Un bloque de masa M (en color rojo) unido mediante un muelle elástico de constante k y longitud l sin deformar, a un carrito (en color azul) de masa m situados ambos sobre un plano inclinado de ángulo θ. El coeficiente de rozamiento (estático y cinético) entre el bloque y el plano inclinado es μ. Supondremos que no hay rozamiento apreciable entre el carrito y el plano inclinado.

Descripción del movimiento

El comportamiento del bloque depende de los valores de los parámetros mencionados, como veremos más adelante:

• Permanecerá en reposo en el origen
• Deslizará a lo largo del plano inclinado, deteniéndose y volviendo a deslizar hasta alcanzar la posición final en reposo
• Deslizará a lo largo del plano inclinado sin detenerse

El bloque de masa M se encuentra inicialmente en el origen en reposo y el carrito se sostiene a una distancia l igual a la longitud del muelle si deformar.

Se suelta el carrito, en el instante t=0, se desplaza (x-l) y adquiere una velocidad v. Aplicamos el principio de conservación de la energía

${\displaystyle mg(x-l)\sin \theta =\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}k{\left(x-l\right)}^2}$

El máximo desplazamiento del carrito x_m se obtiene cuando se detiene v=0

La fuerza de rozamiento que hace que el bloque permanezca en reposo sobre el plano inclinado es F_r=k(x-l)+Mgsinθ.

F_r aumenta con la deformación (x-l). Cuando esta fuerza alcanza el valor máximo F_r=μN=μMgcosθ el bloque empieza a deslizar.

El bloque permanecerá en reposo en el origen mientras el carrito oscila siempre que

${\displaystyle k(x_m-l)+Mg\sin \theta \le \mu Mg\cos \theta }$

La masa mínima m₁ que hace que el bloque empiece a deslizar se obtiene de las ecuaciones

${\displaystyle \begin{array}{l}{m}_{1}g(x_m-l)\sin \theta =\frac{1}{2}k{\left(x_m-l\right)}^2\\ \mu Mg\cos \theta =k(x_m-l)+Mg\sin \theta \end{array}\}{m}_1=\frac{1}{2}\left(\frac{\mu }{\tan \theta }-1\right)}$

Siempre que m<m₁, el bloque permanece en reposo en el origen y el carrito oscilará a lo largo del plano inclinado.

Si (m+M)gsinθ>μMgcosθ, el bloque no se detiene, acelera

${\displaystyle m_2=M\left(\frac{\mu }{\tan \theta }-1\right)}$

Siempre que m>m₂, el bloque deslizará a lo largo del plano inclinado sin detenerse.

El principal interés de este página radica en carritos de masa m comprendida entre m₁ y m₂.

Tomaremos un coeficiente de rozamiento μ de modo que m₁ y m₂ sean positivas, lo que implica μ>tanθ

El bloque en reposo, el carrito se mueve

El bloque se encuentra en reposo en la posición y_s en el instante t_s y el carrito parte de la posición x_s con velocidad (dx/dt)_s. La ecuación del movimiento del carrito es

${\displaystyle \begin{array}{l}m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=mg\sin \theta -k(x-y_s-l)\\ \frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }_s^{2}x=g\sin \theta +{\omega }_s^2\left(y_s+l\right),{\omega }_s^2=\frac{k}{m}\end{array}}$

La solución completa de esta ecuación diferencial es la suma de la homogénea y particular. La posición x y la velocidad del carrito (dx/dt) en el instante t>t_s son

${\displaystyle \begin{array}{l}x=A\cos \left({\omega }_s(t-t_s)\right)+B\sin \left({\omega }_s(t-t_s)\right)+\frac{g}{{\omega }_s^2}\sin \theta +l+y_s\\ \frac{dx}{dt}={\omega }_s\left(-A\sin \left({\omega }_s(t-t_s)\right)+B\cos \left({\omega }_s(t-t_s)\right)\right)\end{array}}$

Dadas las condiciones iniciales, calculamos los coeficientes A y B

${\displaystyle B=\frac{1}{{\omega }_s}{\left(\frac{dx}{dt}\right)}_s,A=x_s-\frac{g}{{\omega }_s^2}\sin \theta -l-y_s}$

El bloque puede empezar a deslizar

La fuerza de rozamiento F_r entre el bloque y el plano inclinado puede alcanzar su valor máximo en el instante t_k, raíz de la ecuación

