Sistema aislado de dos partículas interactuantes

Consideremos una partícula de masa M, que lleva una velocidad v0 y choca con un muelle de constante k unido a una partícula de masa m en reposo.

El choque se produce en el origen O, y la posición inicial de la partícula de masa m es l, la longitud del muelle sin deformar.

Después del choque las dos partículas se mueven unidas por el muelle elástico.

En la figura se muestra:

Ecuaciones del movimiento

Las ecuaciones del movimiento para cada una de las dos partículas son,

m d 2 x d t 2 =k( l(xy) ) M d 2 y d t 2 =k( l(xy) )

Movimiento de cada una de las dos partículas

Conocemos la posición z=(mx+My)/(m+M) del c.m. y la posición relativa ξ=x-y de las partículas en función del tiempo t.

z= mx+My m+M = ml m+M + M v 0 m+M t ξ=xy=l v 0 ω sin( ωt )

Despejamos x e y de este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

x=l+ M v 0 m+M ( t sin( ωt ) ω ) y= v 0 m+M ( Mt+m sin( ωt ) ω )

Comprobamos que en el instante t=0, las posiciones iniciales son x=l, y=0.

Creamos el siguiente script para representar las posiciones x e y de cada una de las dos partículas y del c.m. z en función del tiempo

k=5;    %constante elástica del muelle
M=2;  %masa izquierda
m=1; %masa derecha
lonMuelle=2; %longitud del muelle sin deformar
v0=2; %velocidad inicial
w=sqrt(k*(m+M)/(m*M));

x=@(t) lonMuelle+M*v0*(t-sin(w*t)/w)/(m+M);
y=@(t) v0*(M*t+m*sin(w*t)/w)/(m+M);
z=@(t) (m*x(t)+M*y(t))/(m+M);  %centro de masa
hold on
fplot(y,[0,6])
fplot(x,[0,6])
fplot(z,[0,6])
hold off
legend('izquierda','derecha','cm','Location','northwest')
xlabel('t(s)')
ylabel('y,x,z(m)')
title('Sistema aislado de dos partículas')
grid on

Calculamos el instante en el que la partícula de masa m llega a la posición x=10. Con los datos, k=5, M=2, m=1, l=2, resolvemos la ecuación transcendente empleando la función fzero

>> f=@(t) 6-t+sin(w*t)/w;
>> fzero(f,6)
ans =    5.8693

Las velocidades de las partículas en cualquier instante t son

dx dt = M v 0 m+M ( 1cos( ωt ) ) dy dt = v 0 m+M ( M+mcos( ωt ) )

Comprobamos que en el instante t=0, las velocidades iniciales son dy/dt=v0, dx/dt=0

Creamos el siguiente script para representar las velocidades dx/dt y dy/dt de cada una de las dos partículas en función del tiempo t

k=5;    %constante elástica del muelle
M=2;  %masa izquierda
m=1; %masa derecha
lonMuelle=2; %longitud del muelle sin deformar
v0=2; %velocidad inicial
w=sqrt(k*(m+M)/(m*M));

vx=@(t) M*v0*(1-cos(w*t))/(m+M);
vy=@(t) v0*(M+m*cos(w*t))/(m+M);

hold on
fplot(vy,[0,10])
fplot(vx,[0,10])
hold off
legend('izquierda','derecha','Location','northwest')
xlabel('t(s)')
ylabel('v_y, v_x')
title('Sistema aislado de dos partículas')
grid on

La partícula de masa m se detiene dx/dt=0, es decir, cuando cos(ωt)=1, ωt=0, 2π, 4π, etc.. Las posiciones de dicha partícula en estos instantes es

>> t=(0:2:6)*pi/w;
>> x=lonMuelle+M*v0*(t-sin(w*t)/w)/(m+M)
x =    2.0000    5.0591    8.1181   11.1772

Energías

La energía del sistema de partículas U es la suma de la energía cinética de la partícula de masa m, la energía cinética de la partícula de masa M, y la energía potencial del muelle deformado l-(x-y). Comprobamos después de hacer algunas operaciones que la suma es igual a la energía inicial de la partícula de masa M

U= 1 2 m ( dx dt ) 2 + 1 2 M ( dy dt ) 2 + 1 2 k ( l(xy) ) 2 = 1 2 M v 0 2

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo.



