Sistema formado por tres partículas y dos muelles

Consideremos el sistema de la figura: tres partículas de masa m, m2 y m unidas por dos muelles de la misma cosntante k. En el instante t, la primera partícula se desplaza x1 de su posición de equilibrio, la segunda x2 y la tercera x3

La Lagrangiana de este sistema es

L= E k E p = 1 2 m ( d x 1 dt ) 2 + 1 2 m 2 ( d x 2 dt ) 2 + 1 2 m ( d x 3 dt ) 2 1 2 k ( x 2 x 1 ) 2 1 2 k ( x 3 x 2 ) 2

Las ecuaciones del movimiento de cada una de las tres partículas

d dt ( L x ˙ i ) L x i =0 { m d 2 x 1 d t 2 k( x 2 x 1 )=0 m 2 d 2 x 2 d t 2 +k( x 2 x 1 )k( x 3 x 2 )=0 m d 2 x 3 d t 2 +k( x 3 x 2 )=0

En forma matricial

( m 0 0 0 m 2 0 0 0 m )( d 2 x 1 d t 2 d 2 x 2 d t 2 d 2 x 3 d t 2 )+( k k 0 k 2k k 0 k k )( x 1 x 2 x 3 )=0 M x ¨ +Kx=0

La primera es la matriz M de las masas y la segunda es la matriz K de las constantes de los muelles.

Valores propios

Buscamos una solución de la forma

x1=X1sin(ωt+φ), x2=X2sin(ωt+φ), x3=X3sin(ωt+φ)

que representa MAS de amplitud X1, X2, X3 y frecuencia angular ω.

{ m ω 2 X 1 k( X 2 X 1 )=0 m 2 ω 2 X 2 +k( X 2 X 1 )k( X 3 X 2 )=0 m ω 2 X 3 +k( X 3 X 2 )=0 ( km ω 2 k 0 k 2k m 2 ω 2 k 0 k km ω 2 )( X 1 X 2 X 3 )=0

Tenemos un sistema homogéneo, los cuadrados de las frecuencias ω2 de los modos normales de vibración se calculan haciendo que el determinante de los coeficientes sea igual a cero

| km ω 2 k 0 k 2k m 2 ω 2 k 0 k km ω 2 |=0

El resultado es

ω 1 =0, ω 2 = k m , ω 3 = 2 k m 2 + k m

>> syms k m m2;
>> M=diag([m,m2,m]);
>> K=[k,-k,0;-k,2*k,-k;0,-k,k];
>> [V,D]=eig(M^-1*K)
V = %vectores propios
[ 1, -1,         1]
[ 1,  0, -(2*m)/m2]
[ 1,  1,         1]

D = %cuadrado de las frecuencias
[ 0,   0,                     0]
[ 0, k/m,                     0]
[ 0,   0, (2*k*m + k*m2)/(m*m2)]

Vectores propios

Dado el valor de X1=1, calculamos X2 y X3 tomando dos ecuaciones del sistema homogéneo de tres ecuaciones con tres incógnitas, para cada una de las frecuencias de los modos normales de vibración

ω 1 2 =0 X (1) { X 1 (1) =1 X 2 (1) =1 X 3 (1) =1 ω 2 2 = k m X (2) { X 1 (2) =1 X 2 (2) =0 X 3 (2) =1 ω 3 2 =2 k m 2 + k m X (3) { X 1 (3) =1 X 2 (3) = 2m m 2 X 3 (3) =1

Vamos a dividir los vectores X(1), X(2) y X(3) por un factor de escala de modo que

( X (i) ) T M X (i) = 1

Como X es un vector columna, XT es vector fila

( 1 0 1 )( m 0 0 0 m 2 0 0 0 m )( 1 0 1 )=2m ( 1 2m m 2 1 )( m 0 0 0 m 2 0 0 0 m )( 1 2m m 2 1 )=2m+4 m 2 m 2 X (1) = 1 2m+ m 2 ( 1 1 1 ), X (2) = 1 2m ( 1 0 1 ), X (3) = 1 2m+4 m 2 m 2 ( 1 2m m 2 1 )

>> X1=V(:,1);
>> r=X1'*M*X1
r =2*m + m2
>> X1=X1/sqrt(r);
>> r=X2'*M*X2
r =2*m
>> X2=V(:,2);
>> X2=X2/sqrt(r);
>> X3=V(:,3);
>> r=X3'*M*X3
r =2*m + (4*m*conj(m))/conj(m2)

