Modos normales de vibración (II)

Sistema formado por partículas de la misma masa unidades por muelles elásticos de distinta constante

Vamos a estudiar sistemas formados por dos y tres partículas de la misma masa unidas por muelles de constantes k (azul) y g (rojo). Se generalizará sin dificulad a un sistema formado por N partículas.

Sistema formado por dos partículas

Ecuaciones del movimiento

m d 2 x 1 d t 2 =k x 1 +g( x 2 x 1 ) m d 2 x 2 d t 2 =g( x 2 x 1 )k x 2

En forma matricial

( m 0 0 m )( d 2 x 1 d t 2 d 2 x 2 d t 2 )+( k+g g g k+g )( x 1 x 2 )=0

La primera es la matriz M de las masas y la segunda es la matriz K de las constantes de los muelles. Las frecuencias de los modos normales de vibración ω2 son los valores propios de la matriz M-1K. El vector propio correspondiente a cada uno de los valores propios son los vectores columna de la matriz V

>> syms k g m;
>> M=[m,0;0,m];
>> K=[k+g,-g;-g,k+g];
>> [V,D]=eig(M^-1*K);
>> w2 =diag(D)
w2=
         k/m
 (2*g + k)/m
>> V
V =
 
[ 1, -1]
[ 1,  1]
Valores propios ω2 Vectores propios
k m (1,1)
k+2g m (-1,1)
Ejemplo

Sea un sistema formado por dos partículas de masa m=1, unidas por muelles de constantes k=1 y g=2. las frecuencias de los modos normales de vibración son. ω1=1 y ω2= 5

Sistema formado por tres partículas

Ecuaciones del movimiento

m d 2 x 1 d t 2 =k x 1 +g( x 2 x 1 ) m d 2 x 2 d t 2 =g( x 2 x 1 )+k( x 3 x 2 ) m d 2 x 3 d t 2 =k( x 3 x 2 )g x 3

En forma matricial, el sistema de ecuaciones se expresa

( m 0 0 0 m 0 0 0 m )( d 2 x 1 d t 2 d 2 x 2 d t 2 d 2 x 3 d t 2 )+( k+g g 0 g k+g k 0 k k+g )( x 1 x 2 x 3 )=0

La primera es la matriz M de las masas y la segunda es la matriz K de las constantes de los muelles. Las frecuencias de los modos normales de vibración ω2 son los valores propios de la matriz M-1K. El vector propio correspondiente a cada uno de los valores propios son los vectores columna de la matriz V

>> syms k g m;
>> M=[m,0;0,m];
>> K=[k+g,-g;-g,k+g];
>> [V,D]=eig(M^-1*K);
>> w2 =diag(D)
>> w2 =
 (g + k - (g^2 + k^2)^(1/2))/m
                     (g + k)/m
 (g + k + (g^2 + k^2)^(1/2))/m
 >> simplify(V)
ans =
[                 g/k, -k/g,                  g/k]
[ (g^2 + k^2)^(1/2)/k,    0, -(g^2 + k^2)^(1/2)/k]
[                   1,    1,                    1]
Valores propios ω2 Vectores propios
k+g k 2 + g 2 m ( g k , k 2 + g 2 k ,1 )
k+g m ( k g ,0,1 )
k+g+ k 2 + g 2 m ( g k , k 2 + g 2 k ,1 )
Ejemplo

Sea un sistema formado por dos partículas de masa m=1, unidas por por muelles de constantes k=1 y g=2. Las frecuencias de los modos normales de vibración son. ω1= 3 5 , ω2= 3 y ω3= 3+ 5

Sistema formado por N partículas

La matriz de la masa M es diagonal cuyos elementos son la masa m de las partículas. La matriz K es

( k+g g 0 ... 0 0 0 ... 0 0 g k+g k 0 0 0 0 0 0 0 0 g k+g k 0 0 0 0 0 0 0 0 k k+g )

Actividades

Se ha fijado

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Observamos el primer modo normal de vibración, en la parte superior izquierda se proporciona la frecuencia angular ω1.

Se pulsa el botón titulado >>, observamos los siguientes modos normales ω2, … etc.

Se pulsa el botón titulado << para observar el modo normal de vibración anterior.

Las frecuencias de los modos de vibración se guardan en el control área de texto situado a la izquierda del applet.


Oscilaciones de una cadena diatómica lineal

Vamos a estudiar sistemas formados por dos y tres partículas de masas M y m alternadas unidas por muelles de la misma constante k. Se generalizará sin dificulad a un sistema formado por N partículas.

