Movimiento del c.m. y de las partículas de un sistema (III)

Un bloque de masa M (en color rojo) unido mediante un muelle elástico de constante k y longitud l sin deformar, a un carrito (en color azul) de masa m situados ambos sobre un plano inclinado de ángulo θ. El coeficiente de rozamiento (estático y cinético) entre el bloque y el plano inclinado es μ. Supondremos que no hay rozamiento apreciable entre el carrito y el plano inclinado.

Descripción del movimiento

El comportamiento del bloque depende de los valores de los parámetros mencionados, como veremos más adelante:

El bloque de masa M se encuentra inicialmente en el origen en reposo y el carrito se sostiene a una distancia l igual a la longitud del muelle si deformar.

Se suelta el carrito, en el instante t=0, se desplaza (x-l) y adquiere una velocidad v. Aplicamos el principio de conservación de la energía

mg(xl)sinθ= 1 2 m v 2 + 1 2 k ( xl ) 2

El máximo desplazamiento del carrito xm se obtiene cuando se detiene v=0

La fuerza de rozamiento que hace que el bloque permanezca en reposo sobre el plano inclinado es Fr=k(x-l)+Mgsinθ.

Fr aumenta con la deformación (x-l). Cuando esta fuerza alcanza el valor máximo Fr=μN=μMgcosθ el bloque empieza a deslizar.

El bloque permanecerá en reposo en el origen mientras el carrito oscila siempre que

k( x m l)+MgsinθμMgcosθ

La masa mínima m1 que hace que el bloque empiece a deslizar se obtiene de las ecuaciones

m 1 g( x m l)sinθ= 1 2 k ( x m l ) 2 μMgcosθ=k( x m l)+Mgsinθ } m 1 = 1 2 ( μ tanθ 1 )

Siempre que m<m1, el bloque permanece en reposo en el origen y el carrito oscilará a lo largo del plano inclinado.

Si (m+M)gsinθ>μMgcosθ, el bloque no se detiene, acelera

m 2 =M( μ tanθ 1 )

Siempre que m>m2, el bloque deslizará a lo largo del plano inclinado sin detenerse.

El principal interés de este página radica en carritos de masa m comprendida entre m1 y m2.

Tomaremos un coeficiente de rozamiento μ de modo que m1 y m2 sean positivas, lo que implica μ>tanθ

El bloque en reposo, el carrito se mueve

El bloque se encuentra en reposo en la posición ys en el instante ts y el carrito parte de la posición xs con velocidad (dx/dt)s. La ecuación del movimiento del carrito es

m d 2 x d t 2 =mgsinθk(x y s l) d 2 x d t 2 + ω s 2 x=gsinθ+ ω s 2 ( y s +l ), ω s 2 = k m

La solución completa de esta ecuación diferencial es la suma de la homogénea y particular. La posición x y la velocidad del carrito (dx/dt) en el instante t>ts son

x=Acos( ω s (t t s ) )+Bsin( ω s (t t s ) )+ g ω s 2 sinθ+l+ y s dx dt = ω s ( Asin( ω s (t t s ) )+Bcos( ω s (t t s ) ) )

Dadas las condiciones iniciales, calculamos los coeficientes A y B

B= 1 ω s ( dx dt ) s ,A= x s g ω s 2 sinθl y s

El bloque puede empezar a deslizar

La fuerza de rozamiento Fr entre el bloque y el plano inclinado puede alcanzar su valor máximo en el instante tk, raíz de la ecuación

k(x y s l)+Mgsinθ=μMgcosθ k( Acos( ω s (t t s ) )+Bsin( ω s (t t s ) )+ g ω s 2 sinθ )+Mgsinθ=μMgcosθ Acos( ω s (t t s ) )+Bsin( ω s (t t s ) )= 1 k ( μMgcosθ(m+M)gsinθ )

Determinamos la posición xk y la velocidad (dx/dt)k, del carrito en el instante tk. La posición del bloque es ys y parte del reposo (dy/dt)k=0

