Una cuerpo desliza sobre un plano inclinado móvil

El plano inclinado es una cuña de masa M, que forma un ángulo θ con la horizontal. Un cuerpo de masa m desliza sobre el plano inclinado. El coeficiente de rozamiento entre las dos superficies en contacto es μ.

Suponemos inicialmente que aM tiene el sentido hacia la derecha (positivo). Como veremos, la conservación del momento lineal o las ecuaciones del movimiento nos darán el sentido correcto, hacia la izquierda (negativo).

En la figura, se muestra las fuerzas sobre cada uno de los dos cuerpos y las aceleraciones de los mismos

Sobre el bloque actúan

Las ecuaciones del movimiento del bloque son

  1. A lo largo del eje horizontal, la aceleración del bloque respecto de Tierra es (am·cosθ+aM)

  2. N·sinθ-Fr·cosθ=m(am·cosθ+aM)       (1)

  3. A lo largo del eje vertical, la aceleración del bloque respecto de Tierra es am·sinθ

  4. mg-N·cosθ-Fr·sinθ= m·am·sinθ           (2)

  5. Si μ es el coeficiente de la fuerza de rozamiento

  6. Fr=μ·N

Sobre la cuña actúan

A lo largo del eje horizontal, la ecuación del movimiento es

Fr·cosθ-N·sinθ=M·aM       (3)

A lo largo de la dirección vertical, la cuña está en equilibrio.

Sumando la primera y tercera ecuación, obtenemos la relación entre las aceleraciones am y aM.

m(am·cosθ+aM)+ M·aM=0

a M = m a m cosθ m+M

La aceleración de la cuña aM es de sentido contrario al señalado en las figuras.

Despejamos del sistema de ecuaciones la aceleración am del bloque respecto de la cuña y la aceleración de la cuña aM respecto de Tierra.

a m = (m+M)g(tanθμ)·cosθ m+Mm(1+μtanθ) cos 2 θ a M = mg(tanθμ)· cos 2 θ m+Mm(1+μtanθ) cos 2 θ

En la figura, se representa de aM en función del ángulo θ para dos valores del coeficiente de rozamiento μ=0, (cuando no hay rozamiento) y μ=0.4. Vemos que aM presenta un máximo para un ángulo θm. Cuando μ≠0, aM es positivo a partir de cierto ángulo θ0. Este ángulo es precisamente aquél tanθ0= μ.

Por ejemplo, cuando μ=0.4, θ0=22º. Evidentemente, cuando no hay rozamiento μ=0, θ0=0º.

Un cuerpo desliza con velocidad uniforme justamente cuando tanθ=μ. Para ángulos mayores, el cuerpo desliza con movimiento acelerado.

De las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, obtenemos la velocidad y el desplazamiento de los cuerpos:

El bloque llega al vértice de la cuña en el instante

t m = 2l a m

donde l es el desplazamiento total del bloque a lo largo de la cuña.

Sistema de partículas

Podemos considerar al bloque y la cuña como un sistema de dos partículas interactuantes

Las fuerzas interiores o de interacción mutua son

Las fuerzas interiores que actúan sobre cada cuerpo son iguales y de sentido contrario.

Las fuerzas exteriores como se muestra en la figura, son:

El sistema está verticalmente en equilibrio de modo que R=mg+Mg. La posición de dicha fuerza, depende de la posición del bloque sobre la cuña, y de las masas del bloque M y de la cuña m.

A lo largo del eje horizontal, no hay fuerza exterior.

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Si los datos introducidos son correctos, es decir, si se cumple que tanθ>μ se pulsa el botón titulado . En caso contrario, un mensaje nos avisa de que hemos de disminuir el coeficiente de rozamiento o aumentar el ángulo del plano inclinado.

Se observa, el movimiento de la cuña y el movimiento del bloque a lo largo del plano inclinado. La posición del c.m. del bloque, de la cuña y la posición del c.m. del sistema formado por ambos cuerpos. Comprobamos que el c.m. del sistema se encuentra en reposo horizontalmente, la coordenada Xc no cambia.

