Tirando de una caja con una cuerda elástica. Velocidad constante
Supongamos que utilizamos una cuerda elástica para tirar de una caja. Al principio, la cuerda no ejerce fuerza sobre la caja. A media que la goma se alarga, aumenta la fuerza sobre la caja inmóvil hasta que esta fuerza alcanza un valor límite determinado por el coeficiente de rozamiento estático. La caja se pone en movimiento, se acelera primero, hasta que la fuerza que ejerce la cuerda sea igual a la fuerza de rozamiento, luego, la caja decelera, disminuye su velocidad hasta que se para y comienza un nuevo ciclo.
El movimiento de la caja consta de dos fases:
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En la primera, la caja está en reposo y la energía suministrada por el operario se almacena en la cuerda en forma de energía elástica.
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En la segunda, la caja desliza, una parte de la energía almacenada se transforma en energía cinética y otra parte, se convierte en calor debido al trabajo de la fuerza de rozamiento.
Se estudia el movimiento de una caja unida por una cuerda de cuyo extremo tira un operario:
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Que se mueve con velocidad constante, en esta página
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Con una fuerza constante, en la siguiente
En ambos casos, supondremos que la cuerda se comporta como un muelle elástico
El operario se mueve con velocidad constante.

La masa de la caja es M, el muelle elástico de constante k tiene una longitud natural d. El coeficiente estático es μs y el coeficiente cinético μk≤ μs.
En la figura, se muestra la caja, el muelle elástico y el operario O en la situación inicial. La caja en el origen x=0, y el operario en la posición y=d.
La caja en reposo

Cuando el operario se mueve hacia la derecha una distancia y del origen, el muelle se estira y la caja permanece en reposo en x=0. La fuerza de rozamiento Fr es igual a la fuerza que ejerce el muelle deformado k(y-d). En el momento en el que la fuerza de rozamiento alcanza su valor máximo μsMg, la caja empieza a deslizar.
La posición del operario es y0 tal que k(y0-d)= μsMg
En este instante ponemos en marcha el reloj, t=0
La caja desliza
En un instante dado t, la caja se encuentra en la posición x y el operario se encuentra en la posición y
Las fuerzas sobre la caja en movimiento son:
- La fuerza que ejerce el muelle k(y-x-d)
- La fuerza de rozamiento Fr= μkMg
Las ecuaciones del movimiento de la caja y del operario son, respectivamente
La solución de la ecuación diferencial es
La amplitud A y la fase φ se determina a partir de las condiciones iniciales
En el instante t=0, la caja parte de la posición x0 con velocidad nula dx/dt=0
La caja acelera primero y luego, decelera hasta que se detiene en el instante t,
La posición de la caja y la del operario en este instante es
A partir de este momento, la caja permanece en reposo y volverá de deslizar cuando la fuerza de rozamiento alcance su valor máximo μsMg.
Etapas
La caja se mueve a tirones describiendo los ciclos. Las sucesivas posiciones de la caja en reposo xi y del operario yis (cuando la caja se para) e yik (cuando la caja empieza a deslizar) son:
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Primer ciclo
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Segundo ciclo
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Tercer ciclo
x0=0, y0s=d, la caja está en reposo en el origen, el operario a una distancia d del origen
La caja empieza a deslizar cuando el operario se encuentra en la posición y0k tal que k(y0k-d)=µsmg,
Mientras la caja está en reposo, el operario se ha desplazado
La caja incrementa su velocidad, luego, disminuye hasta que se para, empleando un tiempo t=(4π-2φ)/ω desde que parte hasta que se detiene. Las posiciones de la caja y del operario son, respectivamente.
La caja empieza a deslizar cuando el operario se encuentra en la posición y1k tal que k(y1k-x1-d)=µsmg
Mientras la caja está en reposo, el operario se desplazado
La caja incrementa su velocidad, luego, disminuye hasta que se para, empleando un tiempo t=(4π-2φ)/ω desde que parte hasta que se detiene. Las posiciones de la caja y del operario son, respectivamente.