Choque de una partícula con un sistema de dos partículas

Una partícula de masa m que lleva una velocidad v0 choca elásticamente contra un sistema formado por dos partículas de masa M/2 unidas por un muelle elástico de constante k, ambas partículas están inicialmente en reposo.

Después del choque, la partícula de masa M/2 adqiere una velocidad u y la partícula de masa m una velocidad v1

Las ecuaciones del choque elástico son

{ m v 0 =m v 1 + M 2 u 1 2 m v 0 2 = 1 2 m v 1 2 + 1 2 M 2 u 2 u= 4m 2m+M v 0 , v 1 = 2mM 2m+M v 0

Si m<M/2, la partícula de masa m retrocede v1<0. En caso contrario, v1>0, son posibles múltiples choques entre la partícula y el sistema de dos partículas iguales unidas por un muelle elástico

El centro de masas se mueve con velocidad constante u/2

v c = M 2 u+ M 2 0 M 2 + M 2 = u 2 = 2m 2m+M v 0

La energía interna Ei del sistema de dos partículas es

E i = 1 2 m v 0 2 1 2 m v 1 2 1 2 M v c 2 = 2 m 2 M ( 2m+M ) 2 v 0 2 E i E 0 = 4mM ( 2m+M ) 2 = 4r ( 2r+1 ) 2 ,r= m M

Representamos el cociente Ei/E0 en función de r=m/M

f=@(x)  4*x./(2*x+1).^2;
fplot(f,[0,5])
line([0.5,0.5],[0,f(0.5)],'lineStyle','--')
grid on
xlabel('r=m/M')
ylabel('E_i/E_0')
title('Energía interna')

El cociente Ei/E0 alcanza un máximo en r=0.5 como podemos ver en la figura. Derivando con respecto a r e igualando a cero.

4 ( 2r+1 ) 2 2·2( 2r+1 )4r ( 2r+1 ) 4 =0 r 2 = 1 4 ,r= 1 2

Movimiento de cada una de las dos partículas

Podemos describir el movimiento posterior del sistema de dos partículas, del mismo modo que hemos hecho en la sección anterior

Conocemos la posición z del c.m. y la posición relativa ξ=x-y de las partículas en función del tiempo t.

z= M 2 x+ M 2 y M 2 + M 2 = x+y 2 { x+y=l+u·t xy=l u ω sin(ωt)

Despejamos x e y de este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

x=l+ u 2 t u 2ω sin(ωt) y= u 2 t+ u 2ω sin(ωt)

Comprobamos que en el instante t=0, las posiciones iniciales son x=l, y=0.

Creamos el siguiente script para representar las posiciones x e y de cada una de las dos partículas y del c.m. z en función del tiempo

k=5; %constante elástica del muelle
lonMuelle=2; %longitud del muelle sin deformar
u=1; %velocidad inicial
w=2*sqrt(k);

x=@(t) lonMuelle+u*t/2-u*sin(w*t)/(2*w);
y=@(t) u*t/2+u*sin(w*t)/(2*w);
z=@(t) lonMuelle/2+u*t/2;  %centro de masa
hold on
fplot(y,[0,6])
fplot(x,[0,6])
fplot(z,[0,6])
hold off
legend('izquierda','derecha','cm','Location','northwest')
xlabel('t(s)')
ylabel('x,y,z(m)')
title('Sistema aislado de dos partículas')
grid on

Energías

La energía del sistema de partículas U es la suma de la energía cinética de las dos partículas de masa M/2 y la energía potencial del muelle deformado l-(x-y). Comprobamos después de hacer algunas operaciones que la suma es igual a la energía inicial de la partícula de masa M/2 que se mueve con velocidad inicial u,

U= 1 2 M 2 u 2 = 1 4 M u 2 U= 1 2 M 2 ( dx dt ) 2 + 1 2 M 2 ( dy dt ) 2 + 1 2 k ( l(xy) ) 2 = 1 16 M u 2 ( 1cos( ωt ) ) 2 + 1 16 M u 2 ( 1+cos( ωt ) ) 2 + 1 8 M u 2 sin 2 ( ωt )= 1 4 M u 2

Referencias

Vladimir Ivchenko. Collision of a Ball with a Stationary Oscillator. Phys. Teach. 58, 241 (2020), pp. 241