Movimiento sin rozamiento

Las fuerzas sobre la partícula:

• El peso, mg

• La reacción de la superficie circular sobre la que desliza, N

La ecuación del movimiento a lo largo de la dirección radial es

${\displaystyle N-mg\cos \theta =m{a}_n{a}_n=\frac{v^2}{R}}$

La ecuación del movimiento a lo largo de la dirección tangencial es

${\displaystyle m{a}_t=-mg\sin \theta R\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=-g\sin \theta }$

que se resuelve por procedimientos numéricos con las condiciones iniciales t=0, θ= -θ₀, dθ/dt=0.

Principio de conservación de la energía

A medida que la partícula desliza por la superficie semicircular, va aumentando su velocidad. La energía potencial se va transformando en energía cinética.

Si la partícula parte de la posición angular –θ₀ con velocidad inicial cero. Aplicamos el principio de conservación de la energía para calcular la velocidad v de la partícula cuando se encuentra en la posición θ

${\displaystyle -mgR\cos {\theta }_0=\frac{1}{2}m{v}^2-mgR\cos \theta }$

Como v=Rdθ/dt, obtenemos la ecuación diferencial de primer orden. 

${\displaystyle \frac{d\theta }{dt}=\sqrt{2\frac{g}{R}(\cos \theta -\cos {\theta }_0)}}$

Empleando la fórmula del coseno del ángulo doble cos2A=cos²A-sin²A, y la relación sin²A+cos²A=1.

${\displaystyle dt=\sqrt{\frac{R}{g}}\frac{d\frac{\theta }{2}}{\sqrt{{\sin }^2\frac{{\theta }_0}{2}-{\sin }^2\frac{\theta }{2}}}}$

Haciendo la sustitución 

${\displaystyle \begin{array}{l}\sin \phi =\frac{\sin \frac{\theta }{2}}{\sin \frac{{\theta }_0}{2}}k=\sin \frac{{\theta }_0}{2}\\ \frac{\theta }{2}=\arcsin (k·\text{sin}\phi )\frac{d\theta }{2}=\frac{k\cos \phi ·d\phi }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2\phi }}\end{array}}$

obtenemos

${\displaystyle dt=\sqrt{\frac{R}{g}}\frac{d\phi }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2\phi }}}$

El tiempo que emplea la partícula en desplazarse desde θ=0, (φ=0) hasta θ₀ (φ=π/2) es la integral elíptica completa de primera especie.

${\displaystyle t=\sqrt{\frac{R}{g}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{d\phi }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2\phi }}}k=\sin \frac{{\theta }_0}{2}}$

El tiempo que tarda la partícula desde que sale en la posición –θ₀, con velocidad inicial cero, hasta que llega a la posición final θ₀ es el doble del tiempo 2·t. El periodo de una oscilación completa de la partícula es P=4·t.

Ejemplo:

Para θ₀=60º la integral elíptica vale 1.6858.

>> fi=60*pi/180;
>> ellipke(sin(fi/2)^2)
ans =    1.6858

El tiempo que tarda la partícula en deslizar sin rozamiento sobre la superficie semicircular de radio R=1 m desde la posición -60º  hasta 60º es

${\displaystyle t=2\sqrt{\frac{1}{9.8}}1.6858=1.08\text{s}}$

Para θ₀=15º la integral elíptica vale 1.5776.

>> fi=15*pi/180;
>> ellipke(sin(fi/2)^2)
ans =    1.5776

El tiempo que tarda la partícula en deslizar sin rozamiento sobre la superficie semicircular de radio R=1 m desde la posición -15º  hasta 15º es

${\displaystyle t=2\sqrt{\frac{1}{9.8}}1.5776=1.01\text{s}}$

Movimiento con rozamiento

Las fuerzas sobre la partícula:

• El peso, mg

• La reacción de la superficie circular sobre la que desliza, N

• La fuerza de rozamiento que se opone al movimiento, F_r=μN

La ecuación del movimiento a lo largo de la dirección radial es

${\displaystyle N-mg\cos \theta =m{a}_n{a}_n=\frac{v^2}{R}}$

La ecuación del movimiento a lo largo de la dirección tangencial es

ma_t=-mg·sinθ-F_r

con F_r=μ·N, tenemos la ecuación

${\displaystyle \frac{dv}{dt}=-g\sin \theta -\mu g\cos \theta -\mu \frac{v^2}{R}}$               (1)

Llamando $x=\frac{v^2}{Rg}$ nos queda la ecuación diferencial

${\displaystyle \frac{dx}{d\theta }+2\mu x=-2(\sin \theta +\mu \cos \theta )}$

La solución de la ecuación diferencial se compone de dos términos:

La solución particular x₁=Asinθ+Bcosθ

Introduciendo la solución particular en la ecuación diferencial, obtenemos los valores de los coeficientes A y B

${\displaystyle A=\frac{-6\mu }{4{\mu }^2+1}B=\frac{2-4{\mu }^2}{4{\mu }^2+1}}$

Buscamos la solución de la ecuación diferencial homogénea

${\displaystyle \frac{dx}{d\theta }+2\mu x=0\frac{dx}{x}=-2\mu ·d\theta {\displaystyle \int \frac{dx}{x}}=-{\displaystyle \int 2\mu ·d\theta }}$

Integrando ambos miembros obtenemos lnx=-2μθ+cte, o bien,  x₂=C·exp(-2μθ)

La solución completa es x=x₁+x₂

${\displaystyle \frac{v^2}{Rg}=C\exp (-2\mu \theta )+\frac{-6\mu ·\sin \theta +(2-4{\mu }^2)\cos \theta }{4{\mu }^2+1}}$

La constante C se determina a partir de las condiciones iniciales, para θ=θ₀, v=0

$$\begin{gathered} {\displaystyle \frac{v^2}{Rg}=-\frac{-6\mu ·\sin {\theta }_0+(2-4{\mu }^2)\cos {\theta }_0}{4{\mu }^2+1}\exp \left(-2\mu (\theta -{\theta }_0)\right)+ \\ \frac{-6\mu ·\sin \theta +(2-4{\mu }^2)\cos \theta }{4{\mu }^2+1}} \end{gathered}$$

Comprobamos que cuando θ=θ₀, v=0

En la figura, se representa v²/Rg en función del ángulo θ, cuando no hay rozamiento μ=0.0, y para varios valores del coeficiente de rozamiento μ=0.25, μ=0.5 y μ=0.75. La posición de partida es θ₀=-60º. La posición de llegada θ se calcula resolviendo la ecuación trascendente con v=0

x0=-60*pi/180;  %ángulo de partida
hold on
%sin rozamiento
f=@(x) 2*(cos(x)-cos(x0));
fplot(f,[x0,-x0])
%con rozamiento
for mu=0.25:0.25:0.75
    f=@(x) (-exp(-2*mu*(x-x0))*((2-4*mu^2)*cos(x0)-6*mu*sin(x0))
+((2-4*mu^2)*cos(x)-6*mu*sin(x)))/(4*mu^2+1); 
    xf= fzero(f,0); %ángulo de llegada
    fplot(f,[x0,xf])
end
hold off
xlim([-pi/2,pi/2])
set(gca,'XTick',-pi/2:pi/6:pi/2)
set(gca,'XTickLabel',{'-\pi/2','-\pi/3','-\pi/6','0'
,'\pi/6','\pi/3','\pi/2'})
grid on
xlabel('\theta')
ylabel('v^2/(R·g)')
title('Cuadrado de la velocidad en función del ángulo')

Cuando no hay rozamiento, la posición final cuando la partícula vuelve a pararse es θ=60º. Cuando hay rozamiento la posición final es θ<60º.

Ejemplo:

Sea coeficiente de rozamiento entre la superficie semiesférica y la partícula es μ=0.25. Si la partícula parte de la posición θ₀=-60º=-π/3, calcular la velocidad de la partícula cuando pasa por la posición θ=0. El radio de la superficie semicircular es R=1 m.

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{v^2}{1.0·9.8}=-\frac{-6·0.25·\sin \text{(-}\pi \text{/3)}+(2-4·{0.25}^2)\cos \text{(-}\pi \text{/3)}}{4·{0.25}^2+1}\exp \left(-2·0.25·\pi /3\right)+\frac{2-4·{0.25}^2}{4·{0.25}^2+1}\\ v=1.90\text{m/s}\end{array}}$

Si la partícula parte de la posición inicial θ₀=-90º=-π/2, la velocidad cuando pasa por la posición más baja θ=0 es

${\displaystyle \frac{v^2}{Rg}=\frac{2}{4{\mu }^2+1}\left(-3\mu \exp (-\mu \pi )-2{\mu }^2+1\right)}$

Por ejemplo, para μ=0.25, v²/(Rg)=0.853.

Sucesivas posiciones de parada

Cuando no hay rozamiento, una partícula que parte de la posición -θ₀, alcanza su máxima velocidad cuando pasa por el punto más bajo de la trayectoria y se detiene momentáneamente en la posición θ₀, inicia el camino de vuelta y se detiene en la posición de partida -θ₀, y así, sucesivamente.

