos(ωt+π). Lo mismo podríamos decir para A2

Tres osciladores acoplados

Escribimos la ecuación del movimiento aplicando la segunda ley de Newton y a continuación, otra ecuación equivalente en la que se ha sustituido k/m por el cuadrado de ω0 que es la frecuencia propia o natural del oscilador.

{ m d 2 x 1 d t 2 =k x 1 +k( x 2 x 1 )+ F 0 cos( ωt ) m d 2 x 2 d t 2 =k( x 2 x 1 )+k( x 3 x 2 ) m d 2 x 3 d t 2 =k( x 3 x 2 )k x 3 { d 2 x 1 d t 2 +2 ω 0 2 x 1 ω 0 2 x 2 = F 0 m cos( ωt ) d 2 x 2 d t 2 ω 0 2 x 1 +2 ω 0 2 x 2 ω 0 2 x 3 =0 d 2 x 3 d t 2 ω 0 2 x 2 +2 ω 0 2 x 3 =0

En el estado estacionario, la solución de este sistema de tres ecuaciones diferenciales tiene la forma x1(t)=A1cos(ωt)+B1sin(ωt), x2(t)=A2cos(ωt)+B2sin(ωt) y x3(t)=A3cos(ωt)+B3sin(ωt). Calculamos los coeficientes A1, B1, A2, B2, A3, B3 introduciendo las soluciones x1(t), x2(t) y x3(t) en el segundo sistema de ecuaciones diferenciales.

{ ω 2 ( A 1 cos( ωt )+ B 1 sin( ωt ) )+ ω 0 2 ( 2( A 1 cos( ωt )+ B 1 sin( ωt ) )( A 2 cos( ωt )+ B 2 sin( ωt ) ) )= F 0 m cos( ωt ) ω 2 ( A 2 cos( ωt )+ B 2 sin( ωt ) )+ ω 0 2 ( ( A 1 cos( ωt )+ B 1 sin( ωt ) )+2( A 2 cos( ωt )+ B 2 sin( ωt ) )( A 3 cos( ωt )+ B 3 sin( ωt ) ) )=0 ω 2 ( A 3 cos( ωt )+ B 3 sin( ωt ) )+ ω 0 2 ( ( A 2 cos( ωt )+ B 2 sin( ωt ) )+2( A 3 cos( ωt )+ B 3 sin( ωt ) ) )=0

Dando lugar al siguiente sistema de seis ecuaciones con seis incógnitas

{ ( 2 ω 0 2 ω 2 ) A 1 ω 0 2 A 2 = F 0 m ω 0 2 A 1 +( 2 ω 0 2 ω 2 ) A 2 ω 0 2 A 3 =0 ω 0 2 A 2 +( 2 ω 0 2 ω 2 ) A 3 =0 ( 2 ω 0 2 ω 2 ) B 1 ω 0 2 B 2 =0 ω 0 2 B 1 +( 2 ω 0 2 ω 2 ) B 2 ω 0 2 B 3 =0 ω 0 2 B 2 +( 2 ω 0 2 ω 2 ) B 3 =0

syms w w0 F0 m;
A=[(2*w0^2-w^2),-w0^2,0,0,0,0;-w0^2,(2*w0^2-w^2),-w0^2,0,0,0;0,
-w0^2,(2*w0^2-w^2),0,0,0;0,0,0,(2*w0^2-w^2),-w0^2,0;0,0,0,-w0^2,(2*w0^2-w^2),
-w0^2;0,0,0,0,-w0^2,(2*w0^2-w^2)];
b=[F0/m;0;0;0;0;0];
X=A\b
X =
 -(F0*(w^4 - 4*w^2*w0^2 + 3*w0^4))/(m*(w^2 - 2*w0^2)*(w^4 - 4*w^2*w0^2 + 2*w0^4))
                                        (F0*w0^2)/(m*(w^4 - 4*w^2*w0^2 + 2*w0^4))
                         -(F0*w0^4)/(m*(w^6 - 6*w^4*w0^2 + 10*w^2*w0^4 - 4*w0^6))

El resultado es el siguiente: B1=0, B2=0 y B3=0

A 1 = F 0 ( 3 ω 0 2 4 ω 0 2 ω 2 + ω 4 ) m( 4 ω 0 6 10 ω 0 4 ω 2 +6 ω 0 2 ω 4 ω 6 ) A 2 = F 0 ω 0 2 m( ω 4 4 ω 0 2 ω 2 +2 ω 0 4 ) A 3 = F 0 ω 0 4 m( 4 ω 0 6 10 ω 0 4 ω 2 +6 ω 0 2 ω 4 ω 6 )

Representamos las amplitudes A1, A2 y A3 en función de x=ω/ω0

A 1 = F 0 ( 34 x 2 + x 4 ) m ω 0 2 ( 410 x 2 +6 x 4 x 6 ) A 2 = F 0 m ω 0 2 ( x 4 4 x 2 +2 ) A 3 = F 0 m ω 0 2 ( 410 x 2 +6 x 4 x 6 )

A1=@(x) (3-4*x^2+x^4)/(4-10*x^2+6*x^4-x^6);
A2=@(x) 1/(x^4-4*x^2+2);
A3=@(x) 1/(4-10*x^2+6*x^4-x^6);
hold on
fplot(A1,[0,3]);
fplot(A2,[0,3]);
fplot(A3,[0,3]);
hold off
ylim([-5,5])
grid on
legend('A_1', 'A_2', 'A_3')
xlabel('\omega/\omega_0')
ylabel('A_1, A_2,  A_3')
title('Tres Osciladores')

Las amplitudes A1, A3 y A2 se hacen infinitas, cuando el denominador se hace cero

>> solve(4-10*x^2+6*x^4-x^6)
ans =
  (2^(1/2) + 2)^(1/2)
              2^(1/2)
 -(2^(1/2) + 2)^(1/2)
  (2 - 2^(1/2))^(1/2)
             -2^(1/2)
 -(2 - 2^(1/2))^(1/2)
 
>> solve(x^4-4*x^2+2)
ans = 
  (2^(1/2) + 2)^(1/2)
 -(2^(1/2) + 2)^(1/2)
  (2 - 2^(1/2))^(1/2)
 -(2 - 2^(1/2))^(1/2)

Las raíces positivas son ω/ω0= 2 2 , ω/ω0= 2 , ω/ω0= 2+ 2

La amplitud A1 se hace cero para ω/ω0=1 y para ω/ω0= 3

>> solve(3-4*x^2+x^4)
ans =
       -1
        1
  3^(1/2)
 -3^(1/2)

n osciladores acoplados

Se puede encontrar una solución analítica para n osciladores, véase el artículo citado en las referencias.

Referencias

Somayyeh Belbasi, M. Ebrahim Foulaadvand, Yong S. Joe. Anti-resonance in a one-dimensional chain of driven coupled oscillators Am. J. Phys. 82, 32, (2014), doi: 10.1119/1.4827277