En la figura, se muestra de forma esquemática la evolución temporal de un salto. El saltador parte de la posición erguida, hace un movimiento hacia abajo flexionando las rodillas y salta. La energía de los músculos en tensión se convierte primero en energía cinética y a continuación, en energía potencial cuando el saltador alcanza la máxima altura.

Situación inicial.

El muelle tiene una longitud l cuando no está deformado. Si lo colocamos en posición vertical con la partícula de masa m situada en la parte superior, el muelle se comprime.

La partícula de masa m está en equilibrio bajo la acción de dos fuerzas, el peso mg y la fuerza que ejerce el muelle deformado k(l-x), tal como apreciamos en la figura.

mg=k(l-x)

La deformación del muelle es por tanto, l-x=mg/k. Donde x es la posición de la partícula superior con respecto al origen situado en el suelo.

Comprimimos el muelle una longitud adicional d, y lo soltamos. La posición inicial de la partícula de masa m es x=l-mg/k-d y su velocidad inicial dx/dt=0.

Energías

Estableciendo el nivel cero de la energía potencial en el suelo. La energía inicial del sistema de partículas se compone de dos términos:

• La energía potencial elástica del muelle deformado d+mg/k

${\displaystyle E_e=\frac{1}{2}k{\left(d+\frac{mg}{k}\right)}^2}$

• La energía potencial de la partícula de masa m, que está a una altura x=l-mg/k-d  sobre el suelo

${\displaystyle E_p=mg\left(l-\frac{mg}{k}-d\right)}$

La energía inicial E₀ del sistema de partículas es

${\displaystyle E_0=E_p+E_e=mgl-\frac{m^2{g}^2}{2k}+\frac{1}{2}k{d}^2}$

Una vez que se suelta el muelle, después de haberse comprimido, observaremos el movimiento de cada una de las partículas y el centro de masas (c.m.) del sistema, que consta de dos etapas:

1. Cuando la partícula inferior de masa M está en contacto con el suelo y por tanto, en reposo.
2. Cuando la partícula de masa M deja de tener contacto con el suelo.

Primera fase del movimiento

Las fuerzas que actúan sobre el sistema de partículas son exteriores al sistema e interiores

• La reacción N del suelo sobre la cual se apoya la partícula inferior y el peso de cada una de las partículas mg y Mg

• Las fuerzas de interacción mutua F=k(l-x) iguales y de sentido contrario tal como se muestra en la figura.

Dinámica de la partícula superior (de masa m)

Sobre esta partícula actúan las siguientes fuerzas:

• Su peso mg

• La fuerza que ejerce el muelle deformado k(l-x). Siendo x la posición de la partícula

La ecuación del movimiento es

${\displaystyle m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=k(l-x)-mg}$

Esta ecuación se puede escribir

${\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}+\frac{k}{m}x=\frac{k}{m}l-g}$

La solución de esta ecuación diferencial, como puede comprobarse por simple sustitución, es de la forma

${\displaystyle x=l-\frac{mg}{k}+A\sin ({\omega }_{1}t)+B\cos ({\omega }_{1}t){\omega }_1=\sqrt{\frac{k}{m}}}$

Las constantes A y B se calculan a partir de las condiciones iniciales. En el instante t=0, la posición de la partícula superior es x=l-mg/k-d y su velocidad es dx/dt=0. La posición de la partícula superior (de masa m) en función del tiempo es

${\displaystyle x=l-\frac{mg}{k}-d\cos ({\omega }_{1}t)}$

Su velocidad es v_m= d·ω₁·sin(ω₁·t)

Sobre la partícula inferior actúan las siguientes fuerzas:

• El peso Mg

• La fuerza N que ejerce el suelo

• La fuerza que ejerce el muelle deformado k(l-x)

La partícula inferior está en equilibrio en el origen

N=Mg+k(l-x)=(m+M)g+kd·cos(ω₁·t)

La posición y velocidad del c.m. son, respectivamente

${\displaystyle z=\frac{mx}{M+m}{v}_{cm}=\frac{m{v}_m}{m+M}}$

Final de la primera fase del movimiento.