Cuando hay rozamiento, la partícula que parte de la posición -θ₀, llega hasta la posición θ₁, se cumple que θ₀>|θ₁|. Pueden ocurrir dos casos:

• Que la componente del peso sea mayor que la fuerza de rozamiento (supondremos que μ_s= μ_k= μ)

mgsin|θ₁|≥μ·mgcosθ₁,  o bien que, tan|θ₁|≥μ

La partícula inicia su camino de vuelta, llegando a una posición |θ₂|<|θ₁|

• Que tan|θ₁|<μ

La partícula se para definitivamente

Supongamos que que la partícula prosigue el camino de vuelta hasta la posición θ₂. Si se cumple que tan|θ₂|≥μ, se inicia por segunda vez su camino de ida. En caso contrario, se detiene permanentemente.

Supongamos que la partícula parte de la posición -θ_0. Para calcular la posición de parada θ₁ se pone v=0 y se simplifica la ecuación

${\displaystyle \left(-3\mu ·\sin {\theta }_0+(1-2{\mu }^2)\cos {\theta }_0\right)\exp \left(2\mu {\theta }_0\right)=\left(-3\mu ·\sin \theta +(1-2{\mu }^2)\cos \theta \right)\exp \left(2\mu \theta \right)}$

Calculamos la posición angular θ en la que se detiene la partícula, resolviendo la ecuación trascendente

x0=-60*pi/180;  %ángulo de partida
mu=0.25;  %coeficiente de rozamiento
f=@(x) (-3*mu*sin(x)+(1-2*mu^2)*cos(x))*exp(2*mu*x);
g=@(x) f(x)-f(x0);
fzero(g,0)*180/pi %ángulo de llegada

ans =   21.9153

Si se cumple que tan|θ₁|≥μ la partícula continúa moviéndose hacia la izquierda, en caso contrario, se detiene permanentemente.

Supongamos que la partícula realiza el camino de vuelta, la fuerza de rozamiento cambia de signo (véase la figura más arriba), por lo que en la ecuación anterior cambiamos +μ por – μ. La posición de de parada θ₂, es la raíz de la ecuación trascendente

${\displaystyle \left(3\mu ·\sin {\theta }_1+(1-2{\mu }^2)\cos {\theta }_1\right)\exp \left(-2\mu {\theta }_1\right)=\left(3\mu ·\sin \theta +(1-2{\mu }^2)\cos \theta \right)\exp \left(-2\mu \theta \right)}$

Si se cumple que tan|θ₂|≥μ la partícula continúa moviéndose hacia la derecha, en caso contrario, se detiene permanentemente.

Supongamos que la partícula vuelve a realizar el camino de ida, la fuerza de rozamiento cambia de signo, por lo que en la ecuación anterior cambiamos +μ por – μ. La posición de parada θ₃, es la raíz de la ecuación trascendente

${\displaystyle \left(-3\mu ·\sin {\theta }_2+(1-2{\mu }^2)\cos {\theta }_2\right)\exp \left(2\mu {\theta }_2\right)=\left(-3\mu ·\sin \theta +(1-2{\mu }^2)\cos \theta \right)\exp \left(2\mu \theta \right)}$

y así, sucesivamente…

Ejemplo: Sea θ=-90º=-π/2, y μ=0.2.

La primera posición θ₁ de parada v=0 se calcula resolviendo la ecuación trascendente

$$\begin{gathered} {\displaystyle \left(-3·0.2·\sin {\theta }_0+(1-2·{0.2}^2)\cos {\theta }_0\right)\exp \left(2·0.2·{\theta }_0\right)= \\ \left(-3·0.2·\sin \theta +(1-2·{0.2}^2)\cos \theta \right)\exp \left(2·0.2·\theta \right)} \end{gathered}$$

La raíz es θ₁=44.54º, 

Se cumple que tan|θ₁|≥0.2, la partícula se mueve hacia la izquierda, la fuerza de rozamiento cambia de signo. Calculamos la posición de parada θ₂, resolviendo la ecuación trascendente

$$\begin{gathered} {\displaystyle \left(3·0.2·\sin {\theta }_1+(1-2·{0.2}^2)\cos {\theta }_1\right)\exp \left(-2·0.2·{\theta }_1\right)= \\ \left(3·0.2·\sin \theta +(1-2·{0.2}^2)\cos \theta \right)\exp \left(-2·0.2·\theta \right)} \end{gathered}$$