Math Symbolic de MATLAB no calcula adecuadamente estas operaciones con vectores y matrices

Superposición

Como vimos en la página anterior, el desplazamiento xi(t) de cada una de las partículas es combinación la lineal

x 1 (t)= X 1 (1) u 1 (t)+ X 1 (2) u 2 (t)+ X 1 (3) u 3 (t) x 2 (t)= X 2 (1) u 1 (t)+ X 2 (2) u 2 (t)+ X 2 (3) u 3 (t) x 3 (t)= X 3 (1) u 1 (t)+ X 3 (2) u 2 (t)+ X 3 (3) u 3 (t)

En forma matricial escribimos

x(t)=V·u(t)

El vector V tien por columnas los vectores X(1), X(2) y X(3)

V=( 1 2m+ m 2 1 2m 1 2m+4 m 2 m 2 1 2m+ m 2 0 2m m 2 2m+4 m 2 m 2 1 2m+ m 2 1 2m 1 2m+4 m 2 m 2 )

Ecuaciones del movimiento desacopladas

{ d 2 u 1 d t 2 + ω 1 2 u 1 =0 d 2 u 2 d t 2 + ω 2 2 u 2 =0 d 2 u 3 d t 2 + ω 3 2 u 3 =0

Las nuevas ecuaciones del movimiento expresadas en términos de las coordenadas u(t) están desacopladas y sus soluciones son conocidas: movimiento rectilíneo uniforme para ω1=0, y Movimiento Armónico Simple para ω2 y ω3. Las soluciones de estas ecuaciones diferenciales son:

{ u 1 (t)= A 1 t+ B 1 u 2 (t)= A 2 cos( ω 2 t)+ B 2 sin( ω 2 t) u 3 (t)= A 3 cos( ω 3 t)+ B 3 sin( ω 3 t) { d u 1 dt = A 1 d u 2 dt = ω 2 A 2 sin( ω 2 t)+ ω 2 B 2 cos( ω 2 t) d u 3 dt = ω 3 A 3 sin( ω 3 t)+ ω 3 B 3 cos( ω 3 t)

donde las constantes Ai y Bi se determinan a partir de las condiciones iniciales

u(0){ u 1 (0)= B 1 u 2 (0)= A 2 u 3 (0)= A 3 u ˙ (0){ d u 1 dt | 0 = A 1 d u 2 dt | 0 = ω 2 B 2 d u 3 dt | 0 = ω 3 B 3

Condiciones iniciales

Las condiciones inicales vienen determinadas por el desplazamiento y velocidad de cada una de las partículas en el instante t=0. Todas las partículas parten de su posición inicial en equilibrio en reposo, salvo la primera partícula a la que se le proporciona una velocidad inicial p/m siendo p el momento lineal.

Las condiciones iniciales en el espacio u se escriben en forma matricial

u(0)= ( V ) T ·M·x(0) u ˙ (0)= ( V ) T ·M· x ˙ (0)

Como x(0)=0 entonces u(0)=0, por lo que B1=0, A2=0, A3=0

u ˙ 0 =( 1 2m+ m 2 1 2m+ m 2 1 2m+ m 2 1 2m 0 1 2m 1 2m+4 m 2 m 2 2m m 2 2m+4 m 2 m 2 1 2m+4 m 2 m 2 )( m 0 0 0 m 2 0 0 0 m )( p m 0 0 )= p m ( m 2m+ m 2 m 2m m 2m+4 m 2 m 2 ) A 1 =p 1 2m+ m 2 , B 2 =p 1 2m 1 ω 2 , B 3 =p 1 2m+4 m 2 m 2 1 ω 3

Las ecuaciones del movimiento en el espacio u(t) son

{ u 1 (t)=p 1 2m+ m 2 t u 2 (t)=p 1 2m 1 ω 2 sin( ω 2 t) u 3 (t)=p 1 2m+4 m 2 m 2 1 ω 3 sin( ω 3 t)

Finalmente, el desplazamiento de cada una de las partículas respecto del tiempo, el vector x se obtiene, multiplicando la matriz V por el vector u

x(t)=V·u(t) ( x 1 (t) x 2 (t) x 3 (t) )=( 1 2m+ m 2 1 2m 1 2m+4 m 2 m 2 1 2m+ m 2 0 2m m 2 2m+4 m 2 m 2 1 2m+ m 2 1 2m 1 2m+4 m 2 m 2 )( u 1 (t) u 2 (t) u 3 (t) )