${\displaystyle \begin{array}{l}k(x-y_s-l)+Mg\sin \theta =\mu Mg\cos \theta \\ k\left(A\cos \left({\omega }_s(t-t_s)\right)+B\sin \left({\omega }_s(t-t_s)\right)+\frac{g}{{\omega }_s^2}\sin \theta \right)+Mg\sin \theta =\mu Mg\cos \theta \\ A\cos \left({\omega }_s(t-t_s)\right)+B\sin \left({\omega }_s(t-t_s)\right)=\frac{1}{k}\left(\mu Mg\cos \theta -(m+M)g\sin \theta \right)\end{array}}$

Determinamos la posición x_k y la velocidad (dx/dt)_k, del carrito en el instante t_k. La posición del bloque es y_s y parte del reposo (dy/dt)_k=0

La posición y velocidad del centro de masas en este instante t_k es

${\displaystyle z_k=\frac{m{x}_k+M{y}_s}{m+M},v_k=\frac{m}{m+M}{\left(\frac{dx}{dt}\right)}_k}$

Los dos cuerpos se mueven

En la figura, se muestran las fuerzas sobre cada una de las partículas, las ecuaciones del movimiento son:

${\displaystyle \{\begin{array}{l}m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=mg\sin \theta -k(x-y-l)\\ M\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=Mg\sin \theta +k(x-y-l)-\mu Mg\cos \theta \end{array}}$

• Movimiento del centro de masas

${\displaystyle \begin{array}{l}z=\frac{My+mx}{M+m}\\ (M+m)\frac{d^{2}z}{d{t}^2}=M\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=(M+m)g\sin \theta -\mu Mg\cos \theta \\ \frac{d^{2}z}{d{t}^2}=g\sin \theta -\mu \frac{M}{M+m}g\cos \theta \end{array}}$

Se trata de la ecuación de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado a partir del instante t_k

${\displaystyle z=z_k+v_k(t-t_k)+\frac{1}{2}g\left(\sin \theta -\mu \frac{M}{M+m}\cos \theta \right){\left(t-t_k\right)}^2}$

• Movimiento relativo de las dos partículas

${\displaystyle \begin{array}{l}\xi =x-y\\ \frac{d^2\xi }{d{t}^2}+k\left(\frac{1}{m}+\frac{1}{M}\right)\xi =k\left(\frac{1}{m}+\frac{1}{M}\right)l+\mu g\cos \theta ,{\omega }_k^2=k\left(\frac{1}{m}+\frac{1}{M}\right)\end{array}}$

La solución completa es

${\displaystyle \begin{array}{l}\xi =A\cos \left({\omega }_k(t-t_k)\right)+B\sin \left({\omega }_k(t-t_k)\right)+l+\mu \frac{g}{{\omega }_k^2}\cos \theta \\ \frac{d\xi }{dt}={\omega }_k\left(-A\sin \left({\omega }_k(t-t_k)\right)+B\cos \left({\omega }_k(t-t_k)\right)\right)\end{array}}$

Los coeficientes A y B se calculan a partir de la posición y velocidad de las dos partículas en el instante t_k

${\displaystyle \begin{array}{l}{t}_k\{\begin{array}{l}{\xi }_k=x_k-y_s\\ {\left(\frac{d\xi }{dt}\right)}_k={\left(\frac{dx}{dt}\right)}_k\end{array}\\ A=x_k-y_s-\mu \frac{g}{{\omega }_k^2}\cos \theta -l\\ B=\frac{1}{{\omega }_k}{\left(\frac{dx}{dt}\right)}_k\end{array}}$

Conocida la posición z del centro de masas y el movimiento relativo ξ, se calculan las posiciones del carrito x y del bloque y

${\displaystyle \begin{array}{l}z=\frac{My+mx}{M+m}\\ \xi =x-y\end{array}\}\{\begin{array}{l}x=z+\frac{M}{M+m}\xi \\ y=z-\frac{m}{M+m}\xi \end{array}}$

El bloque puede detenerse

El bloque se detiene en el instante t_s cuando su velocidad dy/dt=0

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{dy}{dt}=\frac{dz}{dt}-\frac{m}{M+m}\frac{d\xi }{dt}\\ \frac{dy}{dt}=v_k+g\left(\sin \theta -\mu \frac{M}{M+m}\cos \theta \right)\left(t-t_k\right)\\ -\frac{m}{M+m}{\omega }_k\left(-A\sin \left({\omega }_k(t-t_k)\right)+B\cos \left({\omega }_k(t-t_k)\right)\right)\end{array}}$

En el instante t_s, el bloque se encuentra en la posición y_s, en reposo (dy/dt)_s=0, y el carrito en la posición x_s con velocidad (dx/dt)_s

Volvemos al apartado anterior titulado 'El bloque en reposo, el carrito se mueve'