La raíz es θ₂=-17.38º, 

Como tan|θ₂|≥0.2 la partícula se mueve hacia la derecha, la fuerza de rozamiento cambia de signo. Calculamos la posición de parada θ₃, resolviendo la ecuación trascendente

$$\begin{gathered} {\displaystyle \left(-3·0.2·\sin {\theta }_2+(1-2·{0.2}^2)\cos {\theta }_2\right)\exp \left(2·0.2·{\theta }_2\right)= \\ \left(-3·0.2·\sin \theta +(1-2·{0.2}^2)\cos \theta \right)\exp \left(2·0.2\theta \right)} \end{gathered}$$

La raíz es θ₃=-5.40º, 

Como tan|θ₃|<0.2, la partícula se para definitivamente.

x0=-90*pi/180;  %ángulo de partida
mu=0.2;  %coeficiente de rozamiento
while tan(abs(x0))>abs(mu)
    f=@(x) (-3*mu*sin(x)+(1-2*mu^2)*cos(x))*exp(2*mu*x);
    g=@(x) f(x)-f(x0);
    x0=fzero(g,0); %ángulo de llegada
    disp(x0*180/pi)
	mu=-mu;
end

44.5603
-17.3993
-5.3886

Balance energético

El trabajo de la fuerza de rozamiento es igual a la energía final de la partícula menos la energía inicial. En la figura del primer apartado, tenemos que

${\displaystyle W_r=E_f-E_i=\left(\frac{1}{2}m{v}^2-mgR\cos \theta \right)-\left(-mgR\cos {\theta }_0\right)}$

Sustituyendo la larga expresión (2) de v² en esta ecuación se calcula el trabajo de la fuerza de rozamiento cuando la partícula se encuentra en la posición θ.

El trabajo de la fuerza de rozamiento se puede calcular también del siguiente modo

dW_r=F_r·dl=-F_r·dl·cos180º=-F_r·dl=-μN·R·dθ

${\displaystyle d{W}_r=-\mu \left(mg\cos \theta +m\frac{v^2}{R}\right)·R·d\theta }$

Despejamos v² en la ecuación de la energía, y llegamos a la ecuación diferencial.

${\displaystyle \frac{d{W}_r}{d\theta }+2\mu W_r=-\mu (3mgR\cos \theta -2mgR\cos {\theta }_0)}$

e integramos esta ecuación diferencial de modo similar a la de la velocidad.

Para el caso particular de que la partícula parte de la posición más alta θ=-π/2. La ecuación diferencial se hace más simple

${\displaystyle \frac{d{W}_r}{d\theta }+2\mu W_r=-3\mu mgR\cos \theta }$

Ensayamos una solución particular de la forma

W₁=Asenθ+Bcosθ. Obtenemos los valores de los coeficientes A y B

${\displaystyle A=\frac{-3\mu }{4{\mu }^2+1}mgRB=2\mu A}$

Buscamos la solución de la ecuación diferencial homogénea

${\displaystyle \frac{d{W}_2}{d\theta }+2\mu W_2=0W_2=C\exp (-2\mu \theta )}$

La solución completa es W_r=W₁+W₂

${\displaystyle W_r=C\exp (-2\mu \theta )-\frac{3\mu }{4{\mu }^2+1}\left(\sin \theta +2\mu \cos \theta \right)mgR}$

La constante C se determina sabiendo que el trabajo de la fuerza de rozamiento W_r cuando la partícula se encuentra en la posición inicial θ=-π/2 es cero

${\displaystyle W_r=-\frac{3\mu }{4{\mu }^2+1}\left(\exp (-\mu (2\theta +\pi ))+\sin \theta +2\mu \cos \theta \right)mgR}$

Ejemplo:

Si μ=0.25, y la partícula parte de la posición θ₀=-π/2. La velocidad de la partícula cuando llega a la posición más baja θ=0, es v²/(Rg)=0.853 tal como hemos calculado anteriormente

Calculamos el trabajo de la fuerza de rozamiento W_r de forma indirecta

$$\begin{gathered} {\displaystyle W_r=E_f-E_i=\left(\frac{1}{2}m{v}^2-mgR\cos \theta \right)-\left(-mgR\cos {\theta }_0\right)= \\ mgR\left(\frac{1}{2}0.853-1\right)=-0.573·mgR} \end{gathered}$$

Calculamos el trabajo de la fuerza de rozamiento W_r de forma directa

${\displaystyle W_r=-\frac{3·0.25}{4·{0.25}^2+1}\left(\exp (-0.25·\pi )+2·0.25\right)mgR=-0.573·mgR}$

Ecuación diferencial del movimiento

• Movimiento hacia la derecha

Poniendo $v=R\frac{d\theta }{dt}$ , en la ecuación (1), obtenemos la ecuación diferencial del movimiento

${\displaystyle \frac{d^2\theta }{d{t}^2}=-\frac{g}{R}(\sin \theta +\mu \cos \theta )-\mu {\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2}$

que se resuelve por procedimientos numéricos con las condiciones iniciales t=0, θ= -θ₀, dθ/dt=0.

