Fuegos artificiales

Sea un proyectil de masa m1+m2 que se dispara con velocidad inicial v0, haciendo un ángulo θ con la horizontal. Cuando llega al punto más alto de su trayectoria hace explosión y se divide en dos fragmentos, separándose en dirección horizontal y en el plano de la trayectoria parabólica. Vamos a determinar la trayectoria de cada uno de los dos fragmentos y a calcular su alcance o la distancia de sus puntos de impacto en el suelo al origen.

Trayectoria del centro de masas

{ a x =0 a y =g { v x = v 0 cosθ v y = v 0 sinθgt { x= v 0 cosθt y= v 0 sinθt 1 2 g t 2

El punto más alto de la trayectoria se calcula poniendo vy=0, t=v0sinθ/g

H= v 0 sinθ v 0 sinθ g 1 2 g ( v 0 sinθ g ) 2 = v 0 2 sin 2 θ 2g

El centro de masas impacta en el suelo y=0, en el instante

T= 2 v 0 sinθ g

que se denomina tiempo de vuelo. El c.m. impacta a una distancia L del origen, denominado alcance

L= v 0 cosθ( 2 v 0 sinθ g )= v 0 2 g sin(2θ)

Explosión en dos fragmentos

En el punto más alto de la trayectoria, el proyectil que lleva una velocidad horizontal v0cosθ hace explosión dividiéndose en dos fragmentos. Supondremos que los dos fragmentos se mueven inicialmente en la misma dirección (eje X) y en el plano de la trayectoria (X, Y).

Aplicamos el principio de conservación del momento lineal y el balance energético a la colisión

( m 1 + m 2 ) v 0 cosθ= m 1 v 1 + m 2 v 2 1 2 ( m 1 + m 2 ) ( v 0 cosθ ) 2 +Q= 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2

Despejamos v1 y v2 de este sistema de ecuaciones

v 2 2 2 v 0 cosθ· v 2 + v 0 2 cos 2 θ2Q m 1 ( m 1 + m 2 ) m 2 =0 v 2 = v 0 cosθ+ 2Q m 1 ( m 1 + m 2 ) m 2 v 1 2 2 v 0 cosθ· v 1 + v 0 2 cos 2 θ2Q m 2 ( m 1 + m 2 ) m 1 =0 v 1 = v 0 cosθ 2Q m 2 ( m 1 + m 2 ) m 1

Movimiento de los fragmentos después de la explosión

Las ecuaciones del movimiento de los dos fragmentos son similares. La ecuación del movimiento del primer fragmento es

{ a x =0 a y =g { v x = v 1 v y =0 { x= L 2 + v 1 t y=H 1 2 g t 2

El punto de impacto en el suelo y=0, se produce en el instante

t= 2H g = T 2

El alcance del primer fragmento o distancia del punto de impacto en el suelo al origen es

x 1 = L 2 + v 1 T 2

De modo similar, El alcance del segundo fragmento es

x 2 = L 2 + v 2 T 2

Comprobamos que la posición del centro de masa es xcm=L

x cm = m 1 x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2 =( L 2 + v 0 cosθ T 2 )+ m 2 2Q m 1 ( m 1 + m 2 ) m 2 m 1 2Q m 2 ( m 1 + m 2 ) m 1 m 1 + m 2 =L

Representamos la trayectoria del proyectil y la de los dos fragmentos. La línea a trazos representa la trayectoria del centro de masa de los dos fragmentos. La energía Q de la explosión es una fracción f de la energía cinética del proyectil en el punto más alto. Se sugiere modificar la velocidad inicial v0, el ángulo de tiro θ el cociente m=m1/m2 de las masas de los fragmentos y el valor de la fracción f

v0=8; %velocidad inicial
th=50*pi/180; %ángulo
m=1.5; %cociente m1/m2
 
H=(v0*sin(th))^2/(2*9.8); %altura máxima
L=v0^2*sin(2*th)/9.8; %alcance
T=2*v0*sin(th)/9.8; %tiempo de vuelo
f=0.5; %fracción
%energía de la explosión, una fracción de la energía cinética de la
%partícula en el punto más alto
Q=f*(m+1)*(v0*cos(th)^2/2); 
 
%después de la explosión
v1=v0*cos(th)*(1+sqrt(f*m));
v2=v0*cos(th)*(1-sqrt(f/m));
hold on
fplot(@(t) v0*cos(th)*t, @(t) v0*sin(th)*t-4.9*t.^2, [0,T/2], 'color','k')
fplot(@(t) v0*cos(th)*t, @(t) v0*sin(th)*t-4.9*t.^2, [T/2,T], 
'lineStyle','--','color','k')
fplot(@(t) L/2+v1*t, @(t) H-4.9*t.^2, [0,T/2], 'color','r')
fplot(@(t) L/2+v2*t, @(t) H-4.9*t.^2, [0,T/2], 'color','r')
hold off
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Dos fragmentos')

Fuegos artificiales

Se dispara un explosivo de masa M con velocidad V0 haciendo un ángulo α con la horizontal. Las ecuaciones del movimiento son

a { a x =0 a y =g v { v x = V 0 cosα v y = V 0 sinαgt r { x= V 0 cosα·t y= V 0 sinα·t 1 2 g t 2

Alcanza la altura máxima vy=0, en el instante t=V0sinα/g, su posición es

L= V 0 2 sin( 2α ) 2g H= V 0 2 sin 2 α 2g

En este instante, explota en N trozos iguales que salen disparados con la misma velocidad V1 en N direcciones que forman ángulos iguales entre sí.

Las ecuaciones del movimiento de un trozo que forma un ángulo θk con la horizontal son

a { a x =0 a y =g v { v x = V 0 cosα+ V 1 cos θ k v y = V 1 sin θ k gt r { x=L+( V 0 cosα+ V 1 cos θ k )t y=H+ V 1 sin θ k ·t 1 2 g t 2

El momento lineal justamente antes de la explosión es igual al momento lineal después de la explosión. El centro de masas del sistema de partículas después de la explosión sigue la trayectoria parabólica original bajo la acción de la única fuerza externa peso.

P f = M N N k=1 V k = M N N k=1 ( V 0 cosα+ V 1 cos θ k ) i ^ + M N N k=1 ( V 1 sin θ k ) j ^ = M V 0 cosα i ^ + M N V 1 N k=1 (cos θ k i ^ +sin θ k j ^ )=M V 0 cosα i ^

Por simetría (véase la figura anterior) el sumatorio se hace cero, quedando el momento lineal final, igual al inicial en el momento de la explosión

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo.


Referencias

R De Luca, O Faella. Simple mathematical fireworks. Eur. J. Phys. 35 (2014) pp. 1, 8