Tirando de una caja con una cuerda elástica. Fuerza constante

El operario ejerce una fuerza constante

Tenemos en este caso, un sistema de dos partículas bajo la acción de dos fuerzas externas, la fuerza F que ejerce el operario y la fuerza de rozamiento Fr que ejerce el suelo sobre la caja y una fuerza de interacción mutua, que es la que ejerce el muelle elástico deformado que une ambos cuerpos. En la figura, se muestra la situación inicial

Supongamos que un operario de masa m tira del extremo del muelle elástico de constante k con una fuerza constante F. El otro extremo del muelle elástico está unido a una caja de masa M. Estudiaremos la dinámica del sistema formado por ambos cuerpos. El planteamiento del problema tiene dos partes:

La caja está en resposo

En un determinado instante t, el operario se encuentra en la posición y.

Las fuerzas sobre el operario son:

Como la caja está en reposo, la fuerza de rozamiento Fr se equilibra con la fuerza que ejerce el muelle elástico.

La ecuación del movimiento del operario es

m d 2 y d t 2 =Fk(y x 0 d)

cuya solución es

y=Asin(ωt+φ)+ F m ω 2 + x 0 +d ω 2 = k m v y = dy dt =Aωcos(ωt+φ)

La amplitud y la fase inicial se determinan a partir de las condiciones iniciales: En el instante t=0, el operario parte de la posición y0 con velocidad v0y

Asinφ= y 0 F m ω 2 x 0 dAcosφ= v 0y ω

En el instante tf en el que la fuerza de rozamiento alcanza su valor máximo μsMg, la caja empieza a deslizar.

k(y-x0-d)= μsMg

La posición yf y velocidad final vfy del operario son

Asin(ω t f +φ)= μ s MgF m ω 2 y f = μ s Mg m ω 2 + x 0 +d v fy =Aωcos(ω t f +φ)

Cuando empujamos una caja de masa M, la fuerza F mínima necesaria para que empiece a deslizar es  F= μsMg. Sin embargo, si tiramos de la caja por medio de un muelle, la fuerza F mínima necesaria es la mitad F= μsMg/2, como vamos a demostrar a continuación:

La caja parte de la posición x0=0, y el operario de la posición y0=d, con velocidad v0y=0

Con estas condiciones iniciales, la amplitud A y la fase inicial φ valen, respectivamente

A=F/(2) y φ=3π/2

Para que la caja empiece a deslizar tiene que existir la raíz tf de la ecuación

Asin(ω t f +φ)= μ s MgF m ω 2

es decir

| μ s MgF m ω 2 A |=| μ s MgF F |1

El valor mínimo de F= μsMg/2

Si F< μsMg/2, la caja permanece en reposo y el operario describe un M.A.S. de amplitud A y frecuencia angular ω. La posición de equilibrio (la fuerza sobre le operario es nula) se encuentra en d+ F m ω 2

La figura muestra la trayectoria del operario en el espacio de las fases x-v, la caja está en reposo en el origen. El operario alcanza una velocidad máxima cuando pasa  por la posición de equilibrio y una velocidad mínima en d y en d+ 2F m ω 2 .

Datos: F=3 N, M=1 kg, k=8 N/m, μs=0.75

La caja empieza a deslizar

En un determinado instante t, el operario se encuentra en la posición y y la caja se encuentra en la posición x.

Las fuerzas sobre el operario son:

Las fuerzas sobre la caja en movimiento son:

Las ecuaciones del movimiento de la caja y del operario son, respectivamente

M d 2 x d t 2 =k(yxd) μ k Mg m d 2 y d t 2 =Fk(yxd)

Movimiento relativo

Multiplicamos la primera ecuación por m y la segunda por M y las restamos

mM( d 2 y d t 2 d 2 x d t 2 )=MF+ μ k Mmgk(M+m)(yxd)

Llamando  ξ=y-x-d

d 2 ξ d t 2 + k(M+m) Mm ξ= MF+ μ k Mmg mM

La solución de esta ecuación diferencial es

ξ=Bsin(Ωt+φ)+ F/m+ μ k g Ω 2

Movimiento del centro de masas

La posición del centro de masas es

z= Mx+my M+m

Sumando las dos ecuaciones diferenciales

m d 2 y d t 2 +M d 2 x d t 2 =F μ k Mg d 2 z d t 2 = F μ k Mg m+M

El movimiento del centro de masas depende solamente de las fuerzas externas y es uniformemente acelerado

v z = v 0z + F μ k Mg m+M t z= z 0 + v 0z t+ 1 2 F μ k Mg m+M t 2

Posición de las partículas del sistema

Conocido la ecuación del movimiento relativo de las dos partículas ξ(t) y la posición del centro de masas z(t), despejamos la posición x de la caja y la posición y del operario.

y-x-d= ξ(t)
my+Mx
=(m+M)z(t)

y=z(t)+ M m+M ( ξ(t)+d )x=z(t) m m+M ( ξ(t)+d )

La amplitud B, la fase φ,, la posición inicial z0 y la velocidad inicial v0z del centro de masas se determinan a partir de las condiciones iniciales.

