Conservación de la energía en el movimiento de rotación

En la página titulada Dinámica de un sistema de partículas en el apartado ‘Energía de un sistema de partículas’ demostramos que el trabajo de las fuerzas exteriores Wext se invierte en modificar la energía U de un sistema de partículas.

La energía de un sistema de partículas es la suma de la energía cinética de todas las partículas más la energía potencial de interacción de cada par de partículas, en ese apartado, consideramos un sistema de dos y de tres partículas. Para un sistema de N partículas, se escribe

U= i=1 N 1 2 m i v i 2 + i=1 N j=i+1 N ( E p ) ij

Para un sólido rígido, el segundo término no cambia, permanece constante, y el primer término es la energía cinética de rotación de un sólido rígido de momento de inercia I, alrededor de un eje fijo con velocidad angular ω.

U= 1 2 I ω 2 +cte

El trabajo de las fuerzas aplicadas al sólido rígido, se invierte en modificar la energía cinética de rotación.

W ext = U f U i = 1 2 I ω f 2 1 2 I ω i 2

Si la fuerza (o fuerzas) exterior es conservativa (por ejemplo, el peso). El trabajo de la fuerza exterior es igual a la variación de energía potencial. Del mismo modo que un cuerpo que se deja caer, o se lanza hacia arriba, parte de la energía potencial se transforma en energía cinética o bien, parte de la energía cinética se transforma en potencial. En este caso, parte de la energía potencial se transforma en energía cinética de rotación o viceversa.

Supongamos un sólido rígido que gira alrededor de un eje fijo, principal de inercia, perpendicular al plano de la pantalla y que pasa por el punto O. Se separa un ángulo θ0 de la posición de equilibrio estable y se suelta, vamos a aplicar el principio de conservación de la energía para calcular la velocidad angular del sólido cuando pasa por la posición de equilibrio estable.

Sea I el momento de inercia del sólido rígido respecto del eje que pasa por O, y sea xcm, la posición del centro de masa (c.m.) medida desde O.

Sabiendo que el peso del cuerpo mg actúa en el centro de masa. El trabajo del peso es igual a la variación de energía potencial mgh, siendo h el cambio de altura del centro de masa (que describe un arco de circunferencia de radio xcm y ángulo θ, tal como vemos en la figura

h=xcm-xcmcosθ

La energía potencial del c.m. disminuye y aumenta la energía cinética de rotación

mgh= 1 2 I ω 2

Este es el principio de conservación de la energía para un sólido en rotación alrededor de un eje fijo.

Práctica de laboratorio

En el laboartorio disponemos de los tres cuerpos que se muestran en la fotografía

El programa CAPSTONE de PASCO, representa los datos proporcionados por el sensor de movimiento de rotación

Desviamos uno de los cuerpos, el disco con un hueco, de la posición de equilibrio un ángulo θ0 y lo soltamos.

En una gráfica de la posición angular θ en función del tiempo t, medimos con la herramienta delta el desplazamiento angular máximo 2θ0=3.585 rad

En una gráfica de la velocidad angular ω en función del tiempo t, medimos con la herramienta coordenadas la velocidad angular máxima, (cuando pasa por la posición de equilibrio θ=0), ωmáx=16.933 rad/s

Con los datos correspondientes al disco con un hueco, calculamos la velocidad angular máxima para el ángulo θ0=1.7925 rad

h=0.0549(1cos1.7925)=0.067 ω= 2mgh I = 2·0.102·9.8·0.067 4.266· 10 4 =17.72rad/s

Simulación

La ecuación de la dinámica de rotación es

d L dt = M

Donde L =I ω es el momento angular, y M es el momento de las fuerzas externas que actúan sobre el sólido rígido

El momento del peso mg que actúa en el centro de masas distante xcm del eje O de rotación es -mgd=-mgxcmsinθ

I dω dt =mg x cm sinθ d 2 θ d t 2 + mg x cm I sinθ=0

Resolvemos esta ecuación diferencial por procedimientos numéricos, con las siguientes condiciones iniciales, en el instante t=0, θ=θ0, y dθ/dt=0. Se desvía un ángulo θ0 de la posición de equilibrio estable y se suelta.

I=4.266e-4; %momento de inercia del disco con hueco
x_cm=0.0549; %posición del c.m.
m=0.102; %masa

th_0=1.7925; %ángulo de desviación
f=@(t,x)[x(2); -m*9.8*x_cm*sin(x(1))/I];
opts=odeset('events',@rotacion_ode45);
[t,x]=ode45(f,[0,10],[th_0,0],opts);
plot(x(:,1),x(:,2))
grid on
xlabel('\theta')
ylabel('\omega');
title('Conservación de la energía')

Representamos la velocidad angular ω en función de la posición angular θ. Detenemos el proceso de integración cuando el sólido pasa por la posición de equilibrio θ=0, definiendo la función rotacion_ode45

function [detect,stopin,direction]=rotacion_ode45(~,x)
    detect=x(1); 
    stopin=1;
    direction=-1; 
end

La velocidad angular máxima para θ=0, es 17.73 rad/s

Actividades

Se selecciona el cuerpo:

Se establece el ángulo de desviación en grados en el control titulado Angulo de desviación

Se pulsa el botón titulado Nuevo

En la parte superior izquierda, se proporcionan los datos del tiempo t, la posición angular θ en grados y la velocidad angular ω en rad/s

Con el botón paso a paso, >| se mide la velocidad angular máxima ω, cuando la posición angular θ=0.