La caja empieza a deslizar cuando el operario se encuentra en la posición y2k tal que k(y2k-x2-d)=µsmg
Mientras la caja está en reposo, el operario se desplazado
La caja incrementa su velocidad, luego, disminuye hasta que se para, empleando un tiempo t=(4π-2φ)/ω desde que parte hasta que se detiene. Las posiciones de la caja y del operario son, respectivamente.
y así, sucesivamente
muEst=0.75; %coeficiente estático muDin=0.5; %coeficiente cinético k=20; %constante del muelle vY=1; %velocidad constante del operario w=sqrt(k); %frecuencia angular x0=0.0; %posición inicial de la caja d=2; %posición inicial del operario y0=d; %posición inicial del operario y=y0; %posición del operario t=0; dt=0.01; %intervalo tf=5; %tiempo final x=0; vX=0; xx=zeros(1,tf/dt); vv=zeros(1,tf/dt); tipo=1; %inicialmente parada xx(1)=0; %posición de la caja vv(1)=0; i=1; for tt=0:dt:tf t=t+dt; i=i+1; switch tipo case 1 %parado y=y0+vY*t; fElastica=w*w*(y-x-d); if (fElastica>0) && (fElastica>muEst*9.8) t=0.0; y0=x0+muEst*9.8/w^2+d; vX=0; Ay=-(y0-x0-d-muDin*9.8/w^2); Ax=-vY/w; amplitud=sqrt(Ax^2+Ay^2); fase=atan2(Ay, Ax); if fase<0 fase=2*pi+fase; end tipo=2; end case 2 %movimiento x=amplitud*sin(w*t+fase)+vY*t+y0-d-muDin*9.8/w^2; vX=amplitud*w*cos(w*t+fase)+vY; y=y0+vY*t; if vX<0 vX=0; t=(4*pi-2*fase)/w; y=y0+vY*t; x=amplitud*sin(w*t+fase)+vY*t+y0-d-muDin*9.8/w^2; x0=x; y0=y; t=0; tipo=1; end end xx(i)=x; vv(i)=vX; end figure plot(xx, vv) %espacio de las fases posición-velocidad grid on xlabel('x') ylabel('v_x') title('Arrastrando una caja') figure plot(0:dt:tf, vv(1:end-1)) %gráfica tiempo-velocidad grid on xlabel('t') ylabel('v_x') title('Arrastrando una caja') figure plot(0:dt:tf, xx(1:end-1)) %gráfica tiempo-posición grid on xlabel('t') ylabel('x') title('Arrastrando una caja')
En la figura, se muestra la trayectoria de la caja en el espacio de fases x-v. Se observa las posiciones de la caja en reposo, en el eje horizontal. La velocidad de la caja aumenta, alcanza un máximo y luego, disminuye hasta que se detiene, comenzando un nuevo ciclo.
Datos v=1.0 m/s, k=10 N/m, M=1 kg, μs=0.75, μk=0.5
En la figura, se observa la velocidad de la caja en función del tiempo total tt. Observamos que la velocidad de la caja aumenta, alcanza un máximo y luego, disminuye hasta que se detiene.
En la figura, se observa la posición de la caja en función del tiempo total tt. Los segmentos horizontales indican que la caja permanece en reposo durante un determinado intervalo de tiempo.
Actividades
Se introduce
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La velocidad constante v del operario, en m/s, en el control titulado Velocidad
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La masa M de la caja se ha fijado en 1 kg
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El coeficiente estático en el control titulado µs
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El coeficiente de rozamiento cinético en el control titulado µk. Se debe de cumplir que µk≤µs
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La constante k en N/m, del muelle elástico, en el control titulado Constante.
Se pulsa el botón titulado Nuevo
Se simula el movimiento de la caja y del operario, representado por un vehículo que se mueve con velocidad constante, ambos unidos por un muelle elástico.
En la parte superior, se representa la trayectoria de la caja en el espacio de las fases x-v. Se representan mediante flechas, las fuerzas sobre la caja