En el instante t=0, la posición de la caja es x0 y parte del reposo v0x=0

La posición y0 y velocidad v0y del operario son las finales de la etapa anterior:

Asin(ω t f +φ)= μ s MgF m ω 2 y 0 = μ s Mg m ω 2 + x 0 +d v 0y =Aωcos(ω t f +φ)

La posición inicial y la velocidad inicial del centro de masas son

z 0 = m y 0 +M x 0 m+M v 0z = m v 0y m+M y 0 x 0 d=Bsinφ+ F/m+ μ k g Ω 2 v 0y =BΩcosφ Bsinφ= μ s Mg m ω 2 F/m+ μ k g Ω 2 Bcosφ= Acos(ω t f +ϕ) Ω

La velocidad de la caja en esta etapa es

dx dt = v 0z + F μ k Mg m+M t m m+M BΩcos(Ωt+φ)

La velocidad de la caja se hace cero en un instante t raíz de la ecuación trascendente

v 0z + F μ k Mg m+M t m m+M BΩcos(Ωt+φ)=0

En la figura, se muestra la velocidad de la caja en función del tiempo. La raíz buscada t está entre el instante t1 para el que la velocidad es máxima y el instante t2 para el cual la velocidad es mínima. El máximo y el mínimo son las raíces de la ecuación

F μ k Mg m+M + m m+M B Ω 2 sin(Ωt+φ)=0

m=1; %masa de la caja
M=1; %masa del operario
fuerza=5.5; %fuerza con que tira
muEst=0.75; %coeficiente estático
muDin=0.5; %coeficiente cinético
k=8; %constante del muelle

w1=sqrt(k/m);   
w2=sqrt(k*(M+m)/(M*m));
t=0;
d=2; %separación inicial caja - operario
y=d; %posición operario
x0=0;
x=x0; %posición caja
vX=0.0; %velocidad caja
vY=0.0; %velocidad operario
amplitud_1=abs(y-fuerza/(m*w1^2)-x0-d);
fase_1=3*pi/2;
tipo=1; %inicialmente parado

t=0;
dt=0.01; %intervalo
tf=5.2; %tiempo final
x=0;
vX=0;
xx=zeros(1,tf/dt); %posición de la caja
vc=zeros(1,tf/dt); %velocidad de la caja
yy=zeros(1,tf/dt); %posición del operario
vp=zeros(1,tf/dt); %velocidad del operario
tipo=1; %inicialmente parada
xx(1)=0; %posición de la caja
vc(1)=0;
yy(1)=y; 
vp(1)=0;
i=1;
for tt=0:dt:tf	
    t=t+dt;
    i=i+1;
	switch tipo
        case 1
            y=amplitud_1*sin(w1*t+fase_1)+fuerza/(m*w1^2)+x0+d;
            vY=amplitud_1*w1*cos(w1*t+fase_1);
             fElastica=m*w1^2*(y-x-d);
             if (fElastica>0) && (fElastica>muEst*9.8*M)
                %calcula t1 de forma exacta
                 angulo=asin((muEst*M*9.8-fuerza)/(m*w1^2*amplitud_1));
                 if angulo<fase_1
                    angulo=2*pi+angulo;
                end
                t1=(angulo-fase_1)/w1;
                y1=amplitud_1*sin(w1*t1+fase_1)+fuerza/(m*w1^2)+x0+d;
                y0=muEst*M*9.8/(m*w1^2)+x0+d;
                vY1=amplitud_1*w1*cos(w1*t1+fase_1);
                Ax=amplitud_1*w1*cos(w1*t1+fase_1)/w2;
                Ay=muEst*M*9.8/(m*w1^2)-(fuerza/m+muDin*9.8)/w2^2;
                amplitud_2=sqrt(Ax^2+Ay^2);
                fase_2=atan2(Ay, Ax);
                if fase_2<0
                    fase_2=2*pi+fase_2;
                end
                z0=(M*x0+m*y1)/(m+M);
                vZ0=m*vY1/(m+M);
                t=0.0;
                tipo=2;
            end
        case 2
            z=z0+vZ0*t+(fuerza-muDin*9.8*M)*t^2/(2*(m+M));
            s=d+amplitud_2*sin(w2*t+fase_2)+(fuerza/m+muDin*9.8)/w2^2;
            y=M*s/(m+M)+z;
            x=z-m*s/(m+M);
            vX=vZ0+(fuerza-muDin*9.8*M)*t/(m+M)-
m*amplitud_2*w2*cos(w2*t+fase_2)/(m+M);
            vY=vZ0+(fuerza-muDin*9.8*M)*t/(m+M)+
M*amplitud_2*w2*cos(w2*t+fase_2)/(m+M);
            if vX<0.0
                tipo=1;
                vX=0.0;
                %calcular numéricamente el tiempo
                angulo=asin((-fuerza+muDin*M*9.8)/(m*w2^2*amplitud_2));
                ang=pi-angulo;
                if angulo<fase_2
                    angulo=2*pi+angulo;
                    ang=2*pi+ang;
                end
                if ang>2*pi
                    ang=ang-2*pi;
                end
                tMax=(angulo-fase_2)/w2;   %máximo
                tMin=(ang-fase_2)/w2;
                f=@(t) vZ0+(fuerza-muDin*9.8*M)*t
/(m+M)-m*amplitud_2*w2*cos(w2*t+fase_2)/(m+M);                
                t2=fzero(f,[tMin, tMax]); %resolver la ecuación trascendente 
                z=z0+vZ0*t2+(fuerza-muDin*9.8*M)*t2^2/(2*(m+M));
                s=d+amplitud_2*sin(w2*t2+fase_2)+(fuerza/m+muDin*9.8)/w2^2;
                y=M*s/(m+M)+z;
                x0=z-m*s/(m+M);
                vY=vZ0+(fuerza-muDin*9.8*M)*t2/(m+M)
+M*amplitud_2*w2*cos(w2*t2+fase_2)/(m+M);
                Ax=vY/w1;
                Ay=y-fuerza/(m*w1*w1)-x0-d;
                amplitud_1=sqrt(Ax^2+Ay^2);
                fase_1=atan2(Ay, Ax);
                if  fase_1<0
                    fase_1=2*pi+fase_1;
                end
                t=0.0;
                x=x0;
            end
    end
    
