Sistema aislado de dos partículas interactuantes

Consideremos una partícula de masa M, que lleva una velocidad v0 y choca con un muelle de constante k unido a una partícula de masa m en reposo.

El choque se produce en el origen O, y la posición inicial de la partícula de masa m es l, la longitud del muelle sin deformar.

Después del choque las dos partículas se mueven unidas por el muelle elástico.

En la figura se muestra:

Ecuaciones del movimiento

Las ecuaciones del movimiento para cada una de las dos partículas son,

m d 2 x d t 2 =k( l(xy) ) M d 2 y d t 2 =k( l(xy) )

Movimiento de cada una de las dos partículas

Conocemos la posición z=(mx+My)/(m+M) del c.m. y la posición relativa ξ=x-y de las partículas en función del tiempo t.

z= mx+My m+M = ml m+M + M v 0 m+M t ξ=xy=l v 0 ω sin( ωt )

Despejamos x e y de este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

x=l+ M v 0 m+M ( t sin( ωt ) ω ) y= v 0 m+M ( Mt+m sin( ωt ) ω )

Comprobamos que en el instante t=0, las posiciones iniciales son x=l, y=0.

Creamos el siguiente script para representar las posiciones x e y de cada una de las dos partículas y del c.m. z en función del tiempo

k=5;    %constante elástica del muelle
M=2;  %masa izquierda
m=1; %masa derecha
lonMuelle=2; %longitud del muelle sin deformar
v0=2; %velocidad inicial
w=sqrt(k*(m+M)/(m*M));

t=0:0.02:6;
x=lonMuelle+M*v0*(t-sin(w*t)/w)/(m+M);
y=v0*(M*t+m*sin(w*t)/w)/(m+M);
z=(m*x+M*y)/(m+M);  %centro de masa

hold on
plot(t,y,'blue')
plot(t,x,'red')
plot(t,z,'black')
hold off
legend('izquierda','derecha','cm','Location','northwest')
xlabel('t(s)')
ylabel('y(m)')
title('Sistema aislado de dos partículas')
grid on

Calculamos el instante en el que la partícula de masa m llega a la posición x=10. Con los datos, k=5, M=2, m=1, l=2, resolvemos la ecuación transcendente empleando la función fzero

>> f=@(t) 6-t+sin(w*t)/w;
>> fzero(f,6)
ans =    5.8693

Las velocidades de las partículas en cualquier instante t son

dx dt = M v 0 m+M ( 1cos( ωt ) ) dy dt = v 0 m+M ( M+mcos( ωt ) )

Comprobamos que en el instante t=0, las velocidades iniciales son dy/dt=v0, dx/dt=0

Creamos el siguiente script para representar las velocidades dx/dt y dy/dt de cada una de las dos partículas en función del tiempo t

k=5;    %constante elástica del muelle
M=2;  %masa izquierda
m=1; %masa derecha
lonMuelle=2; %longitud del muelle sin deformar
v0=2; %velocidad inicial
w=sqrt(k*(m+M)/(m*M));

t=0:0.02:10;
vx=M*v0*(1-cos(w*t))/(m+M);
vy=v0*(M+m*cos(w*t))/(m+M);

hold on
plot(t,vy,'blue')
plot(t,vx,'red')
hold off
legend('izquierda','derecha','Location','northwest')
xlabel('t(s)')
ylabel('v_y, v_x')
title('Sistema aislado de dos partículas')
grid on

La partícula de masa m se detiene dx/dt=0, es decir, cuando cos(ωt)=1, ωt=0, 2π, 4π, etc.. Las posiciones de dicha partícula en estos instantes es

>> t=(0:2:6)*pi/w;
>> x=lonMuelle+M*v0*(t-sin(w*t)/w)/(m+M)
x =    2.0000    5.0591    8.1181   11.1772

Energías

La energía del sistema de partículas U es la suma de la energía cinética de la partícula de masa m, la energía cinética de la partícula de masa M, y la energía potencial del muelle deformado l-(x-y). Comprobamos después de hacer algunas operaciones que la suma es igual a la energía inicial de la partícula de masa M

U= 1 2 m ( dx dt ) 2 + 1 2 M ( dy dt ) 2 + 1 2 k ( l(xy) ) 2 = 1 2 M v 0 2

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo.