Un péndulo simple situado sobre una plataforma móvil

El péndulo simple

Supongamos que un péndulo simple de masa m y de longitud l se desvía un ángulo θ0 de la posición de equilibrio y se suelta.

Principio de conservación de la energía

Aplicamos el principio de conservación de la energía para calcular la velocidad de la partícula cuando el péndulo se encuentra en la posición angular θ.

Establecemos el nivel cero de energía potencial en el eje de giro O

1 2 m v 2 mglcosθ=mglcos θ 0

Como la partícula describe un movimiento circular de radio l, la velocidad v=l(dθ/dt). El término entre paréntesis es la velocidad angular de rotación.

( dθ dt ) 2 = 2g l (cosθcos θ 0 )

Segunda ley de Newton

En la figura, se muestran las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m y las componentes tangencial at= l(d2θ/dt2) y normal an=v2/l =l(dθ/dt)2 de su aceleración.

Aplicamos la segunda ley de Newton

mat=-mg·sinθ
man
=T-mg·cosθ

La primera ecuación se escribe en forma diferencial

d 2 θ d t 2 + g l sinθ=0

Se resuelve esta ecuación diferencial de segundo orden por procedimientos numéricos, con las condiciones iniciales t=0, θ=θ0, (dθ/dt)=0

La segunda ecuación, nos permite calcular la tensión de la cuerda T conocida la velocidad v de la partícula. La velocidad v se calcula aplicando el principio de conservación de la energía

T mg =3cosθ2cos θ 0

Ecuación del movimiento de un péndulo simple situado sobre una plataforma móvil

La plataforma y el péndulo constituyen un sistema aislado. Supongamos que inicialmente el péndulo se encuentra en la posición de equilibrio, en reposo, encima del centro de masas del la plataforma. Su proyección sobre el eje horizontal X señala el origen O. Así pues, el origen O es la posición del centro de masas del sistema aislado que permanecerá en reposo si inicialmente lo estaba.

La posición del centro de masas del sistema es el origen Xc=0

Supongamos que el péndulo se desplaza de la posición de equilibrio un ángulo θ0 hacia la derecha.

0= m x p +M· x b m+M

La relación entre la posición angular θ del péndulo y la posición del c.m. de la plataforma xb es

x b = m m+M l·sinθ

La velocidad del centro de masas del sistema es Vc=0

Las componentes de la velocidad de la partícula, respecto del observador inercial situado en el plano horizontal, son

horizontal: vcosθ+Vb
vertical: v·sinθ

0= m(vcosθ+ V b )+M V b m+M

La relación entre la velocidad v de la partícula y la velocidad Vb de la plataforma es

V b = m m+M vcosθ            (1)

Principio de conservación de la energía

Si establecemos el nivel cero de energía potencial en el eje de giro del péndulo. El principio de conservación de la energía se escribe, véase figura anterior.

1 2 M V b 2 + 1 2 m( (vcosθ+ V b ) 2 + (v·sinθ) 2 )mglcosθ=mglcos θ 0                  (2)

Sustituimos (1) Vb en función de v y despejamos v=l(dθ/dt) de (2)

( dθ dt ) 2 = 2g l (cosθcos θ 0 ) M+m M+m sin 2 θ

La aceleración del centro de masas del sistema es ac=0

Las componentes horizontal y vertical de la aceleración de la partícula, respecto del observador inercial situado en el plano horizontal, son

atcosθ-ansinθ+ab
an
cosθ+atsinθ

0= m( a t cosθ a n sinθ+ a b )+M a b m+M

La relación entre las componentes tangencial at y normal an de la aceleración de la partícula y la aceleración ab de la plataforma es

a b = m m+M ( a t cosθ a n sinθ)            (3)

Segunda ley de Newton

Las fuerzas sobre la partícula son

Las fuerzas sobre la plataforma son

Las componentes tangencial y radial de la aceleración de la partícula, respecto del observador inercial situado en el plano horizontal, son

at+ab·cosθ
an-ab
·sinθ

La ecuación del movimiento en la dirección tangencial es

m(at+ab·cosθ)=-mgsinθ      (4)

La ecuación del movimiento en la dirección normal es

m(an-ab·sinθ)=T- mgcosθ      (5)

La ecuación del movimiento de la plataforma es

T·sinθ=Mab                  (6)

Sustituimos ab de (3) en (4) y teniendo en cuenta que an=l(dθ/dt)2 y at= l(d2θ/dt2)  llegamos a la siguiente ecuación diferencial de segundo orden

d 2 θ d t 2 + m M+m sin 2 θ sinθ·cosθ ( dθ dt ) 2 + g l M+m M+m sin 2 θ sinθ=0

Que se resuelve por procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales

t=0, θ=θ0, (dθ/dt)=0

Cuando la masa M de la plataforma es muy grande comparada con la masa m de la partícula, m/M→0 obtenemos la ecuación diferencial del movimiento del péndulo.