Se acaba la primera fase, cuando la partícula inferior (de masa M) deja de tener contacto con el suelo, la reacción N es cero. Esto ocurre en el instante t₀ tal que

${\displaystyle \cos ({\omega }_1{t}_0)=-\frac{(M+m)g}{kd}}$

Como el coseno no puede ser mayor que la unidad en valor absoluto, para que N sea cero, se tiene que cumplir que

(m+M)g≤kd

La deformación adicional d que le damos al muelle cuando lo comprimimos tiene que ser suficientemente grande para que se cumpla la desigualdad anterior. En el caso de que no se cumpla, la partícula inferior permanece en reposo en el origen y la partícula superior describe un Movimiento Armónico Simple de amplitud d.

Si se cumple la desigualdad, en el instante t₀

• La posición de la partícula superior es x=l+Mg/k, su velocidad es v_m=dω₁·sin(ω₁·t₀)
• La posición de la partícula inferior es y=0, su velocidad es v_M=0

La posición y velocidad del c.m. son respectivamente

${\displaystyle z_0=\frac{m(kl+Mg)}{k(M+m)}{v}_0=\frac{m(d{\omega }_1\text{sin}({\omega }_1{t}_0))}{m+M}}$

Energías

Para un sistema de partículas

W_ext=U_f-U_i

La fuerza exterior N no realiza trabajo, ya que actúa sobre una partícula que está en reposo. El peso es una fuerza conservativa por lo que el trabajo de la fuerza exterior peso es igual a la diferencia entre de energía potencial inicial y la final

W_ext=E_pi-E_pf

Tenemos por tanto, que U_i+E_pi=U_f+E_pf=cte

La energía U del sistema de partículas es la suma de la energía cinética de las dos partículas más la energía potencial que describe la interacción entre ambas partículas.

La partícula inferior de masa M está en el origen, en reposo. La posición de la partícula superior (de masa m) es x y su velocidad es dx/dt, la deformación del muelle es l-x. El principio de conservación de la energía para este sistema de partículas se escribe.

${\displaystyle E=\frac{1}{2}m{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+\frac{1}{2}k{\left(l-x\right)}^2+mgx=\text{cte}}$

La energía E₁ del sistema de partículas cuando termina la primera fase del movimiento, está formada por tres términos:

• La energía potencial de la partícula superior de masa m, que está en la posición x=l+Mg/k
• La energía cinética de la partícula superior que lleva una velocidad v_m=dω₁·sin(ω₁·t₀)
• La energía elástica del muelle que se ha deformado una longitud l-x=-Mg/k

${\displaystyle E_1=\frac{1}{2}m{\left(d{\omega }_1\sin ({\omega }_1{t}_0)\right)}^2+\frac{1}{2}k{\left(-\frac{Mg}{k}\right)}^2+mg\left(l+\frac{Mg}{k}\right)}$

Haciendo algunas operaciones se comprueba que la energía E₁ al final de la primera etapa es igual a la energía inicial E₀.

Impulso y momento linea

• El momento lineal inicial del sistema es cero
• El momento lineal final del sistema es m·v_m.

La resultante de las fuerzas exteriores N-mg-Mg, actúa durante un tiempo t₀. Su impulso produce un cambio en el momento lineal total del sistema m·v_m.

${\displaystyle {\displaystyle \underset{0}{\overset{t_0}{\int }}(N-mg-Mg)·dt=}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t_0}{\int }}kd\cos ({\omega }_{1}t)·dt=}\frac{kd}{{\omega }_1}\sin ({\omega }_1{t}_0)=m{v}_m}$

Segunda fase del movimiento

En esta fase del movimiento, la fuerza exterior N es nula y sobre cada una de las partículas actúa una fuerza interna F=k(l-(x-y)) y una fuerza exterior que es su peso. Donde (x-y) es la longitud del muelle deformado y l es la longitud del muelle sin deformar.