El resultado final es

{ x 1 (t)=p{ 1 2m+ m 2 t+ 1 2m 1 ω 2 sin( ω 2 t)+ 1 2m m 2 ( m 2 +2m) 1 ω 3 sin( ω 3 t) } x 2 (t)=p{ 1 2m+ m 2 t 1 ( m 2 +2m) 1 ω 3 sin( ω 3 t) } x 3 (t)=p{ 1 2m+ m 2 t 1 2m 1 ω 2 sin( ω 2 t)+ 1 2m m 2 ( m 2 +2m) 1 ω 3 sin( ω 3 t) }

Representamos el desplazamiento de cada una de las tres partículas x1(t), x2(t) y x3(t) para el siguiente sistema:

k=1; %constante de los dos muelles
m=1; %masas de las partículas de los extremos
m2=2; %masa de la particula del centro
p=1; %momento lineal (primera partícula)

M=diag([m,m2,m]); %matriz masas
K=[k,-k,0;-k,2*k,-k;0,-k,k]; %matriz constante
[V,D]=eig(M^-1*K);
w=diag(sqrt(D)); %vector de frecuencias propias
w=fliplr(w');
disp(w)
x1=@(t) p*(t/(2*m+m2)+sin(w(2)*t)/(2*m*w(2))+m2*sin(w(3)*t)/(2*m*(m2+2*m)*w(3)));
x2=@(t) p*(t/(2*m+m2)-sin(w(3)*t)/((m2+2*m)*w(3)));
x3=@(t) p*(t/(2*m+m2)-sin(w(2)*t)/(2*m*w(2))+m2*sin(w(3)*t)/(2*m*(m2+2*m)*w(3)));
hold on
fplot(x1,[0,10])
fplot(x2,[0,10])
fplot(x3,[0,10])
hold off
xlabel('x')
legend('x_1', 'x_2', 'x_3', 'location', 'best')
ylabel('x_1, x_2, x_3')
grid on
title('Modos de vibración')

Derivando respecto del tiempo, obtenemos las velocidades de las partículas

{ d x 1 dt =p{ 1 2m+ m 2 + 1 2m cos( ω 2 t)+ 1 2m m 2 ( m 2 +2m) cos( ω 3 t) } d x 2 dt =p{ 1 2m+ m 2 1 ( m 2 +2m) cos( ω 3 t) } d x 3 dt =p{ 1 2m+ m 2 1 2m cos( ω 2 t)+ 1 2m m 2 ( m 2 +2m) cos( ω 3 t) }

Comprobamos que la velocidad del centro de masas es constante

v cm = m d x 1 dt + m 2 d x 2 dt +m d x 3 dt 2m+ m 2 = p 2m+ m 2

Con los valores de los parámetros de este sistema, vcm=1/4=0.25

k=1; %constante de los dos muelles
m=1; %masas de las partículas de los extremos
m2=2; %masa de la particula del centro
p=1; %momento lineal (primera partícula)

M=diag([m,m2,m]); %matriz masas
K=[k,-k,0;-k,2*k,-k;0,-k,k]; %matriz constante
[V,D]=eig(M^-1*K);
w=diag(sqrt(D)); %vector de frecuencias propias
w=fliplr(w');
v1=@(t) p*(1/(2*m+m2)+cos(w(2)*t)/(2*m)+m2*cos(w(3)*t)/(2*m*(m2+2*m)));
v2=@(t) p*(1/(2*m+m2)-cos(w(3)*t)/((m2+2*m)));
v3=@(t) p*(1/(2*m+m2)-cos(w(2)*t)/(2*m)+m2*cos(w(3)*t)/(2*m*(m2+2*m)));
vCM=@(t)  (m*v1(t)+m*v3(t)+m2*v2(t))/(2*m+m2);
hold on
fplot(v1,[0,10])
fplot(v2,[0,10])
fplot(v3,[0,10])
fplot(vCM,[0,10])
hold off
xlabel('x')
legend('v_1', 'v_2', 'v_3', 'v_c', 'location', 'best')
ylabel('v_1, v_2, v_3, v_c')
grid on
title('Modos de vibración')

Referencias

Lim Yung-kuo. Problems and Solutions on Mechanics. World Scientific (1994). Problem 2032, pp. 529-532