La posición y velocidad del centro de masas en este instante tk es

z k = m x k +M y s m+M , v k = m m+M ( dx dt ) k

Los dos cuerpos se mueven

En la figura, se muestran las fuerzas sobre cada una de las partículas, las ecuaciones del movimiento son:

{ m d 2 x d t 2 =mgsinθk(xyl) M d 2 y d t 2 =Mgsinθ+k(xyl)μMgcosθ

Conocida la posición z del centro de masas y el movimiento relativo ξ, se calculan las posiciones del carrito x y del bloque y

z= My+mx M+m ξ=xy }{ x=z+ M M+m ξ y=z m M+m ξ

El bloque puede detenerse

El bloque se detiene en el instante ts cuando su velocidad dy/dt=0

dy dt = dz dt m M+m dξ dt dy dt = v k +g( sinθμ M M+m cosθ )( t t k ) m M+m ω k ( Asin( ω k (t t k ) )+Bcos( ω k (t t k ) ) )

En el instante ts, el bloque se encuentra en la posición ys, en reposo (dy/dt)s=0, y el carrito en la posición xs con velocidad (dx/dt)s

Volvemos al apartado anterior titulado 'El bloque en reposo, el carrito se mueve'

Ejemplos

Consideremos un plano inclinado de ángulo θ=30°. El coeficiente de rozamiento (estático y cinético) entre μ=0.9 que es mayor que tanθ=0.577

Con estos datos, examinaremos los distintos casos:

Posiciones y velocidades del bloque y el carrito

Se sitúa el carrito en el origen (x=0) y el bloque en la posición y=-l. El muelle está sin deformar, dado que μ>tanθ, el bloque se encuentra inicialmente en reposo

El script que calcula las posiciones y velociades del carrito y el bloque es el siguiente

mu=0.9; %coeficiente de rozamiento: estático y cinético
phi=pi/6; %ángulo del plano inclinado
L=1; %longitud del muelle sin deformar
m=0.5; %masa del carro
M=1; %masa del bloque
k=10; %constante del muelle

tt=0.005:0.005:10; %tiempo
xx=zeros(1,length(tt)+1); %posiciones en el instante t
yy=zeros(1,length(tt)+1);

vXX=zeros(1,length(tt)); %velocidades en el intente t
vYY=zeros(1,length(tt));

%situación inicial
y=-L; %posición inicial del bloque
x=0; %posición inicial del carro
ws=sqrt(k/m); %frecuencias angulares
wk=sqrt(k*(1/m+1/M));
ts=0;  %tiempos, el bloque comienza a moverse
tk=0; %tiempos, el bloque se detiene 
vY=0; %velocidad inicial del bloque
vX=0; %velocidad inicial del carro
zk=(m*x+M*y)/(m+M); %posición inicial del centro de masas
vk=0; %velocidad inicial del centro de masas
%el bloque está inicialmente en reposo mu>tan(phi)
tipo=1;
A=x-9.8*sin(phi)/ws^2-y-L;
B=vX/ws;