Las ecuaciones del movimiento son por tanto,

${\displaystyle \begin{array}{l}m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=k\left(l-(x-y)\right)-mg\\ M\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=-k\left(l-(x-y)\right)-Mg\end{array}}$

• Movimiento del c.m. del sistema de partículas

Si sumamos las dos ecuaciones tenemos

${\displaystyle \begin{array}{l}m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+M\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=-mg-Mg\\ (m+M)\frac{d^{2}z}{d{t}^2}=-mg-Mg\end{array}}$

donde z es la posición del centro de masas

${\displaystyle z=\frac{mx+My}{m+M}}$

El centro de masas se mueve como una partícula cuya masa es igual a la total del sistema (m+M) sobre la cual actúa la resultante de las fuerzas externas (m+M)g

Como la aceleración del c.m. es constante e igual a g, su movimiento es uniformemente acelerado. Su posición inicial z₀ y velocidad inicial v₀ en el instante t₀, la hemos calculado en el aparatado anterior

${\displaystyle z_0=\frac{m(kl+Mg)}{k(M+m)}{v}_0=\frac{md{\omega }_1\sin ({\omega }_{1}t)}{m+M}}$

las ecuaciones del movimiento del centro de masa son

${\displaystyle \begin{array}{l}{v}_{cm}=v_0+(-g)(t-t_0)\\ z=z_0+v_0(t-t_0)+\frac{1}{2}(-g){\left(t-t_0\right)}^2\end{array}}$

• Movimiento relativo de las dos partículas

Multiplicando la primera ecuación diferencial por M y la segunda por m y restando ambas ecuaciones diferenciales obtenemos.

${\displaystyle mM\left(\frac{d^{2}x}{d{t}^2}-\frac{d^{2}y}{d{t}^2}\right)=(m+M)k\left(l-(x-y)\right)}$

o bien

${\displaystyle \frac{mM}{m+M}\frac{d^2\xi }{d{t}^2}=k(l-\xi )}$

donde ξ=x-y es la posición relativa de las dos partículas. Siendo μ=mM/(m+M) la masa reducida del sistema formado por las dos partículas, llegamos a la siguiente ecuación diferencial.

${\displaystyle \frac{d^2\xi }{d{t}^2}+\frac{k}{\mu }\xi =\frac{k}{\mu }l}$

La solución de esta ecuación diferencial, como puede comprobarse por simple sustitución es

${\displaystyle \xi =l+A\sin \left({\omega }_2(t-t_0)\right)+B\cos \left({\omega }_2(t-t_0)\right){\omega }_2=\sqrt{\frac{k}{\mu }}=\sqrt{\frac{k(m+M)}{mM}}}$

Las constantes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales.

En el instante t=t₀,

• la posición de las partículas es $x=l+\frac{Mg}{k}y=0$ ,
  por lo que $\xi =x-y=l+\frac{Mg}{k}$ .

• la velocidad inicial de las partículas es $\frac{dx}{dt}={\omega }_{1}d\sin ({\omega }_1{t}_0)\frac{dy}{dt}=0$ , por lo que $\frac{d\xi }{dt}={\omega }_{1}d\sin ({\omega }_1{t}_0)$

La ecuación del movimiento relativo de las dos partículas es

${\displaystyle \xi =l+\frac{{\omega }_{1}d·\sin ({\omega }_1{t}_0)}{{\omega }_2}\sin \left({\omega }_2(t-t_0)\right)+\frac{Mg}{k}\text{cos}\left({\omega }_2(t-t_0)\right)}$

Ecuación del movimiento de cada una de las partículas

Conocemos la posición del c.m. z y la posición relativa ξ=x-y de las partículas en función del tiempo. Del sistema de dos ecuaciones despejamos x e y.

${\displaystyle \begin{array}{l}z=\frac{mx+My}{m+M}\xi =x-y\\ x=z+\frac{M\xi }{m+M}y=z-\frac{m\xi }{m+M}\end{array}}$

Energías

La energía en el instante t>t₀ se compone de la suma de los siguientes términos:

• La energía potencial de la partícula superior de masa m, que está en la posición x
• La energía cinética de la partícula superior que lleva una velocidad dx/dt
• La energía potencial de la partícula inferior de masa M, que está en la posición y
• La energía cinética de la partícula inferior que lleva una velocidad dy/dt
• La energía elástica del muelle que se ha deformado una longitud l-(x-y)

${\displaystyle E_2=\frac{1}{2}m{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+\frac{1}{2}M{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2+\frac{1}{2}k{\left(l-(x-y)\right)}^2+mgx+Mgy}$

Haciendo operaciones y simplificaciones comprobamos que la energía E₂ es igual a la energía inicial E₀.

