Relaciones de dispersión

Cadena monoatómica lineal

Como vemos en la figura tenemos N partículas de masa m unidas a N+1 muelles iguales de constante k, cuyos extremos están fijos. La separación de equilibrio entre las partículas es a.

Supongamos que en un instante dado t, la partícula 1 se desplaza x1, la partícula 2 se desplaza x2, ... la partícula i se desplaza xi, etc.

La ecuación del movimiento para la partícula i será entonces

m d 2 x i d t 2 =k( x i x i1 )+k( x i+1 x i )

Supongamos, que el sistema vibra en un modo de frecuencia ω. Cada partícula describirá un M.A.S. de la misma frecuencia ω , pero cuya amplitud Ai vamos a calcular.

xi=Ai·cos(ω t)

Introduciendo esta expresión en la ecuación diferencial que describe el movimiento de cada partícula, obtenemos, la relación de recurrencia.

A i+1 + A i1 = A i ( 2 m k ω 2 ) A i+1 + A i1 = A i s A 0 =0 A N+1 =0

Ejemplos

Relación de dispersión

Para N→∞, probamos una solución de la forma

Ai=A·sin(K·ia)

donde K es el número de onda K=. La relación de recurrencia se escribe

Asin(Kia+Ka)+ Asin(Kia-Ka)= Asin(Kia)(2-2/k)

2cos(Ka)=( 2 m k ω 2 ) ω 2 =4 k m sin 2 ( Ka 2 )

Esta ecuación que relaciona la frecuencia angular ω con el número de onda K, se denomina relación de dispersión.

En la figura, se representa el cuadrado de la frecuencia angular ω en función de Ka (donde K es el número de onda) en el intervalo (-π, +π).

fplot('4*sin(x/2)^2',[-pi,pi])
set(gca,'XTick',(-1:1)*pi)
set(gca,'XTickLabel',{'-\pi','0','\pi'})
xlabel('Ka')
ylabel('\omega^2')
grid on
title('Relación de dispersión')

Cadena diatómica

Consideremos una cadena lineal de moléculas diatómicas separados una distancia a en la situación de equilibrio, tal como se muestra en la figura.

Consideremos el movimiento de dos átomos contiguos.

Ecuaciones del movimiento

M d 2 y i d t 2 =k( y i x i1 )+k( x i+1 y i ) m d 2 x i+1 d t 2 =k( x i+1 y i )+k( y i+2 x i+1 )

Probamos una solución de la forma

yi=Aicos(ωt), con Ai=Asin(Kia)

xi+1=Ai+1cos(ωt), con Ai+1=Bsin(K(i+1)a)

donde K se denomina número de onda

Introducimos estas soluciones en las dos ecuaciones diferenciales y obtenemos un sistema homogéneo de dos ecuaciones con dos incógnitas A y B.

A(-ω2M+2k)sin(Kia)-Bk(sin(K(i+1)a)+sin(K(i-1)a))=0
-Ak
(sin(K(i+2)a)+sin(Kia))+B(-ω2m+2k) sin(K(i+1)a)=0

Teniendo en cuenta que

sin(K(i+1)a)+sin(K(i-1)a)=2sin(Kia)cos(Ka)
sin(K(i+2)a)+sin(Kia)= 2sin(K (i+1)a)cos(Ka)

y eliminamos A y B en el sistema homogéneo de dos ecuaciones

(-ω2M+2k) (-ω2m+2k)sen(Kia)sen(K(i+1)a)-4k2sen(Kia)cos2(Ka)sen(K(i+1)a))=0

Simplificando el factor común sin(Kia)sin(K(i+1)a)

ω 4 2k m+M mM +4 k 2 mM sin 2 (Ka)=0 ω 2 =k( 1 M + 1 m )±k ( ( 1 M + 1 m ) 2 4 sin 2 (Ka) mM )

Esta ecuación que relaciona la frecuencia ω con el número de onda K, se denomina relación de dispersión.

En la figura, se representa se representa el cuadrado de la la frecuencia angular ω en función Ka (donde K es del número de onda) en el intervalo (-π/2, +π/2). La curva superior (signo +) se denomina rama óptica, y la inferior (signo -) se denomina rama acústica.

M=0.75;
m=1;
k=1;
f1=@(x) k*(1/m+1/M)+k*sqrt((1/m+1/M)^2-4*sin(x)^2/(m*M));
f2=@(x) k*(1/m+1/M)-k*sqrt((1/m+1/M)^2-4*sin(x)^2/(m*M));
hold on
fplot(f1,[-pi/2,pi/2])
fplot(f2,[-pi/2,pi/2])
hold off
set(gca,'XTick',(-1:1)*pi/2)
set(gca,'XTickLabel',{'-\pi/2','0','\pi/2'})
xlabel('Ka')
ylabel('\omega^2')
grid on
title('Relación de dispersión')

Referencias

Runk R. B. Stul J. L. Anderson G. L. A laboratory analog for lattice dynamics. Am. J. Phys. (31) 1963, pp. 915-921