En la parte superior, se nos proporciona los datos del tiempo, aceleración, velocidad, posición del bloque respecto de la cuña y de la cuña respecto de Tierra. Cuando el bloque termina su movimiento sobre la cuña y desliza sobre el plano horizontal sin rozamiento, las posiciones y velocidades se refieren a Tierra.

Como el objetivo del programa interactivo es la medida de la posición, velocidad y aceleración de la cuña. Se ha invertido el sentido del movimiento respecto de la explicación dada en el texto. La aceleración, velocidad y posición de la cuña son positivos y los del bloque son negativos.

Ejemplo:

Sea

Calculamos la aceleración del bloque am con respecto a la cuña.

a m = (0.7+1)·9.8·(tan30º0.4)·cos30º 0.7+10.7(1+0.4tan30º) cos 2 30º =2.43 m/s 2

Calculamos la aceleración de la cuña aM respecto de Tierra

a M = m a m cosθ m+M a M = 0.7·2.43·cos30 0.7+1 =0.87 m/s 2

El tiempo que tarda el bloque en recorrer el plano inclinado de longitud l=1 m es

t m = 2l a m t m = 2·1.0 2.43 =0.91s

La velocidad de la cuña en este instante es

vM=aM·tm=-0.79 m/s

La velocidad del bloque respecto de la cuña en dicho instante es

vm=am·tm=2.20 m/s

La velocidad del bloque respecto de Tierra a partir de dicho instante es

Vm=vm·cosθ+vM=1.12 m/s



Ecuaciones de Lagrange

Cuando no hay rozamiento las ecuaciones de Lagrange nos proporcionan una solución rápida del problema, en términos de magnitudes escalares: energía cinética, T y energía potencial, V, en vez de magnitudes vectoriales, las fuerzas, más difíciles de manejar

La posición del bloque de masa m respecto del sistema de referencia OXY es

xb=y+xcosθ
yb=h-xsinθ

siendo θ el ángulo de la cuña y h la altura del vértice. Derivando respecto del tiempo t, obtenemos la velocidad del bloque

{ d x b dt = dy dt + dx dt cosθ d y b dt = dx dt sinθ

La energía cinética del sistema formado por el bloque y la cuña es

T= 1 2 M ( dy dt ) 2 + 1 2 m{ ( d x b dt ) 2 + ( d y b dt ) 2 }= 1 2 M ( dy dt ) 2 + 1 2 m{ ( dy dt ) 2 + ( dx dt ) 2 +2( dy dt )( dx dt )cosθ }

La energía potencial, V=-mgxsinθ. La lagrangiana L=T-V es

L= 1 2 (m+M) ( dy dt ) 2 + 1 2 m{ ( dx dt ) 2 +2( dy dt )( dx dt )cosθ }+mgxsinθ

La ecuación del movimiento de la cuña es

d dt ( L y ˙ ) L y =0 d dt ( (m+M) y ˙ +m x ˙ cosθ )=0 (m+M) d 2 y d t 2 +m d 2 x d t 2 cosθ=0

La ecuación del movimiento del bloque relativo a la cuña es

d dt ( L x ˙ ) L x =0 d dt ( m x ˙ +m y ˙ cosθ )mgsinθ=0 m d 2 x d t 2 +m d 2 y d t 2 cosθmgsinθ=0

Despejando las aceleraciones

d 2 x d t 2 = (m+M)gsinθ M+m sin 2 θ d 2 y d t 2 = mgsinθ M+m sin 2 θ cosθ

Que son las aceleraciones del bloque respecto a la cuña, am y de la cuña aM que hemos obtenido aplicando la mecánica de Newton con rozmiento nulo, μ=0

La aceleración del bloque es

d 2 x b d t 2 = d 2 y d t 2 + d 2 x d t 2 cosθ= Mgsinθcosθ M+m sin 2 θ d 2 y b d t 2 = d 2 x d t 2 sinθ= (m+M)g sin 2 θ M+m sin 2 θ

Referencias

Bolina O, Rodrigo Parreira. A problem of relative, costrained motion. The Physics Teacher, Vol 36, September 1998, pp. 334-335