Actividades

Se introduce:

• La masa m de la partícula situada en la parte superior (en color rojo) en el control titulado Masa superior.
• La masa M de la partícula situada en la parte inferior (en color azul), en el control titulado Masa inferior.
• La constante k del muelle elástico, en el control titulado Constante muelle.
• La longitud l del muelle sin deformar está fijada por el programa interactivo en 0.5 m

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

El muelle se comprime debido al peso de la partícula de masa m, situado encima.

Actuando con el puntero del ratón sobre la partícula de color rojo, comprimimos el muelle una longitud adicional d.

Observamos el movimiento de las dos partículas (roja y azul) y la del centro de masa del sistema (en color negro). Distinguimos las dos etapas del movimiento:

• En la primera etapa, la partícula situada en la parte inferior (color azul) está en reposo en contacto con el suelo. Una flecha de color negro, señala la fuerza N, que ejerce el suelo sobre la partícula.
• En la segunda etapa, observamos el movimiento de las partículas bajo la acción de su propio peso y de la fuerza que describe su interacción mutua.

Ejemplo:

• la masa de la partícula superior m=4 kg
• la masa de la partícula inferior M=1 kg
• la constante elástica del muelle k=750 N/m

El peso de la partícula superior comprime el muelle mg/k=0.052 m. La posición de dicha partícula es x=l-mg/k=0.45 m.

Se comprime el muelle una distancia d=0.2 m, hasta que la posición de la partícula superior sea x=0.25 m.

La frecuencia angular ω₁ vale

${\displaystyle {\omega }_1=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{750}{4}}=13.69\text{rad/s}}$

La partícula inferior deja de tener contacto con el suelo N=0, en el instante t₀.

${\displaystyle t_0=\frac{1}{{\omega }_1}\arccos \left(-\frac{(M+m)g}{kd}\right)t_0=\frac{1}{13.69}\arccos \left(-\frac{(4+1)·9.8}{750·0.2}\right)=0.12\text{s}}$

La posición del c.m. en dicho instante es

${\displaystyle z_0=\frac{m(kl+Mg)}{k(M+m)}{z}_0=\frac{4(750·0.5+1·9.8)}{750(4+1)}=0.41\text{m}}$

La velocidad del c.m. en dicho instante es

${\displaystyle v_0=\frac{m·d{\omega }_1\sin ({\omega }_1{t}_0)}{m+M}{v}_0=\frac{4·0.2·13.69·\sin (13.69·0.12)}{\text{4}+\text{1}}=2.21\text{m/s}}$

El centro de masas alcanza la altura máxima en el instante t tal que v=0

0=v₀-g·(t-t₀)

En el instante t=0.23+0.12=0.35 s el c.m. alcanza la altura máxima de

${\displaystyle z=z_0+v_0(t-t_0)-\frac{1}{2}g{\left(t-t_0\right)}^{2}z=0.66\text{m}}$

La frecuencia angular ω₂ vale

${\displaystyle {\omega }_2=\sqrt{\frac{k(m+M)}{m·M}}{\omega }_2=\sqrt{\frac{750(4+1)}{4·1}}=30.62\text{rad/s}}$

La posición relativa ξ=x-y de las partículas se calcula mediante la expresión

$$\begin{gathered} {\displaystyle \xi =0.5+\frac{13.69·0.2·\sin (13.69·0.12)}{30.62}\sin \left(30.62·0.23\right)+ \\ \frac{1·9.8}{750}\text{cos}\left(30.62·0.23\right)=0.56\text{m}} \end{gathered}$$

Conocida la posición z del c.m y la posición relativa ξ de las partículas, calculamos la posición de cada una de ellas.

${\displaystyle \begin{array}{l}x=z+\frac{M\xi }{m+M}x=0.66+\frac{1·0.56}{4+1}=0.77\text{m}\\ y=z-\frac{m\xi }{m+M}y=0.66-\frac{4·0.56}{4+1}=0.21\text{m}\end{array}}$

Se pulsa el botón Nuevo, con el puntero del ratón se arrastra el pequeño cuadrado de color rojo

Referencias

Dufresne R., Gerace W., Leonard W. Springbok: The Physics of jumping. The Physics Teacher Vol 39, February 2001, pp. 109-115.