Ejemplos

Consideremos un plano inclinado de ángulo θ=30°. El coeficiente de rozamiento (estático y cinético) entre μ=0.9 que es mayor que tanθ=0.577

• el muelle tiene una longitud l=1 m sin deformar y su constante k=10 N/m
• el bloque está situado inicialmente en la posición y=-l y su masa M=1 kg
• el carrito está situado inicialmente en el origen, y su masa m va cambiar

Con estos datos, examinaremos los distintos casos:

• Si la masa m del carrito es menor que (μ/tanθ-1)/2=0.279 kg, el bloque estará en reposo. Sea m=0.2 kg



Observamos que el bloque está en reposo en la posición y=-1, y el carrito oscila con un periodo 2π/ω_s=0.89 s, y un desplazamiento máximo de 0.2 m, aproximadamente

• Si la masa m del carrito es mayor que (μ/tanθ-1)=0.559 kg, el bloque deslizará a lo largo del plano inclinado sin detenerse. Sea m=0.6 kg





• Si la masa m del carrito está comprendida entre los dos valores límites (μ/tanθ-1)/2<m<(μ/tanθ-1), el bloque deslizará a lo largo del plano inclinado, deteniendose varias veces durante un determinado tiempo, alcanzando una posición final en reposo. Sea m=0.5 kg

Posiciones y velocidades del bloque y el carrito

Se sitúa el carrito en el origen (x=0) y el bloque en la posición y=-l. El muelle está sin deformar, dado que μ>tanθ, el bloque se encuentra inicialmente en reposo

El script que calcula las posiciones y velociades del carrito y el bloque es el siguiente

mu=0.9; %coeficiente de rozamiento: estático y cinético
phi=pi/6; %ángulo del plano inclinado
L=1; %longitud del muelle sin deformar
m=0.5; %masa del carro
M=1; %masa del bloque
k=10; %constante del muelle

tt=0.005:0.005:10; %tiempo
xx=zeros(1,length(tt)+1); %posiciones en el instante t
yy=zeros(1,length(tt)+1);

vXX=zeros(1,length(tt)); %velocidades en el intente t
vYY=zeros(1,length(tt));

%situación inicial
y=-L; %posición inicial del bloque
x=0; %posición inicial del carro
ws=sqrt(k/m); %frecuencias angulares
wk=sqrt(k*(1/m+1/M));
ts=0;  %tiempos, el bloque comienza a moverse
tk=0; %tiempos, el bloque se detiene 
vY=0; %velocidad inicial del bloque
vX=0; %velocidad inicial del carro
zk=(m*x+M*y)/(m+M); %posición inicial del centro de masas
vk=0; %velocidad inicial del centro de masas
%el bloque está inicialmente en reposo mu>tan(phi)
tipo=1;
A=x-9.8*sin(phi)/ws^2-y-L;
B=vX/ws;

xx(1)=x; %posiciones iniciales
yy(1)=y;
vXX(1)=vX; %velocidades iniciales
vYY(1)=vY;
%situación en el tiempo t
i=2;
for t=tt
    switch tipo
        case 1  %bloque en reposo
            x=A*cos(ws*(t-ts))+B*sin(ws*(t-ts))+9.8*sin(phi)/ws^2+L+y;
            vX=ws*(-A*sin(ws*(t-ts))+B*cos(ws*(t-ts)));
            yy(i)=y; %guarda posición y velocidad
            xx(i)=x;
            vXX(i)=vX;
            vYY(i)=0;
            if (k*(x-y-L)+M*9.8*sin(phi))>=(mu*M*9.8*cos(phi))
			%empieza a deslizar		
                f=@(t) A*cos(ws*(t-ts))+B*sin(ws*(t-ts))-
(mu*M*cos(phi)-(m+M)*sin(phi))*9.8/k;
                tk=fzero(f,t);
                zk=(m*x+M*y)/(m+M); %posición inicial del centro de masas
                vk=(m*vX)/(m+M); %velocidad del centro de masas
                A=x-y-mu*9.8*cos(phi)/wk^2-L;
                B=vX/wk;  
                tipo=2;
            end
        case 2 %bloque en movimiento
            xi=A*cos(wk*(t-tk))+B*sin(wk*(t-tk))
+mu*9.8*cos(phi)/wk^2+L;
            vXi=wk*(-A*sin(wk*(t-tk))+B*cos(wk*(t-tk)));
            xCm=zk+vk*(t-tk)+9.8*(sin(phi)-mu*M*cos(phi)
/(m+M))*(t-tk)^2/2;
            vCm=vk+9.8*(sin(phi)-mu*M*cos(phi)/(m+M))*(t-tk);
            y=xCm-m*xi/(M+m);
            x=xCm+M*xi/(M+m);
            vY=vCm-m*vXi/(M+m);
            vX=vCm+M*vXi/(M+m);
            yy(i)=y; %guarda posición y velocidad
            xx(i)=x;
            vXX(i)=vX;
            vYY(i)=vY;
            %bloque se detiene
            if vY<=0 
                vY=0;
                tipo=1;
                f=@(t) vk+9.8*(sin(phi)-mu*M*cos(phi)/(m+M))*(t-tk)
-wk*m*(-A*sin(wk*(t-tk))+B*cos(wk*(t-tk)))/(m+M);
                ts=fzero(f,t);
                A=x-9.8*sin(phi)/ws^2-L-y;
                B=vX/ws;
            end
    end
        i=i+1;
end
%plot([0,tt],vXX, [0,tt],vYY) %representa las velocidades
plot([0,tt],xx, [0,tt],yy) %representa las posiciones 
legend('carrito','bloque', 'location','best')
grid on
xlabel('t')
ylabel('x,y')
%ylabel('v_x,v_y')
title('Posiciones')
%title('Velocidades')