Vamos a comprobar si es correcta la ecuación diferencial del movimiento.

La aplicación del principio de conservación de la energía nos proporciona la ecuación diferencial de primer orden

( dθ dt ) 2 = 2g l (cosθcos θ 0 ) M+m M+m sin 2 θ

Derivamos esta ecuación respecto del tiempo

2( dθ dt ) d 2 θ d t 2 = 2g l (sinθ) M+m M+m sin 2 θ ( dθ dt )+ 2g l (cosθcos θ 0 ) (2msinθ·cosθ)(M+m) (M+m sin 2 θ) 2 ( dθ dt ) d 2 θ d t 2 = g l (sinθ) M+m M+m sin 2 θ + 2g l (cosθcos θ 0 ) (msinθ·cosθ)(M+m) (M+m sin 2 θ) 2 d 2 θ d t 2 = g l (sinθ) M+m M+m sin 2 θ + ( dθ dt ) 2 M+m sin 2 θ (M+m) (msinθ·cosθ)(M+m) (M+m sin 2 θ) 2 d 2 θ d t 2 + g l M+m M+m sin 2 θ sinθ+ ( dθ dt ) 2 msinθ·cosθ M+m sin 2 θ =0

y volvemos a obtener la ecuación diferencial del movimiento

Tensión de la cuerda

De las ecuaciones (5) y (6) despejamos la tensión de la cuerda

T M+m sin 2 θ M =ml ( dθ dt ) 2 +mgcosθ

Conocida la velocidad angular de rotación (dθ/dt) se despeja la tensión T de la cuerda

T mg = M ( M+m sin 2 θ ) 2 ( 3(M+m)cosθm cos 3 θ2(M+m)cos θ 0 )

Ejemplo: supongamos que el péndulo se desvía θ0=90º y se suelta. Cuando pasa por la posición de equilibrio θ=0, la tensión de la cuerda es

T mg =3+2 m M

Algo mayor que cuando la plataforma está fija T/(mg)=3

Cuando la masa M de la plataforma es muy grande comparada con la masa m de la partícula, m/M→0 obtenemos

T mg =3cosθ2cos θ 0

Ejemplo

El bloque se desvía hacia la izquierda, a fin de que la posición del c.m. del sistema aislado permanezca en el origen

x b = m m+M l·sinθ x b = 1 1+2 1.0· sin 90 = 1 3 m

Calcular la posición xb del bloque, la velocidad v de la partícula, la velocidad Vb de la plataforma y la tensión T de la cuerda cuando θ=30º

  x b = 1 1+2 1.0·sin30= 1 6 m

La conservación del momento lineal y de la energía nos proporcionan las dos ecuaciones que nos permiten calcular v y Vb.

m(vcosθ+ V b )+M V b =0 1 2 M V b 2 + 1 2 m( (vcosθ+ V b ) 2 + (v·sinθ) 2 )mglcosθ=mglcos θ 0 1(vcos30º+ V b )+2 V b =0 1 2 2 V b 2 + 1 2 1( (vcosθ+ V b ) 2 + (v·sinθ) 2 )1·9.8·1.0cos30º=1·9.8·1.0cos90º

v=-4.75 m/s, Vb=1.37 m/s

La tensión T de la cuerda se calcula mediante el par de ecuaciones

T·sinθ=Mab                           (6)
m
(an-ab·sinθ)=T- mgcosθ      (5)

T·sin30º=2·ab                           (6)
1(4.752/1.0-ab·sin30º)=T- 1·9.8·cos30º     (5)

