Sistema no aislado de dos partículas interactuantes

Consideremos un sistema de dos partículas cada una de masa m, unidas por un muelle elástico o una goma elástica de constante k y de longitud l si deformar.

Se aplica una fuerza externa F1 y F2 sobre cada una de las partículas. Estas fuerzas dependen de la posición de cada una de ellas, x1 y x2.

En la figura se muestra:

Ecuaciones del movimiento

Las ecuaciones del movimiento para cada una de las dos partículas son,

m d 2 x 1 d t 2 = F 1 +k( l( x 1 x 2 ) ) m d 2 x 2 d t 2 = F 2 k( l( x 1 x 2 ) )

Posición de cada una de las dos partículas

Conocida la posición z del centro de masas y la posición relativa ξ de las partículas en función del tiempo t, determinamos la posición de cada una de las partículas

{ x 1 + x 2 =2z x 1 x 2 =2ξ x 2 =zξ, x 1 =z+ξ

Las fuerzas externas

Supongamos que F1 y F2 son dos fuerzas conservativas derivadas de la energía potencial Ep(x)

F 1 = d E p (x) dx | x= x 1 , F 2 = d E p (x) dx | x= x 2

Sea Ep(x) la función

E p (x)=mghexp( x 2 2 a 2 ) F= d E p (x) dx = mgh a 2 xexp( x 2 2 a 2 )

Tomamos la masa de las partículas como unidad m=1 kg y el parámetro a2=1/2. Representamos Ep(x) para los siguientes valores de gh=0.5, 0.75, 1

a=1/sqrt(2);
m=1;
hold on
for gh=[0.5,0.75,1]
    Ep=@(x) -m*gh*exp(-x.^2/(2*a^2));
    fplot(Ep,[-3*a,3*a],'displayName',num2str(gh))
 end
hold off
grid on
xlabel('x')
legend('-DynamicLegend','location','best')
ylabel('E_p(x)')
title('Energía potencial')

Sistema de dos ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones del movimiento del centro de masas y del movimiento relativo se escriben en términos de z y ξ

Se resuelve el sistema de dos ecuaciones diferenciales por procedimientos numéricos, con las siguientes condiciones iniciales

Balance energético

El balance energético se escribe

W ext =( E kB E kA )+( E eB E eA ) ( E p ( z 0 + ξ 0 ) E p (z+ξ) )+( E p ( z 0 ξ 0 ) E p (zξ) )=m{ ( dz dt ) 2 + ( dξ dt ) 2 }m v 0 2 + 1 2 k ( l2ξ ) 2

Ejemplos

Estudiamos un sistema formado por dos partículas unidas por un muelle elástico, sometido a fuerzas externas conservativas

Representamos la posición z del centro de masas en función del tiempo t, resolviendo el sistema de dos ecuaciones difrenciales por el procedimiento ode45 de MATLAB

m=1; %masa de cada partícula
gh=1; %parámetro gh de la fuerza externa
k=1; % k/m, constante elástica
l=0.2; %longitud del muelle sin deformar
z0=-3; %posición inicial del centro de masas
v0=0.1; %velocidad inicial del centro de masas

fg=@(t,x)[x(2);-gh*((x(1)-x(3))*exp(-(x(1)-x(3))^2)+(x(1)+x(3))*
exp(-(x(1)+x(3))^2)); x(4); -gh*((x(1)+x(3))*exp(-(x(1)+x(3))^2)-
(x(1)-x(3))*exp(-(x(1)-x(3))^2))+k*(l-2*x(3))/m];
[t,x]=ode45(fg,[0,30],[z0,v0,l/2,0]);
plot(t,x(:,1))
grid on
xlabel('t')
ylabel('z');
title('Sistema no aislado')

%balance energético
Ep=@(x) -m*gh*exp(-x.^2);
W_ext=Ep(x0+l/2)-Ep(x(end,1)+x(end,3))+Ep(x0-l/2)-Ep(x(end,1)-x(end,3));
Ek=m*(x(end,2)^2+x(end,4)^2)-m*v0^2;
Epot=k*(l-2*x(end,3))^2/2;
disp([W_ext,Ek+Epot])

Comprobamos el balance energético, el trabajo de las fuerzas externas es igual al la suma de las variaciones de energía cinética de las partículas y de la energía potencial del muelle deformado

   1.0e-03 *
    0.0206    0.3950

Representamos la velocidad del centro de masas dz/dt en función de la posición z, cambiando las líneas de código

....
plot(x(:,1),x(:,2))
grid on
xlabel('z')
ylabel('dz/dt');
title('Sistema no aislado')

El sistema de dos partículas regresa al punto de partida, es reflejado por el pozo de potencial

Representamos la posición relativa ξ de las partículas en función del tiempo t, cambiando las líneas de código

...
plot(t,x(:,3))
grid on
xlabel('t')
ylabel('\xi');
title('Sistema no aislado')

Repetimos las mismas representaciones con la velocidad inicial v0=0.3 del centro de masas, comprobado que el sistema de dos partículas atraviesa el pozo de potencial, es transmitido

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Se representa el pozo de potencial, y en la parte superior, las dos partículas (roja y azul) unidas por una goma elástica de color negro.

En la parte inferior izquierda se proporcionan los datos de

En la parte inferior derecha se proporcionan los datos de

Comprobamos que en cualquier instante, la suma de los dos últimos términos da el primero

Las flechas de color rojo, representan las fuerzas externas F1 y F2. Las de color azul, la fuerza F=k(l-2ξ) que ejerce el muelle sobre las partículas (iguales y de sentido contrario)



Referencias

Mark Denny. Reflection from a Potential Well and from a Potential Barrier. The Physics Teacher. Vol. 60, May 2022, pp. 348-350