Comprobación. Energías

Situamos el nivel cero de energía potencial en el origen

La energía inicial del sistema es E_i=Mglsinθ

La energía final E_f es la suma de

• La energía cinética de las dos partículas

${\displaystyle \frac{1}{2}m{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+\frac{1}{2}M{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}$

• La energía potencial elástica del muelle deformado (x-y-l)

${\displaystyle \frac{1}{2}k{\left(x-y-l\right)}^2}$

• La energía potencial gravitatoria -(My+mx)gsinθ

La energía disipada es el trabajo de la fuerza de rozamiento cuando el bloque se desplaza (y+l), W_r=-μMgcosθ(y+l)

Comprobamos que en cada instante el trabajo de la fuerza de rozamiento W_r es igual a la diferencia entre la energía final E_f y la inicial E_i

Añadimos las siguientes líneas de código al script anterior

......
%balance energético
eMuelle=k*(xx-yy-L).^2/2;
eKin=m*vXX.^2/2+M*vYY.^2/2;
ePot=-(M*yy+m*xx)*9.8*sin(phi);
eRoza=-mu*M*9.8*cos(phi)*(yy+L);
eInicial=M*L*9.8*sin(phi);
figure
plot([0,tt],eMuelle+eKin+ePot-eInicial,[0,tt],eRoza)
grid on
legend('E_f-E_i','W_r', 'location','best')
xlabel('t')
ylabel('rozamiento')
title('Energías')

Ambas representaciones coinciden, de este modo, comprobamos que los cálculos numéricos realizados en el primer script son aproximadamente, correctos

Actividades

Se introduce

• La constante del muelle elástico k, en el control titulado k (N/m)
• El coeficiente de rozamiento μ (estático y cinético), en el control titulado μ
• la masa m del carrito, en el control titulado Masa carrito (kg)
• El ángulo del plano inclinado θ, en el control titulado Angulo

Se ha fijado

• La masa M= 1 kg del bloque
• La longitud del muelle sin deformar l= 1 m
• La posición inicial del bloque y=-l y su velocidad inicial dy/dt=0
• La posición inicial del carrito x=0 y su velocidad inicial dx/dt=0

El programa limita los valores del coeficiente de rozamiento o del ángulo del plano inclinado, de modo que se cumpla μ>tanθ, en caso contrario, un mensaje nos lo advierte

El lector puede experimentar con los tres casos descritos en esta página

• m<m₁, por ejmplo, m=0.2 kg
• m>m₂, por ejmplo, m=0.6 kg
• y el caso más interesante, m₁<m<m₂, por ejmplo, m=0.5 kg

El programa, muestra el movimiento del sistema formado por los dos cuerpos unidos por un muelle elástico a lo largo de un plano inclinado y proporciona los datos de su posición y velocidad en función del tiempo

Sobre el bloque se han dibujado dos fuerzas:

• la suma de la componente del peso a lo largo del plano inclinado y la fuerza que ejerce el muelle sobre el bloque, (en color rojo)
• El valor máximo de la fuerza de rozamiento μMgcosθ, (en color negro).

Cuando la primera se hace mayor o igual que la segunda el bloque empieza a deslizar

Referencias

I Datsenko, O Lozovenko, Yu Minaiev, M Zadoian. Paradoxes of stiff springs. Phys. Educ. 54(2019) 065003