Eliminando la aceleración ab de la plataforma, despejamos T=27.66 N

Comparación

La figura muestra, la comparación entre las oscilaciones de un péndulo (en color azul) y la del mismo péndulo montado en una plataforma móvil (en color rojo) cuya masa es M/m=2.El péndulo se suelta desde la posición θ0=π/6 (30°)

x0=zeros(1,2);
x0(1)=pi/6;  %posición inicial
x0(2)=0;  %velocidad inicial
m=2; %relación M/m (plataforma/péndulo)
w2=9.8/1.0; %cuadrado de la frecuencia angular del péndulo simple

%péndulo móvil
f=@(t,x) [x(2);-(w2*(m+1)*sin(x(1))+sin(2*x(1))*x(2)/2)/(m+sin(x(1))^2)]; 
tspan=[0 3];
[t,x]=ode45(f,tspan,x0);

%péndulo fijo
g=@(t,x) [x(2);-w2*sin(x(1))]; 
[tt,xx]=ode45(g,tspan,x0);

plot(t,x(:,1),'r',tt,xx(:,1),'b')
legend('péndulo móvil','fijo', 'location','southwest')
grid on
xlabel('t')
ylabel('\theta');
title('Posición angular del péndulo')

figure 
y=-sin(x(:,1))/(1+m);
plot(t,y,'r')
grid on
xlabel('t')
ylabel('x');
title('Posición de la plataforma')

La figura muestra la posición de la plataforma xb en función del tiempo.

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Se sugiere, comparar el comportamiento del péndulo, cuando la masa de la plataforma M es del orden de la masa del péndulo m y cuando es mucho mayor. Por ejemplo, M/m=2. y cuando M/m=100.

En la parte superior, se proporcionan los datos relativos:


Ecuaciones de Lagrange

Si el centro de masas está situado el origen, relacionamos la posición de la plataforma x con el ángulo de desviación del péndulo θ,

m(x+lsinθ)+Mx=0

Derivando respecto al tiempo, obtenemos la velocidad de la plataforma y su energía cinética T1

x= mlsinθ m+M v= dx dt = mlcosθ m+M dθ dt T 1 = 1 2 M ( mlcosθ m+M ) 2 ( dθ dt ) 2

y de la masa puntual m y su energía cinética T2

v x = dx dt +lcosθ dθ dt = mlcosθ m+M dθ dt +lcosθ dθ dt = M m+M lcosθ dθ dt v y =lsinθ dθ dt T 2 = 1 2 m( ( M m+M cosθ ) 2 + sin 2 θ ) l 2 ( dθ dt ) 2

La energía potencial de la masa puntual es

V=mgl( 1cosθ )

La lagrangiana L=T1+T2-V es

L= 1 2 mM m+M l 2 cos 2 θ ( dθ dt ) 2 + 1 2 m l 2 sin 2 θ ( dθ dt ) 2 mgl( 1cosθ )

La ecuación del movimiento es

t ( L θ ˙ ) L θ =0 L θ ˙ = mM m+M l 2 cos 2 θ θ ˙ +m l 2 sin 2 θ θ ˙ t ( L θ ˙ )=m( M+m sin 2 θ m+M ) l 2 θ ¨ +2( m 2 m+M ) l 2 cosθsinθ θ ˙ 2 L θ = mM m+M l 2 cosθsinθ θ ˙ 2 +m l 2 cosθsinθ θ ˙ 2 mglsinθ ( M+m sin 2 θ m+M ) d 2 θ d t 2 + m m+M cosθsinθ ( dθ dt ) 2 + g l sinθ=0

Obtenemos la misma ecuación que en los apartados anteriores

Oscilaciones de pequeña amplitud

Cuando el ángulo θ es pequeño, la lagrangiana L y la ecuación del movimiento se simplifican notablemente

L= 1 2 mM m+M l 2 ( dθ dt ) 2 1 2 mgl θ 2 t ( L θ ˙ ) L θ =0 M m+M d 2 θ d t 2 + g l θ=0

Se trata de la ecuación diferencial de un Movimiento Armónico Simple de frecuencia angular

ω 2 = g l ( 1+ m M )

Si la masa M de la plataforma móvil es muy grande, obtenemos la frecuencia angular ω del movimiento oscilatorio de un péndulo de longitud l

Referencias

Physics challenges for teachers and students (Solutions to November 2004), The Physics Teacher 43 (2005), pp. s2-s3.