    xx(i)=x;
    vc(i)=vX;
    yy(i)=y;
    vp(i)=vY;
end
             
figure
plot(xx, vc, yy,vp)
legend('caja','operario', 'location','northwest')
grid on
xlabel('x,y')
ylabel('v_x,v_y')
title('Arrastrando una caja')

figure
plot(0:dt:tf, vc(1:end-1),0:dt:tf, vp(1:end-1))
legend('caja','operario', 'location','northwest')
grid on
xlabel('t')
ylabel('v_x,v_y')
title('Arrastrando una caja')

figure
plot(0:dt:tf, xx(1:end-1),0:dt:tf, yy(1:end-1))
legend('caja','operario', 'location','northwest')
grid on
xlabel('t')
ylabel('x,y')
title('Arrastrando una caja')

La figura muestra la trayectoria en el espacio de las fases x-v, de la caja y del operario cuando el c.m. decelera F< μkMg, su velocidad se hace cero al cabo de cierto tiempo y el sistema de partículas no puede moverse más allá de cierta distancia.

Datos: F=4.5 N, M=1 kg, m=1 kg, k=8 N/m, μs=0.75, μk=0.5, tiempo tf=7.3

La figura muestra la trayectoria en el espacio de las fases x-v, de la caja y del operario cuando el c.m. se mueve con velocidad constante F=μkMg.

Datos: F=4.9 N, M=1 kg, m=1 kg, k=8 N/m, μs=0.75, μk=0.5, tiempo tf=7.2

La figura muestra la trayectoria en el espacio de las fases x-v, de la caja y del operario cuando el c.m. acelera F>μkMg.

Datos: F=5.5 N, M=1 kg, m=1 kg, k=8 N/m, μs=0.75, μk=0.5, tiempo tf=5.2

En la figura, se observa la velocidad de la caja y del operario en función del tiempo total tt. Los datos son los de la figura anterior

En la figura, se observa la posición de la caja y del operario en función del tiempo total tt. Los datos son los de la figura anterior

Balance energético

La energía del sistema de partículas es la suma de la energía cinética de las dos partículas y de la energía potencial de interacción entre ambas.

U= 1 2 m v y 2 + 1 2 M v x 2 + 1 2 k ( yxd ) 2

El trabajo de las fuerzas exteriores

Wext=F(y-d)- μkMgx

modifica la energía del sistema de partículas

Wext=U-U0

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Los valores críticos de la fuerza F son

Se simula el movimiento de la caja y del operario, representado por un vehículo, ambos unidos por un muelle elástico.

Se representan mediante flechas, las fuerzas sobre la caja y sobre el operario

En la parte superior, se representa en el espacio de las fases x-v

En la parte izquierda, se representa el balance energético

La altura de la barra, es el trabajo realizado por la fuerza constante F