Sistema formado por dos partículas N=2

Ecuaciones del movimiento

m d 2 x 1 d t 2 =k x 1 +k( x 2 x 1 ) M d 2 x 2 d t 2 =k( x 2 x 1 )k x 2

En forma matricial, el sistema de ecuaciones se expresa

( m 0 0 M )( d 2 x 1 d t 2 d 2 x 2 d t 2 )+( 2k k k 2k )( x 1 x 2 )=0

La primera es la matriz que ahora denominaremos Masa (para evitar confundirla con la masa M de las partículas) de las masas y la segunda es la matriz K de las constantes de los muelles. Las frecuencias de los modos normales de vibración ω2 son los valores propios de la matriz Masa-1K. El vector propio correspondiente a cada uno de los valores propios son los vectores columna de la matriz V

>> syms k M m;
>> Masa=[m,0;0,M];
>> K=[2*k,-k;-k,2*k];
>> [V,D]=eig(Masa^-1*K);
>> w2 =diag(D)
>> w2 =
 (M*k + k*(M^2 - M*m + m^2)^(1/2) + k*m)/(M*m)
 (M*k - k*(M^2 - M*m + m^2)^(1/2) + k*m)/(M*m)
Ejemplo

Sea el sistema formado por dos partículas de masas m=1 y M=2, unidas por muelles de constantes k=1

>> w2=subs(w2,{m,M,k},{1,2,1});
>> sqrt(w2)
ans = 
 (3^(1/2)/2 + 3/2)^(1/2)
 (3/2 - 3^(1/2)/2)^(1/2)
>> double(ans)
ans =
    1.5382
    0.7962

Sistema formado por tres partículas N=3

Ecuaciones del movimiento

m d 2 x 1 d t 2 =k x 1 +k( x 2 x 1 ) M d 2 x 2 d t 2 =k( x 2 x 1 )+k( x 3 x 2 ) m d 2 x 3 d t 2 =k( x 3 x 2 )k x 3

En forma matricial, el sistema de ecuaciones se expresa

( m 0 0 0 M 0 0 0 m )( d 2 x 1 d t 2 d 2 x 2 d t 2 d 2 x 3 d t 2 )+( 2k k 0 k 2k k 0 k 2k )( x 1 x 2 x 3 )=0

La primera es la matriz Masa de las masas y la segunda es la matriz K de las constantes de los muelles. Las frecuencias de los modos normales de vibración ω2 son los valores propios de la matriz Masa-1K. El vector propio correspondiente a cada uno de los valores propios son los vectores columna de la matriz V

>> syms k M m;
>> Masa=[m,0,0;0,M,0;0,0,m];
>> K=[2*k,-k,0;-k,2*k,-k;0,-k,2*k];
>> [V,D]=eig(Masa^-1*K);
>> w2=diag(D)
w2 =
 (k*(M^2 + m^2)^(1/2) + M*k + k*m)/(M*m)
 (M*k - k*(M^2 + m^2)^(1/2) + k*m)/(M*m)
                                 (2*k)/m
Ejemplo

Sea el sistema formado por dos partículas de masas m=1 y M=2, unidas por muelles de constantes k=1

>> w2=subs(w2,{m,M,k},{2,1,1})
>> sqrt(w2)
ans =
 (5^(1/2)/2 + 3/2)^(1/2)
 (3/2 - 5^(1/2)/2)^(1/2)
                 2^(1/2)
>> double(ans)
ans =
    ans =
    1.6180
    0.6180
    1.4142

Una particularidad importante es que la matriz Masa-1K ha dejado de ser simétrica

>> (Masa^-1*K)
ans =
[ (2*k)/m,    -k/m,       0]
[    -k/M, (2*k)/M,    -k/M]
[       0,    -k/m, (2*k)/m]

Lo que es importante a la hora de elegir procedimientos para calcular los valores y vectores propios. Por ejemplo, el procedimiento de Jacobi solamente es aplicable a matrices simétricas

Sistema formado por N partículas

Para N partículas calculamos los valores y los vectores propios de la matriz Masa-1K

( 2k m k m 0 ... 0 0 0 ... 0 0 k M 2k M k M 0 0 0 0 0 0 0 0 k m 2k m k m 0 0 0 0 0 0 0 0 k m 2k m )

Como la matriz no es simétrica no podemos aplicar en la simulación (más abajo) el procedimiento de Jacobi. Como alternativa, obtenemos los coeficientes del polinomio característico aplicando el procedimiento de Leverrier y calculamos las raíces del polinomio aplicando el procedimiento del punto medio para raíces múltiples.

Actividades

Se ha fijado

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Observamos el primer modo normal de vibración, en la parte superior izquierda se proporciona la frecuencia angular ω1.

Se pulsa el botón titulado >>, observamos los siguientes modos normales ω2, … etc.

Se pulsa el botón titulado << para observar el modo normal de vibración anterior.