xx(1)=x; %posiciones iniciales
yy(1)=y;
vXX(1)=vX; %velocidades iniciales
vYY(1)=vY;
%situación en el tiempo t
i=2;
for t=tt
    switch tipo
        case 1  %bloque en reposo
            x=A*cos(ws*(t-ts))+B*sin(ws*(t-ts))+9.8*sin(phi)/ws^2+L+y;
            vX=ws*(-A*sin(ws*(t-ts))+B*cos(ws*(t-ts)));
            yy(i)=y; %guarda posición y velocidad
            xx(i)=x;
            vXX(i)=vX;
            vYY(i)=0;
            if (k*(x-y-L)+M*9.8*sin(phi))>=(mu*M*9.8*cos(phi))
			%empieza a deslizar		
                f=@(t) A*cos(ws*(t-ts))+B*sin(ws*(t-ts))-
(mu*M*cos(phi)-(m+M)*sin(phi))*9.8/k;
                tk=fzero(f,t);
                zk=(m*x+M*y)/(m+M); %posición inicial del centro de masas
                vk=(m*vX)/(m+M); %velocidad del centro de masas
                A=x-y-mu*9.8*cos(phi)/wk^2-L;
                B=vX/wk;  
                tipo=2;
            end
        case 2 %bloque en movimiento
            xi=A*cos(wk*(t-tk))+B*sin(wk*(t-tk))
+mu*9.8*cos(phi)/wk^2+L;
            vXi=wk*(-A*sin(wk*(t-tk))+B*cos(wk*(t-tk)));
            xCm=zk+vk*(t-tk)+9.8*(sin(phi)-mu*M*cos(phi)
/(m+M))*(t-tk)^2/2;
            vCm=vk+9.8*(sin(phi)-mu*M*cos(phi)/(m+M))*(t-tk);
            y=xCm-m*xi/(M+m);
            x=xCm+M*xi/(M+m);
            vY=vCm-m*vXi/(M+m);
            vX=vCm+M*vXi/(M+m);
            yy(i)=y; %guarda posición y velocidad
            xx(i)=x;
            vXX(i)=vX;
            vYY(i)=vY;
            %bloque se detiene
            if vY<=0 
                vY=0;
                tipo=1;
                f=@(t) vk+9.8*(sin(phi)-mu*M*cos(phi)/(m+M))*(t-tk)
-wk*m*(-A*sin(wk*(t-tk))+B*cos(wk*(t-tk)))/(m+M);
                ts=fzero(f,t);
                A=x-9.8*sin(phi)/ws^2-L-y;
                B=vX/ws;
            end
    end
        i=i+1;
end
%plot([0,tt],vXX, [0,tt],vYY) %representa las velocidades
plot([0,tt],xx, [0,tt],yy) %representa las posiciones 
legend('carrito','bloque', 'location','best')
grid on
xlabel('t')
ylabel('x,y')
%ylabel('v_x,v_y')
title('Posiciones')
%title('Velocidades')

Comprobación. Energías

Situamos el nivel cero de energía potencial en el origen

La energía inicial del sistema es Ei=Mglsinθ

La energía final Ef es la suma de

La energía disipada es el trabajo de la fuerza de rozamiento cuando el bloque se desplaza (y+l), Wr=-μMgcosθ(y+l)

Comprobamos que en cada instante el trabajo de la fuerza de rozamiento Wr es igual a la diferencia entre la energía final Ef y la inicial Ei

Añadimos las siguientes líneas de código al script anterior

......
%balance energético
eMuelle=k*(xx-yy-L).^2/2;
eKin=m*vXX.^2/2+M*vYY.^2/2;
ePot=-(M*yy+m*xx)*9.8*sin(phi);
eRoza=-mu*M*9.8*cos(phi)*(yy+L);
eInicial=M*L*9.8*sin(phi);
figure
plot([0,tt],eMuelle+eKin+ePot-eInicial,[0,tt],eRoza)
grid on
legend('E_f-E_i','W_r', 'location','best')
xlabel('t')
ylabel('rozamiento')
title('Energías')

Ambas representaciones coinciden, de este modo, comprobamos que los cálculos numéricos realizados en el primer script son aproximadamente, correctos

Actividades

Se introduce

Se ha fijado

El programa limita los valores del coeficiente de rozamiento o del ángulo del plano inclinado, de modo que se cumpla μ>tanθ, en caso contrario, un mensaje nos lo advierte

El lector puede experimentar con los tres casos descritos en esta página

El programa, muestra el movimiento del sistema formado por los dos cuerpos unidos por un muelle elástico a lo largo de un plano inclinado y proporciona los datos de su posición y velocidad en función del tiempo

Sobre el bloque se han dibujado dos fuerzas:

Cuando la primera se hace mayor o igual que la segunda el bloque empieza a deslizar



Referencias

I Datsenko, O Lozovenko, Yu Minaiev, M Zadoian. Paradoxes of stiff springs. Phys. Educ. 54(2019) 065003