• Movimiento hacia la izquierda

La fuerza de rozamiento cambia de signo, por lo que en la ecuación anterior cambiamos +μ por – μ.

mu=0.1;  %coeficiente de rozamiento
R=1; %radio
x0=zeros(1,2);
x0(1)=-pi/3;  %ángulo de partida
x0(2)=0;    %parte del reposo
f=@(t,x) [x(2);-(9.8/R)*(sin(x(1))+sign(x(2))*mu*cos(x(1)))
-sign(x(2))*mu*x(2)^2]; 
tspan=[0 2.2];
[t,x]=ode45(f,tspan,x0);

plot(t,x(:,1))
set(gca,'YTick',-pi/2:pi/6:pi/2)
set(gca,'YTickLabel',{'-\pi/2','-\pi/3','-\pi/6',
'0','\pi/6','\pi/3','\pi/2'})

grid on
xlabel('t')
ylabel('\theta');
title('Posición angular en función del tiempo')

Caso particular:

Cuando no hay rozamiento

${\displaystyle \frac{d^2\theta }{d{t}^2}+\frac{g}{R}\sin \theta =0}$

Si el ángulo θ es pequeño, aproximamos sinθ≈ θ. Obtenemos la ecuación de un Movimiento Armónico Simple

${\displaystyle \frac{d^2\theta }{d{t}^2}+\frac{g}{R}\theta =0}$

cuyo periodo es

${\displaystyle P=2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}}$

Ejemplo:

El tiempo que tarda la partícula en deslizar sin rozamiento sobre la superficie semicircular de radio R=1 m, desde la posición - θ₀,  hasta θ₀, cuando este ángulo es pequeño, es P/2

${\displaystyle t=\pi \sqrt{\frac{1}{9.8}}=1.00\text{s}}$

Actividades

Se introduce

• El coeficiente de rozamiento μ, en el control titulado Rozamiento

• El ángulo de partida -θ₀, en el control titulado Ángulo.

• El radio de la superficie circular se ha fijado en R=1 m.

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se dibujan las fuerzas sobre la partícula:

• El peso, mg

• La fuerza de rozamiento, F_r, cuya dirección es tangente a la trayectoria circular, y cuyo sentido es opuesto a la velocidad

• La reacción N de la superficie curva, que tiene dirección radial.

En la parte central, se dibujan las energías en forma de diagrama de tarta

• La energía potencial en color azul

• La energía cinética en color rojo

• El trabajo de la fuerza de rozamiento en color negro.

Las posiciones en las que la partícula se detiene momentáneamente v=0, se han marcado en color rojo en la superficie circular cóncava.

Medida del coeficiente cinético

La experiencia clásica de medida del coeficiente cinético, consiste en un bloque que desliza a lo largo de un plano inclinado. Vamos cambiando el ángulo θ que hace el plano inclinado con la horizontal, hasta conseguir que el bloque deslice con movimiento uniforme. El coeficiente de rozamiento vale μ=tanθ

Construimos una la superficie semicircular de radio R. y situamos sobre ella una partícula en la posición inicial θ₀. La partícula desliza hasta que se para en la posición final θ, tal como se muestra en la figura.

Para calcular el coeficiente de rozamiento cinético μ, tenemos que resolver por procedimiento numéricos, la ecuación trascendente con v=0.

${\displaystyle \left(-3\mu ·\text{sin}{\theta }_0+(1-2{\mu }^2)\cos {\theta }_0\right)\exp \left(2\mu {\theta }_0\right)-\left(-3\mu ·\text{sin}\theta +(1-2{\mu }^2)\cos \theta \right)\exp \left(2\mu \theta \right)=0}$

El código que viene a continuación, calcula el coeficiente cinético μ, cuando se introduce el ángulo inicial de partida θ₀ y el ángulo final de llegada θ.

x0=-60*pi/180;  %ángulo de partida
xf=21.92*pi/180; %ángulo de llegada
f=@(mu,x) (-3*mu*sin(x)+(1-2*mu^2)*cos(x))*exp(2*mu*x);
g=@(mu) f(mu,x0)-f(mu,xf);
roza=fzero(g,0);
disp(roza)

    0.2500

Referencias

Franklin L. P., Kimmel P. I. Dynamics of circular motion with friction. Am. J. Phys. 48 83) March 1980, pp. 207-210