Un partícula unida a un muelle situada sobre una plataforma móvil
La plataforma y la partícula unida al muelle elástico constituyen un sistema aislado. Supongamos que inicialmente la partícula se encuentra en la posición de equilibrio, en reposo, encima del centro de masas del la plataforma. Su proyección sobre el eje horizontal X señala el origen O. Así pues, el origen O es la posición del centro de masas del sistema aislado que permanecerá en reposo si inicialmente lo estaba.
Posición
Supongamos que la partícula se desplaza de la posición de equilibrio s hacia la derecha. la plataforma se desplazará hacia la izquierda, su posición será x.
- La posición del centro de masa de la plataforma de masa M es x.
- La posición de la partícula de masa m es s+x.
- La posición del centro de masas del sistema aislado es el origen O
Velocidad
La velocidad de la plataforma es
siendo ds/dt la velocidad relativa de la partícula respecto de la plataforma.
La velocidad de la partícula es
Aceleración
La aceleración de la plataforma es
siendo d2s/dt2 la aceleración relativa de la partícula respecto de la plataforma.
La aceleración de la partícula es
Ecuaciones del movimiento
Aplicamos la segunda ley del Newton para obtener las ecuaciones del movimiento del bloque y de la plataforma
Ecuación del movimiento de la partícula
Sobre la partícula actúa la fuerza que ejerce el muelle deformado -ks.
Se trata de la ecuación diferencial de un Movimiento Armónico Simple
La velocidad relativa de la partícula respecto de la plataforma es
La amplitud A y la fase inicial φ se determinan a partir de las condiciones iniciales: en el instante t=0, se estira el muelle s0 y se suelta, ds/dt=0.
La ecuación del movimiento de la partícula sobre la plataforma es
La posición de la partícula respecto del sistema de referencia inercial es
La velocidad de la partícula respecto del sistema de referencia inercial es
Ecuación del movimiento de la plataforma
La plataforma de masa M experimenta una fuerza ks igual y de sentido contrario. La segunda ley de Newton se escribe para esta cuerpo
La ecuación diferencial de un Movimiento Armónico Simple de la misma frecuencia, con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=0, la posición inicial de la plataforma es y su velocidad inicial es dx/dt=0
La posición de la plataforma es
Su velocidad es
Energías
La energía potencial elástica del muelle deformado s es
La energía cinética de la plataforma es
La energía cinética de la partícula es
Sumando los tres términos, obtenemos la energía total constante del sistema aislado e igual a la energía inicial del muelle deformado s0
Actividades
Se introduce
- La masa M del bloque, en el control titulado Masa bloque
- La masa de la partícula se ha fijado en m=1 kg
- La constante elástica k del muelle, en el control titulado Constante muelle
- La partícula se desplaza s0=0.5 m y se suelta
Se pulsa el botón titulado Nuevo
Observamos los movimientos de la partícula unida al muelle elástico y de la plataforma. En la parte central, un gráfico en forma de tarta nos da idea de como se reparte la energía total del sistema aislado: en color gris, la energía potencial del muelle deformado, en color azul la energía cinética de la plataforma y en color rojo, la energía cinética de la partícula
Ecuaciones de Lagrange
La energía potencial de la partícula unida a un muelle elástico de constante k es
La energía cinética de la partícula y de la plataforma es
La lagrangiana L=T-V es
La ecuación del movimiento en términos de la coordenada s es
que es la misma ecuación diferencial que hemos obtenido aplicando la segunda ley de Newton